空間宏微機(jī)械臂振動抑制最優(yōu)軌跡規(guī)劃

尹旺 王翔

(北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

隨著空間機(jī)械臂在航天領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，復(fù)雜多樣的空間任務(wù)對機(jī)械臂的綜合性能提出了更高的需求，如快速響應(yīng)、高精度、小自重和大工作范圍等[1]。因此一些國家試圖在大機(jī)械臂的末端再附加一個小的機(jī)械臂，大的機(jī)械臂稱為宏機(jī)械臂，小機(jī)械臂稱為微機(jī)械臂，研究表明這種宏微結(jié)構(gòu)能大大改善機(jī)械臂的性能。加拿大的空間站遙操作機(jī)械臂系統(tǒng)(SSRMS)與其末端的專用靈巧機(jī)械臂(SPDM)、日本的實(shí)驗(yàn)艙遙控機(jī)械臂系統(tǒng)(JEMRMS)以及中國天宮空間站上的核心艙機(jī)械臂(CMM)和實(shí)驗(yàn)艙機(jī)械臂(EMM)均采取了宏微機(jī)械臂的設(shè)計[2]。

為了減輕自重，節(jié)約發(fā)射成本，宏機(jī)械臂的臂桿通常采用低密度的碳纖維材質(zhì)，這種大跨度、輕質(zhì)的宏機(jī)械臂通常會表現(xiàn)出一定的柔性特性。中國空間站上的宏微機(jī)械臂采用的是分時獨(dú)立控制的方式，即先由宏機(jī)械臂完成大范圍的轉(zhuǎn)移—將微機(jī)械臂帶到期望的工作區(qū)域，然后由微機(jī)械臂執(zhí)行細(xì)微操作，此時的宏機(jī)械臂相當(dāng)于為微機(jī)械臂提供一個平臺[3]，由于兩者之間存在動力學(xué)耦合，因此微機(jī)械臂的運(yùn)動會激起柔性基座的彈性振動，而基座的彈性振動反過來又會影響微機(jī)械臂末端的操作精度。文獻(xiàn)[2]指出載荷照料是實(shí)驗(yàn)艙機(jī)械臂的主要任務(wù)之一，而機(jī)械臂末端的高精度定位是完成載荷出艙、安裝、拆卸和回收的首要前提，因此減小機(jī)械臂在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的振動是工程中需要解決的難題。

文獻(xiàn)[4]設(shè)計了一種被動三自由度變剛度的基座用來模擬柔性宏機(jī)械臂，該柔性基座能模擬宏機(jī)械臂在各種不同構(gòu)型下的剛度特性。文獻(xiàn)[5]中基于阻抗控制算法為宏機(jī)械臂設(shè)計了相應(yīng)的微機(jī)械臂，試驗(yàn)表明該宏微機(jī)械臂系統(tǒng)能完成柔順運(yùn)動。文獻(xiàn)[6]中為JEMRMS系統(tǒng)設(shè)計了自適應(yīng)控制器，在系統(tǒng)模型存在不確定性的情況下仍能對宏機(jī)械臂的彈性振動進(jìn)行有效抑制。文獻(xiàn)[7]針對冗余自由度機(jī)械臂安裝在柔性基座的模型，應(yīng)用奇異攝動方法對柔性基座的彈性振動進(jìn)行了抑制，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。文獻(xiàn)[8]同樣采用奇異攝動方法對空間機(jī)械臂的彈性基座進(jìn)行了抑振，算法的實(shí)質(zhì)是將機(jī)械臂動力學(xué)模型從時間尺度上分解為快、慢兩個子系統(tǒng)，并分別進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[9]針對柔性基座機(jī)械臂提出一種基于反作用零空間的復(fù)合控制方法，使機(jī)械臂在運(yùn)動過程中幾乎不對柔性基座產(chǎn)生擾動。考慮到基座在重力作用下發(fā)生彈性位移，文獻(xiàn)[10]為柔性基座機(jī)械臂設(shè)計了一種柔順控制律，在不需要基座運(yùn)動信息的情況下仍能補(bǔ)償末端執(zhí)行器的靜態(tài)偏差。

以上研究從主動控制算法層面提出了柔性基座彈性振動，一方面控制算法較為復(fù)雜，有待進(jìn)一步在軌驗(yàn)證，另一方面振動抑制效果受限于機(jī)械臂構(gòu)型及運(yùn)動軌跡。本文以基座彈性振動為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行軌跡規(guī)劃抑振的研究，基座的振動得到抑制之后機(jī)械臂末端的定位精度會相應(yīng)提高。

1 系統(tǒng)動力學(xué)方程

不失一般性，以作平面運(yùn)動的三連桿柔性基座機(jī)械臂為例，建立柔性基座機(jī)械臂的動力學(xué)模型，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中：微機(jī)械臂的基座(M)通過彈簧和阻尼器與慣性空間連接，彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)用k和c表示。為表示機(jī)械臂各連桿之間的相對位置關(guān)系，建立各連桿的固連坐標(biāo)系oixiyizi(i=1,2,3)，坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)位于第i個連桿的關(guān)節(jié)處，連桿xi沿著臂桿指向下一關(guān)節(jié)，zi垂直紙面向外，通過右手螺旋定則確立yi，連桿的相對轉(zhuǎn)角θi定義為xi-1繞zi到xi旋轉(zhuǎn)的角度。圖1中：oMxMyMzM為柔性基座M的固連坐標(biāo)系，omxmymzm為機(jī)械臂末端坐標(biāo)系，o0x0y0z0為慣性坐標(biāo)系，基座相對于基坐標(biāo)系的彈性位移記為δ。

圖1 柔性基座機(jī)械臂系統(tǒng)

為簡化模型，作出以下假定：①彈簧只在水平方向作伸縮運(yùn)動；②不計彈簧的分布質(zhì)量；③微機(jī)械臂各連桿為均質(zhì)剛性桿，連桿i長度為li；④動力學(xué)模型中不考慮重力影響。

1.1 機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)

微機(jī)械臂連桿i的質(zhì)心在慣性系下位置矢量可表示為

(1)

(2)

連桿i的角速度可表示為

(3)

1.2 柔性基座機(jī)械臂動力學(xué)

(4)

式中：mi和Ii分別為連桿i的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，M為基座質(zhì)量，等式右邊第1項(xiàng)為微機(jī)械臂的平動動能，第2項(xiàng)為微機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動動能，第3項(xiàng)為柔性基座的動能。

由于不計重力作用，因此系統(tǒng)中的勢能僅為線性彈簧伸縮存儲的彈性勢能

(5)

式中：δ為基座振動位移。

另外，系統(tǒng)中阻尼器產(chǎn)生的耗散能可表示為

(6)

將式(4)～(6)求得到的動能、勢能以及耗散能代入到第二類拉格朗日方程得到柔性基座機(jī)械臂的動力學(xué)方程為

(7)

式中：Hb∈R1為柔性基座的質(zhì)量特性；Hbm∈R1×3為柔性基座和微機(jī)械臂之間的慣性耦合矩陣；Hm∈R3×3為微機(jī)械臂的慣性矩陣；cb∈R1和cm∈R3×1為非線性項(xiàng)；τ∈R3×1為微機(jī)械臂的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩矢量。

由式(7)的上半部分得到柔性基座在平衡位置附近的彈性振動方程為

(8)

(9)

式中：s1=sinθ1；c1=cosθ1；s12=sin(θ1+θ2)；c12=cos(θ1+θ2)；s123=sin(θ1+θ2+θ3)，c123=cos(θ1+θ2+θ3)。

2 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃

關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃是指機(jī)械臂只需要完成空間點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動，對末端的運(yùn)動軌跡沒有要求。規(guī)劃流程是首先獲得參數(shù)化的關(guān)節(jié)軌跡，以參數(shù)化的變量為個體，以目標(biāo)函數(shù)作為評價函數(shù)，最后采用優(yōu)化算法對優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。本文采用四級龍格-庫塔法對式(8)所示的基座振動方程進(jìn)行數(shù)值求解，即可求得基座振動位移δ的時間歷程，并以基座最大振動幅值作為目標(biāo)函數(shù)。

2.1 參數(shù)化關(guān)節(jié)軌跡模型

為了使機(jī)械臂關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡更加光滑同時不至于使軌跡方程過于復(fù)雜，本文用分段函數(shù)描述關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡，該分段函數(shù)分別為4次、3次、4次的多項(xiàng)式，本文簡稱為“4-3-4”形式的運(yùn)動軌跡，分段函數(shù)的表示達(dá)式為

(10)

式中：a0，a1…a4，b0、b1…b3，c0，c1…c4為分段多項(xiàng)式的待定系數(shù)，關(guān)節(jié)軌跡曲線的大致形狀如圖2所示。假設(shè)各關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡滿足初始及終止時刻速度和加速度為零，同時分段軌跡函數(shù)的連接處速度和加速度連續(xù)，在該條件約束下能唯一確定各關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡。

圖2 “4-3-4”參數(shù)化軌跡曲線

現(xiàn)將該軌跡函數(shù)參數(shù)化，引入如下的設(shè)計參數(shù)，也是后續(xù)的優(yōu)化變量。已知機(jī)械臂運(yùn)動的總時長tf以及各關(guān)節(jié)的起始角度θj0和終止角度θjf(j=1,2,3)，引入一組待定參數(shù)γj和βj，γj和βj的取值均在0和1之間，為了方便表示，將所有待定參數(shù)組合在一起，表示成λ=[γ1γ2γ3β1β2β3]，當(dāng)優(yōu)化參數(shù)λ給定后，3個關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡唯一確定，因此關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成待定參數(shù)的優(yōu)化問題。

(11)

式中：γj=(tj2-tj1)/tf；βj=(θj2-θj1)/(θjf-θj0)。

2.2 基于遺傳算法的優(yōu)化分析

2.2.1 仿真條件

由于遺傳算法是一種簡單、高效的全局優(yōu)化算法，僅僅以目標(biāo)函數(shù)作為搜索信息就能得到最優(yōu)解，因此本文選用遺傳算法，以微機(jī)械臂運(yùn)動過程及運(yùn)動結(jié)束后基座的振動幅值為優(yōu)化目標(biāo)，通過對關(guān)節(jié)的軌跡參數(shù)λ進(jìn)行優(yōu)化實(shí)現(xiàn)抑振目的。該優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(12)

2.2.2 仿真結(jié)果分析

圖3 目標(biāo)函數(shù)的變化曲線

優(yōu)化后的待定參數(shù)代入式(10)和(11)，即可得到關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的角位移函數(shù)，如圖4所示，從圖中可見各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動軌跡光滑連續(xù)，在始末時刻的速度和加速度為0，工程上易于實(shí)現(xiàn)。

圖4 關(guān)節(jié)的角位移曲線

當(dāng)微機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的運(yùn)動規(guī)律已知時，根據(jù)式(8)可求得柔性基座的彈性位移，如圖5所示。從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，微機(jī)械臂基于對照參數(shù)組以及5次多項(xiàng)式的軌跡進(jìn)行運(yùn)動，激起的基座振幅達(dá)到0.156 m和0.073 m，相比之下，按照優(yōu)化后的關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行運(yùn)動振動幅值僅為0.039 m，表明文中的軌跡規(guī)劃方法能有效抑制柔性基座的彈性振動。圖6給出了微機(jī)械臂按照不同路徑進(jìn)行點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動時對基座的等效激振力，顯然，對照組的等效激振力幅值最大，五次多項(xiàng)式的幅值次之，基于優(yōu)化軌跡運(yùn)動產(chǎn)生的激振力幅值最低，這與圖5中基座的振動情況相一致。

圖5 柔性基座的振動位移曲線

圖6 微機(jī)械臂運(yùn)動產(chǎn)生的激振力

3 冗余機(jī)械臂自運(yùn)動優(yōu)化

由于冗余自由度微機(jī)械臂具有“自運(yùn)動”能力，使其具有很強(qiáng)的靈活性，因此在抑制基座的彈性振動方面也有很大優(yōu)勢。當(dāng)機(jī)械臂末端需要跟蹤特殊軌跡時，可以對機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)中的自運(yùn)動項(xiàng)進(jìn)行優(yōu)化，在保證末端跟蹤軌跡的同時，最小化基座振動。

機(jī)械臂末端廣義速度與關(guān)節(jié)角速度之間的關(guān)系為

(13)

式中：J(θ)為機(jī)械臂的雅克比矩陣，隨著機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的變化而變化。由矩陣?yán)碚撝?13)的逆解為

(14)

式中：J+=JT(JJT)-1稱為雅克比矩陣的偽逆；h為優(yōu)化系數(shù)，為保證關(guān)節(jié)的連續(xù)順滑，令h按照機(jī)械臂末端的速度曲線進(jìn)行變化，即為四次多項(xiàng)式函數(shù)。等式右邊第1項(xiàng)是最小范數(shù)解；第2項(xiàng)是冗余自由度機(jī)械臂的自運(yùn)動項(xiàng)，指機(jī)械臂關(guān)節(jié)在零空間內(nèi)產(chǎn)生自運(yùn)動但不會引起末端的運(yùn)動，機(jī)械臂在零空間的速度項(xiàng)只會引起機(jī)械臂構(gòu)型的變化而末端的狀態(tài)不受影響。因此本部分以自運(yùn)動項(xiàng)作為優(yōu)化項(xiàng)對機(jī)械臂運(yùn)動過程中產(chǎn)生的基座反作用進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 仿真條件

(15)

3.2 仿真結(jié)果分析

圖7 自運(yùn)動優(yōu)化前后的基座振動曲線

由圖8可知最小范數(shù)解的物理含義是機(jī)械臂各關(guān)節(jié)以最小的運(yùn)動量完成末端軌跡跟蹤，圖9表明當(dāng)冗余機(jī)械臂中自運(yùn)動項(xiàng)不為零時會增加各關(guān)節(jié)的運(yùn)動量，盡管在運(yùn)動時間相同的情況下，后者引起的基座振動幅值仍小于前者，實(shí)質(zhì)上是通過選擇合適的“自運(yùn)動”使微機(jī)械臂產(chǎn)生較小的激振力，于是柔性基座受迫振動的幅值也較小，圖10為微機(jī)械臂的剛性運(yùn)動對柔性基座產(chǎn)生的等效激振力。

圖8 基于最小范數(shù)解的運(yùn)動軌跡

圖9 最優(yōu)自運(yùn)動的運(yùn)動軌跡

圖10 微機(jī)械臂運(yùn)動產(chǎn)生的激振力

雖然基于自運(yùn)動項(xiàng)對機(jī)械臂的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時是以犧牲關(guān)節(jié)的運(yùn)動量為代價的，盡管如此，基于自運(yùn)動的優(yōu)化方法在工程中仍有一定應(yīng)用價值，因?yàn)闄C(jī)械臂運(yùn)動所消耗的電能在太空中來源于可再生能源。相比于關(guān)節(jié)運(yùn)動所消耗的電能，減小宏機(jī)械臂彈性振動，提高組合臂末端的操作精度有更大意義。

4 結(jié)束語

本文從軌跡優(yōu)化層面，采用了兩種方法對宏微機(jī)械臂振動抑制問題進(jìn)行了研究。首先針對“4-3-4”形式的關(guān)節(jié)軌跡函數(shù)設(shè)計了振動抑制目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，對微機(jī)械臂進(jìn)行了軌跡規(guī)劃；然后將遺傳算法與冗余自由度機(jī)械臂的逆運(yùn)動學(xué)理論相結(jié)合，對逆運(yùn)動學(xué)中的自運(yùn)動項(xiàng)進(jìn)行優(yōu)化。仿真表明兩種方法都能對柔性基座的振動抑制起到良好的效果。需要指出的是，文中所建立的柔性基座機(jī)械臂動力學(xué)模型是簡化后的理想模型，對于我國空間站上搭載的大、小組合機(jī)械臂系統(tǒng)，大臂末端可以等效成具有六自由度彈性振動的柔性基座，小機(jī)械臂具有七自由度，其動力學(xué)方程極其復(fù)雜，本文從原理上提出并驗(yàn)證了利用運(yùn)動軌跡優(yōu)化進(jìn)行振動抑制方法的有效性，后續(xù)可進(jìn)一步針對復(fù)雜機(jī)械臂動力學(xué)模型驗(yàn)證本文方法的有效性。