系統把握：讓習題教學更有邏輯

浙江省嘉興市海鹽縣三毛小學 何月豐

例題與習題是數學教學最主要的載體。例題是數學教育教學專家根據知識本身的邏輯關系和學生自身的認知特點，結合教育學和心理學的原理，按照一定的序列進行編排的，經過不斷優化，已經形成一套較為完備的系統。例如，在教學“平面圖形的面積計算公式”時，學生一般會經歷“長方形→正方形→平行四邊形→三角形→梯形→圓形”這樣的過程。根據這樣的序列，以及學生的認知能力，教師將這些計算公式安排在不同的年級進行教學，讓學生在學習每一個計算公式時，都不會覺得難，進而使學生能較好地理解其形成過程。

那么，學生通過例題學習理解了“平面圖形面積計算公式”的形成過程，知道了平面圖形面積的計算方法，計算公式的教學是不是就結束了呢？當然不是。接下來，學生還需要做習題，通過解答習題，鞏固對計算公式形成過程的理解，熟練運用計算公式解決問題，還要在運用中進一步發現，等等。因此在數學教學中，例題常常僅為某一知識的教學起個頭，學生對這一知識學習的真正深刻和深化，依賴于習題。

由此可見，習題與例題一樣，在數學教學中同樣承擔著極其重要的使命。為了更好地實現這個使命，數學教學中的習題，同樣具有自身的編排系統，處于這個系統中的每一道習題，有自己獨特的功能。教師要系統把握數學中的習題，以使數學習題教學更具邏輯、更顯實效。

一、數學中的習題系統

數學中習題的編排具有怎樣的系統呢？下面，先以人教版數學五年級上冊“平行四邊形的面積”一課后編排的“練習十九”為例進行分析。

“練習十九”一共編排了11道習題。仔細分析這11道習題的內容和目標，我們可以清晰地看到這些習題的層次是不一樣的。（見下表）

層次 題號 內容 目標1解決問題，已知平行四邊形的底和高，求面積（與例1形式匹配）2抽象圖形，已知平行四邊形的底和高，求面積（3幅圖均有變式）3 填表，已知平行四邊形的底和高，求面積熟練根據平行四邊形的底和高求面積的方法第一層次基礎訓練4 操作計算，自己測量平行四邊形的底和高，求面積解決問題，涉及計算平行四邊形面積、單位轉化、根據面積計算重量 根據平行四邊形的底和高求出面積后，問題跟進10 5在方格圖上計算平行四邊形的面積，并求三角形面積（平行四邊形的一半）變式理解 9 根據平行四邊形的面積和底，求高第二層次平行四邊形面積計算公式的逆運用已知平行四邊形的底和高，求面積，兩個平行四邊形同底等高 發現等底（同底）等高，面積相等（等積變形）7 6第三層次探索知新根據正方形周長計算平行四邊形面積，正方形和平行四邊形同底等高8 長方形框架拉成平行四邊形，周長與面積的變化 運用推理、平移等知識創造性地解決問題11第四層次綜合創新根據大平行四邊形的面積，求小平行四邊形的面積（一半）

在上表中，筆者將“練習十九”中的11道習題根據其內容和目標分成了四個層次。這種分法以及每個層次的名詞當然是基于自己的理解而形成的。這也就是說，我們當然可以根據不同的理解將這11道習題分成三個層次或者五個層次，或者取不同的名詞。不過，這都不是最重要的，關鍵是通過對這些習題進行分層，我們可以看到在一道例題學習之后習題編排的一般序列。

第一層次：基礎訓練。在一道例題教學之后，教師一定會先讓學生做一些非常基礎的習題。這些習題在要求上僅僅是將例題中習得的知識、技能進行簡單運用，實現對知識、技能的鞏固和熟練。例如，“練習十九”中的第1、第2、第3、第4題，都是單純根據平行四邊形的底和高計算面積，第5、第10題都是在計算出面積的基礎上，再進行簡單問題跟進。這6道習題雖然形式各不相同，但核心目標是一致的——實現對平行四邊形面積計算公式的深刻理解和熟練運用。

第二層次：變式理解。在進行了一定量基礎習題的訓練之后，學生對最基本的運用已經比較熟練，技能得到一定的鞏固，這個時候，教師就需要對運用的要求進行適當提升，以進一步實現深刻理解知識。提升的方式常常是“變式”，如正向運用變式為逆向運用、直接運用變式為間接運用等。例如，“練習十九”中的第9題，根據平行四邊形的面積和底求高，就是公式的逆運用。雖然是逆運用計算公式，但本質還是在運用的過程中加深對計算公式的理解，是在變式中理解。有些教師認為這道題是蘊含新知識的，該在更高的層次。其實不然，首先，學生已經在三年級學習“長方形面積”的時候，經歷過計算公式的逆運用。其次，學生在四年級的時候已經學習了乘除法的關系。因此，對于這樣的公式逆運用，感覺不難。這是筆者將其放在“變式理解”的原因。

第三層次：探索知新。例題中蘊含的知識或技能一般是最基礎的，一些與例題相關的新知識，常常蘊含在習題中，需要學生通過進一步解題探索發現，以完善認識，實現對知識理解的深化。因此，通過“基礎訓練”和“變式理解”兩個層次進行習題教學之后，接下來，教師就需要通過習題來引導學生進一步探索而知新。例如，“練習十九”中的第6、第7題，表面上依舊是在計算平行四邊形的面積，但其中蘊含著等底（同底）等高這一面積計算中非常重要的知識點。

第四層次：綜合創新。數學中的知識往往不是孤立存在的，與其他知識之間具有一定的聯系。也就是說，一道數學習題，可以關聯很多數學知識。學生解答一道這樣的數學習題，需要綜合運用學過的相關知識，創造性地解決問題。蘇聯數學家弗里德曼等著的《怎樣學會解數學題》一書中指出，解題是一種創新性的活動。波利亞、羅增儒、單墫等解題教學專家都在自己的著作中有過這樣的論述，可見這個觀點是站得住腳的。例如，“練習十九”中的第11題，就是一道這樣的習題。解答這道習題，我們可以將兩邊的空白三角形平移到一起，就能直觀看到陰影部分是整個圖形面積的一半；可以連接A、B兩點，構成4個完全一樣的三角形，進而通過平均分計算得到陰影部分的面積；還可以根據平行四邊形的面積計算公式進行推理，陰影部分這個小平行四邊形的高和大平行四邊形的高是一樣的，底是大平行四邊形的一半，所以，面積也是大平行四邊形的一半；當然也可以運用等底等高（等積變形）的方法，移動小平行四邊形的下底至大平行四邊形的最左邊，也可直觀看到陰影部分是整個圖形面積的一半。這些方法都不是直接運用平行四邊形面積的計算公式，因此，學生想到其中任意一種方法，都是創造性綜合運用所學知識的體現。

通過以上分析，我們可以看到，“練習十九”中習題的編排，具有一個從單一到綜合、從簡單到復雜、從基礎到拓展的序列。“練習十九”是一個相對比較典型的例子，它所反映的習題編排序列自然有一定普適性，因此，這個序列便可理解為是數學習題編排的一般序列。接下來，我們就將這樣的習題編排序列進行更為一般化的表示，進行更一般化的解讀。

如果我們把平行四邊形面積計算公式的教學看成例1，把三角形面積計算公式的教學看成例2，把“練習十九”中11道習題的四個層次看成習題1、習題2、習題3、習題4，數學中的習題系統則可這樣表示。（見圖1）

圖1

從圖中我們可以看出，習題1到習題4呈現明顯的梯級上升趨勢。這種上升趨勢主要體現在習題對學生認知能力的要求上，即越上層級的習題對學生認知能力的要求也會越高。同時，以例1對學生認知能力的要求為標準，則在例1之后編排的習題中，對學生認知能力的要求有一個從低于例1到逐步高于例1的過程。這是因為，例1教學之后一開始的習題是基礎型的，只是重復訓練，因此對學生認知能力的要求是低于例1的，后續的習題逐步走向綜合，需要學生探索、創造等，因此對學生認知能力的要求自然會不斷提高，并逐漸高于例1。

從圖1我們還可以看出，例1之后的習題教學完成后，例2對學生認知能力的要求又回到和例1差不多的程度。即從例1到例2的教學，對學生認知能力的要求并沒有呈現出明顯的上升趨勢。這是因為例1和例2之間一般會存在著一定的邏輯關系，學生在學習例2時已經有了例1作為認知基礎，且進行了系統的例1之后的習題學習，在學習例2時，難度與例1相差自然不大。

仔細觀察圖1，我們還可以發現，在這個習題系統中，在習題4上方，筆者還設置了一個“？”，表示只要我們愿意，圍繞例1編排的習題的“難度系數”還可進一步上升，出現習題5這個層次也是可行的。既然如此，我們自然也可以反過來思考，習題5這個層次是可以沒有的，那么，習題4這個層次自然也是可以沒有的。而這就要依據例1知識本身的特點而定了。倘若例1蘊含的知識、技能非常簡單，那么，習題編排只有習題1、習題2這樣兩個層次也是客觀存在的。

以上習題系統的分析是基于一道例題的教學而言的。我們很容易推想，例2教學之后的習題系統，也會呈現這樣的梯級上升趨勢。當然，如上述考慮到例1和例2本身蘊含知識的難易不一，各例題之后習題系統中的梯級上升層次數也會不一。關于這一點，可如圖2表示。

圖2

從圖2我們可以看出，例1教學后的習題只有兩個上升層級，而例2教學后的習題則有四個上升層級。我們不難理解，在例2后的習題3、習題4中，極有可能綜合了例1的知識。從這個層面講，例1之后的習題并不是只有兩個層級，只是將更高的層級后移了而已。當然，例2中的習題3、習題4，就更具綜合性了。

綜合上述分析，數學中的習題系統就比較清晰地展現在我們眼前了。

首先，根據習題本身所含的知識結構具有從單一到綜合的序列，根據習題本身的難易程度具有從簡單到復雜的序列，根據習題教學的具體目標具有從基礎到拓展的序列。

其次，這些習題按一定序列穿插編排在各年級的各例題之間，不同的習題對學生的認知能力提出了不同的要求，總體上呈現出波浪式的發展趨勢（如圖3）。

圖3

二、數學習題系統對習題教學的啟示

對數學中習題系統的分析，旨在從中進一步看清習題的價值，發現一些客觀存在的規律，進而啟示我們的教學。

（一）習題教學要有節奏推進

學習是有客觀規律的。遵循學習的客觀規律開展教學，能讓學生更好地學習。習題系統反映出習題編排是有一定序列的，這個序列便是遵循學習規律的體現。這就告訴我們，習題教學應遵循這樣的序列，有節奏推進，梯級上升，這樣才能真正幫助學生實現對例題知識學習的深刻和深化，為學生后續進一步學習新知識奠定扎實的基礎。

在這里，深刻就是指通過習題教學，將知識深深地刻在學生的腦海中，實現這個目標主要依賴于“基礎訓練”和“變式理解”這兩個層級的習題，這些習題所處的位置可以稱為“深刻區域”；深化就是指通過習題教學，將知識進行完善、關聯、拓展，使其向更高階段發展，實現這個目標主要依賴于“探索知新”和“綜合創新”這兩個層級的習題，這些習題所處的位置可以稱為“深化區域”。不難看出，使學生的學習從深刻逐步走向深化，不僅是習題教學的重要使命，還是習題教學有節推進的重要體現。這樣的節奏，可如圖4表示。

圖4

從圖4中我們可以看出，“深刻→深化”是大節奏，“基礎訓練→變式理解→探索知新→綜合創新”是小節奏。按這樣的節奏開展數學習題教學，便是遵循學習客觀規律的體現。

也許，我們能在一些公開課上看到例題教學之后很快就呈現綜合性很強的習題。對于這樣的設計，我們自然是認可的。因為，當輪到自己要執教一節公開課時，我們也會設想在課的結束階段設置一道有“亮點”的習題，以增加課的內涵。不過，我們心里是清楚的，公開課更多是教學理念的展現，因此，像公開課這樣的做法，其實在日常教學中并不常見。平時的教學，更多的是一步一個腳印踏實向前走，盡可能顧及每個學生的理解能力和掌握情況。因此，“深化區域”的習題，更多時候放在練習課中更為合適，新授課一般安排“深刻區域”的習題。也就是說，只有先深刻了，學生才能更好地深化。

（二）習題教學要多形式豐富

教學例題時，我們往往會創設生動有趣的情境，引導學生通過獨立思考、動手實踐、小組交流等，經歷知識的形成過程，實現知識的“再創造”。這樣的學習過程是極其豐富和厚實的。但是，到了習題教學時，這個過程需要被簡化。如習題的呈現會變得更加直接，條件是什么、問題是什么，常常整體出示，一目了然，學生獨立解答之后，常常也只要教師分析即可。這就產生了習題教學的一般模式：教師出題→學生解題→教師分析。這樣的一般模式，簡化了每一道習題教學的過程（相對于例題教學而言），為能進行更多量和更多形式的習題教學贏得了時間。

但是，通過分析習題系統，我們看到，例題后的習題教學并不是一直處在一個層級，而是呈梯級上升的趨勢。在不斷上升的層級中所設置的習題，對學生的認知能力具有不同的要求。由此，我們不難理解，“綜合創新”的習題如果也像“基礎訓練”的習題一樣教學，往往只能是流于形式，難以真正實現其內在的教學價值。因此，“教師出題→學生解題→教師分析”這樣的習題教學一般模式，雖然是極其重要且需要廣泛采用的，但不是絕對唯一的習題教學模式。根據習題所處的層級以及教學實際，教師需要對這種一般模式進行必要的豐富與厚實。

1.細節豐富

所謂細節豐富，即對“教師出題→學生解題→教師分析”中的某一個步驟進行豐富，從而更好地實現習題內在的教學價值。細節豐富主要體現在“基礎訓練”和“變式理解”這兩個層級的習題上。

處于“基礎訓練”這個層級的習題，總體上可按照“教師出題→學生解題→教師分析”三個步驟簡化執行。需要注意的是，這個層級的習題緊跟著例題，因此，對例題后的第1道（組）習題，在“教師分析”這個步驟上，教師需要請學生自己來講一講這樣做的道理，對于后期的一些習題，對原理的回顧可淡化，只要分析對錯即可。處于“變式理解”這個層級的習題，其外在形式已經發生了變化，但本質是不變的，所以，教學過程也只要在“教師分析”環節進行適當豐富，具體就是需要學生講明白“為什么”——找到本質，當然，教師要在學生解釋的基礎上適當跟進，進一步明確。

總體而言，在上述兩個層級上的習題教學，重在使學生“深刻”，因為習題的解題方法一般是唯一的、常規的，教師可以采取“短、平、快”的一般模式進行推進。

2.整體豐富

所謂整體豐富，即對“教師出題→學生解題→教師分析”中的多個步驟進行豐富，從而更好地實現習題內在的教學價值。整體豐富主要體現在“探索知新”和“綜合創新”這兩個層級的習題上。

處于“探索知新”這個層級的習題，對于“教師出題→學生解題→教師分析”這三個步驟，常常需要在“教師出題”和“教師分析”這兩個步驟上進行適當豐富。這是因為，這個時候的習題蘊含新知或新方法，且習題的外在形式有可能會發生比較大的變化，如結構開始復雜、問題開始具有挑戰性等。所以，對于此時的習題呈現，教師可以考慮分步出示，而不是整體呈現，甚至可以創設簡單的情境。對學生解題之后的反饋，教師更需要重視，不能簡單分析，而是要充分展現學生的方法和想法，在對比分析中，實現“再發現”。處于“綜合創新”這個層級的習題，一般需要在每一個步驟上進行適當地豐富。特別是在“學生解題”和“教師分析”這兩個環節上，教師要予以足夠的重視。對于學生解題，除了獨立思考，教師還可安排小組交流活動，反饋時與“探索新知”一樣，要充分且到位，特別是對于一些具有“創造性”的方法，不僅要呈現，還要想辦法引導所有學生理解。

總體而言，這兩個層級上的習題教學，每一道習題的教學時間明顯比前面層級上習題的教學時間長，學生思考、反饋需要更加充分，以實現“深化”。對于一些特別重要的習題，教師像例題一樣教學也是不為過的。

（三）重視“深化區域”習題的設計與教學

數學被譽為“思維的體操”，這說明數學是發展人思維最好的載體。在學科教學價值層面，“數學教學的最終目標是發展學生的思維”這樣的觀點已經被廣泛認可。那么，是不是只要學數學，就一定能很好地發展思維呢？當然不是。這一方面涉及數學教學的方法，另一方面涉及數學教學的載體。筆者相信，倘若一直是教師講解式的教學，一直做“基礎訓練”的習題，哪怕最終學生每次都能做到全對，也不見得就能很好地發展學生的思維。這就告訴我們，通過數學教學發展學生的思維，一方面需要教師豐富教學方法，另一方面需要教師提升數學教學的“難度系數”。

通過數學中的習題系統，我們可以清楚地看到，提升數學教學“難度系數”的最佳載體是習題。更具體地講，就是要重視“深化區域”習題的設計與教學。確實，據相關研究表明，就當前我們的數學習題教學而言，在“基礎訓練”上是扎實有余，但在探索創新上卻明顯不足。因此，重視數學習題系統中“深化區域”習題的設計與教學，就顯得尤為重要。

關于這個方面，首先，教師要做好教材上、作業本上現成的“深化區域”習題的教學工作，充分發揮這些習題在學生思維能力培養上的作用。這一點，在“啟示”的第二方面已經有過交代，此處不再贅述。

其次，教師要重視對“深刻區域”習題的改編，提升其思維含量。教材上、作業本上的一些習題，如果僅就現有的樣子進行解答，可能思維含量不高。此時，我們如果能適當在此基礎上跟進一個更具挑戰性的問題，或者將原來的條件、問題進行適當改編，使習題更具挑戰性，就能進一步提升這些習題的思維含量。這可能是當前更為重要的一個策略，因為這樣的做法，既顧及了這些習題的“深刻”功能，也使這些習題具備了一定的“深化”功能。

最后，教師要重視對“深化區域”習題的自主創編。在教學中，以對學生思維能力的培養為核心價值取向，教師在深入分析知識本質和學生認知能力的基礎上，結合教學的實際，適當增加一些具有一定思維含量的習題，以細水長流的方法融入自己的日常教學，就是一個好的策略。如一些學校開展的“聰明題每日學”活動，便是一種好的方法。

以上對于數學中習題系統的分析，以及由此產生的對于教學的啟示，僅是筆者在習題教學中不斷學習、實踐和反思中形成的個人觀點。這些觀點想要表達的核心思想是對于數學習題教學，我們需要有“一題研究”的意識，更要有系統把握的能力。因為，我們只有更清楚地把握了整個習題系統，才能真正看清系統中每一道習題的價值，這有助于我們的習題教學更有邏輯地開展，更顯實效。