基于任意四邊形鑲嵌的四方連續圖案智能化設計技術研究

劉肖健，呂蕓蕓，趙贏男，黃鑫宇

（浙江工業大學，杭州 310023）

在服裝面料、室內裝飾板、背景底紋等平面設計中，經常需要基于圖形單元對一個無限的平面進行無交疊填充，即圖形單元平鋪布置，相互之間不存在交疊。四方連續圖案是完成此類任務最常用的手段，對圖案中的圖形單元有分布均勻、疏密平衡等美學要求，同時還要避免簡單復制帶來的僵硬感和機械感。由于選定的圖形單元其本身的形狀并不規則，且多個圖形單元的組合方式靈活多變，所以畫面布置與調整將比較耗時。筆者利用任意四邊形無縫鑲嵌的原理來解決上述設計問題，開發了智能化的設計工具，以提高設計師的工作效率。

1 概述

四方連續是一種常見的平面圖案類型[1]，屬于對稱圖形的一種。Washburn 等[2]基于對各國傳統紋樣的研究，梳理了多達幾十種不同的對稱規則，其中絕大多數可用于四方連續圖案的構造。四方連續圖案的自動生成技術在計算機圖形領域已有較長的研究歷史，如李寶德等[3]早在1992 年就創造了面料四方連續圖案的自動生成算法，實現了圖塊的復制及跨邊界單元的處理；金蘭名等[4]提出了連續式、比例式、分段式、整體式等四方連續圖案的設計手段，可以快速完成符合工藝要求的織物圖案設計；劉艷等[5]給出了重疊式四方連續的構造規律，并對織機效果進行了數字模擬；劉肖健等[6]基于二進制的編碼方式，實現了中國古代墻洞填充四方連續圖案的自動設計。

鑲嵌圖案指由一種或有限的幾種圖形單元通過無縫拼合得到的圖案。各國傳統紋樣中均存在鑲嵌圖案。荷蘭藝術家Escher 在鑲嵌圖案方面的創意和探索，引起了科學界和藝術界的興趣，并引發了大量研究[7]。Naimia 等[8]對Escher 的連續鑲嵌網格構造原理給出了數學證明；Fratta 等[9]改進了任意方向的3D 單元鑲嵌方法，對Escher 的藝術設計思想給出了數學解釋；Liu 等[10]利用Escher 風格的無縫圖案鑲嵌技術，解決了切割材料的排版和節約問題；Lin 等[11]開發了一個軟件系統，主要用于生成漸變類型的Escher 鑲嵌風格；Zhou 等[12]基于曲線自動構建裝飾圖案的方法，為非專業用戶提供了一個可以繪制復雜裝飾圖案的工具；Adanova 等[13]對鑲嵌式圖案的設計方法進行了探索，給出了基于單元分組的創新方法；Hu 等[14]采用連續優化和組合優化相結合的方法，開發了利用不規則瓷磚進行無縫鑲嵌的技術。鑲嵌圖形也被大量用于藝術創作之外的領域，如Mizzi 等[15]利用鑲嵌圖案原理來設計材料的微結構，實現對材料性能與形態的精確控制；Schumacher 等[16]根據美學性能和功能性需求來設計鏤空建筑材料的四方連續圖案。

任意四邊形的可鑲嵌性可以用于解決藝術設計、材料設計、制造工藝規程等領域的問題。筆者根據平面藝術設計中的填充式四方連續圖案，把鑲嵌單元從傳統的直邊四邊形拓展到曲邊四邊形，在可鑲嵌性的前提下，開發了可供設計師自由發揮的創意工具。同時把鑲嵌單元用作其他圖形元素的“外殼”，通過豐富的形態變化來滿足不規則圖形元素均衡分布的需要。

2 基本原理

2.1 直邊四邊形的鑲嵌

基于初等幾何學可以證明，任意四邊形單元均可無縫鑲嵌[17]，見圖1。

圖1 四邊形的無縫鑲嵌Fig.1 Seamless tessellation of quadrilaterals

基于四邊形鑲嵌的四方連續，需要利用4 個相同的四邊形單元，通過旋轉、移位來構造出一個復合單元，然后利用復合單元進行常規的陣列操作。在四邊形內填入圖形元素，令其符合一定的美學原則，完成鑲嵌后再隱藏邊框，即可得到所需的四方連續圖案，見圖2。另外，也可以事先進行內部圖形元素的布置，然后構造出一個四邊形進行緊密圍繞，并彼此調整到位。非凸四邊形（即四邊形包含大于180°的內角）也可以無縫鑲嵌，圖2a 即使用了一個非凸四邊形單元。

圖2 四邊形鑲嵌得到的四方連續圖案Fig.2 Square continuous patterns generated by tessellation

2.2 曲邊四邊形的鑲嵌

圖1b 的復合單元由四邊形各邊進行反向貼合得到，因此四邊形的邊不一定是直線，只要是相對直邊中點對稱的曲線（如正弦曲線）均可進行無縫鑲嵌，見圖3。

圖3 曲邊四邊形單元的鑲嵌Fig.3 Tessellation of curve-edge quadrilaterals

利用曲邊四邊形來調整圖案的緊湊度，見圖4。對稱曲邊四邊形的可鑲嵌性給圖形元素的布置提供了極大的靈活性。例如，可以將圖2a 單元四邊形的邊調整為曲邊，從而使四方連續圖案變得更加緊湊，見圖4a。

比較圖4b 與圖2c，可以看出，圖4b 的空間布置更加緊湊，留白更均勻。曲邊四邊形的無縫鑲嵌也可以用于切割加工的排版設計，在四邊形基礎上，進一步設計出符合可鑲嵌條件的自由形狀來包裹待切割單元，從而最大限度地利用材料。

圖4 利用曲邊四邊形調整圖案緊湊度Fig.4 Regulation of pattern tightness with curve-edge quadrilaterals

3 四方連續圖案智能化設計的技術實施

3.1 功能架構

為實現上述四方連續圖案的智能化設計，基于平面設計師常用的矢量設計軟件CorelDraw 來進行技術開發。CorelDraw 具有豐富的圖形設計功能，圖形元素的設計和布局及四邊形繪制等單元設計工作可以由設計師手工完成，四方連續圖案可以通過四邊形的智能化識別和鑲嵌等自動化方式完成。智能設計技術充分融合設計師的設計思想，通過人機協作的方式進行工作。四方連續設計的技術流程與界面見圖5。

圖5 四方連續設計的技術流程與界面Fig.5 Technical process of the pattern design and the user interface

設計師的工作集中在前期，主要內容是手工構建基本圖案單元（如圖2a、圖4a），具體包括單元內部圖形元素的布置和包圍四邊形的繪制，程序提供輔助工具，從而確保設計師繪制的曲邊四邊形具有可鑲嵌性。復制陣列等工作交由程序處理。平臺軟件CorelDraw 提供了方便的圖形處理函數，使開發工作可以控制在2 周之內，且設計師可以勝任開發工作，不需要職業程序員的介入。由于最體現創意價值的關鍵性工作均由設計師完成，且程序設置了對設計師創建的圖形進行智能識別的算法，所以需要用戶填寫的參數很少，可用性良好。

四方連續設計界面分為4 個部分：基于四邊形單元生成鑲嵌圖案，選定單元圖形后，點擊上方最大的按鈕即可生成四方連續圖案；生成正弦曲邊四邊形，在直邊四邊形基礎上給出4 條邊的波動幅度參數，把直邊四邊形轉化為正弦曲邊四邊形；生成自由曲邊四邊形，在直邊四邊形的基礎上，利用用戶手繪的自由曲線生成可鑲嵌的自由曲邊四邊形；基于復合單元生成鑲嵌圖案，在四邊形單元基礎上構建復合單元。

3.2 曲邊四邊形的可鑲嵌性

不是所有的曲邊四邊形都可以無縫鑲嵌。可鑲嵌的曲邊四邊形需要滿足一個條件，即各曲邊均為直邊中點的中心對稱曲線。以下使用2 種方法構建曲邊：第1 種是基于一條直邊來構造一條正弦曲線形狀的曲邊，并設定一個參數讓用戶輸入，從而控制各邊正弦曲線的起伏高度和起伏方向；第2 種是由用戶手工構造任意形狀的自由曲邊。

第1 種正弦曲邊可以滿足一般性的四方連續圖案的設計，主要用于單元內部的圖形元素填充。筆者基于直邊構建正弦曲邊，采用節點偏移的方法，即在直邊上均勻取點，然后使其向直邊法線方向偏移，偏移量的大小用正弦函數計算，最大偏移量（即正弦波的峰值高度）根據用戶輸入的參數值來確定。基于幾種不同偏移量參數生成的曲邊見圖6。

圖6 正弦曲邊的生成Fig.6 Generation of Sine curve edge

用戶可以在圖5b 界面上部的4 個輸入框中，輸入4 條邊的正弦曲線波幅參數。如果參數值為0，則該邊保持為直線；如果為負值，則正弦波起伏方向相反。用戶也可以通過界面中的“正弦線”按鈕將一條直線快速變為正弦曲線（波幅取自界面上的第1 個參數），然后經過手動壓縮變形（并不改變其對稱性）處理后參與組建曲邊四邊形。有時正弦波形狀的曲邊四邊形不能滿足用戶的需求，因此需要構建自由形狀的曲邊。對此，程序提供了輔助工具，從而確保用戶可以構建出滿足可鑲嵌條件的曲邊四邊形。

用該輔助工具構建一個自由曲邊四邊形的過程如下：選擇一個直邊四邊形（程序會檢測所選的圖形是否正確）；選擇一條開環曲線，該曲線將被用作曲邊四邊形的半條曲邊；將開環曲線復制、縮放并旋轉180°后，與原曲線融合成一條對稱曲線，形成一條可鑲嵌的曲邊；用鼠標在直邊四邊形需要替換的邊的附近進行點擊，程序會搜索附近的直邊，并將曲邊移動到位，使其兩端點與直邊兩端點重合；選擇生成的四條曲邊（或直邊），將其組合成一個曲邊四邊形。界面上的“反向”復選框用于確定曲邊替換直邊時，是否需要基于直邊進行兩側翻轉。自由曲邊四邊形的生成見圖7。

圖7 自由曲邊四邊形的生成Fig.7 Generating free curve-edge quadrilateral

3.3 四邊形的識別

首先，程序需要識別一個圖形是否為可鑲嵌的四邊形，如不是，則給出提示。該過程分為以下2 個部分。

第 1 步，識別待鑲嵌的圖形是否為四邊形。CorelDraw 的圖形以Bezier 曲線的形式表達，曲線在有尖角之處的節點左右兩側的切矢方向不同。程序以此作為四邊形識別的依據：如果有尖角的節點數為4，則是四邊形，否則不是。由于光滑曲線具有連續性特征，所有節點兩側的切矢方向均相同，所以該法可以同時用于檢測直邊四邊形和曲邊四邊形。基于上述規則，三角形也可以用相同的技術來鑲嵌，只要把2 個鄰邊做成一條直線即可。然而，由于檢測規則的約束，2 條鄰邊的夾角不能是精確的180°，而應與180°保持1°以上的差值以確保圖形被識別為四邊形而非三角形，這個差值對四方連續圖案的制作效果基本無影響。

第2 步，識別四邊形是否可以鑲嵌，直邊四邊形均可鑲嵌，曲邊四邊形則需要滿足邊對稱條件才能鑲嵌。程序將四邊形視為曲邊四邊形，并在相鄰兩尖角節點之間的曲線段上均勻取參數點，然后計算參數點到直邊的距離（在直邊一側為正距離，另一側為負距離），如果兩側對稱位置的距離相等，則為可鑲嵌四邊形，見圖8。

圖8 識別四邊形的可鑲嵌性Fig.8 Judgment of quadrilateral's tessellability

3.4 復合單元的構建

本部分工作通過用戶界面中的“復合單元構建”按鈕完成。復合單元是指四邊形（及其內部圖形元素）通過復制、旋轉、平移構成的復合無縫鑲嵌單元，見圖9。復合單元可以通過簡單陣列形成四方連續，見圖9a。

圖9a 中：1 號單元為原始單元；2 號單元通過1號單元平移得到，平移向量為CA；3 號單元通過1號單元旋轉180°，然后將旋轉后的A 點與原B 點對齊得到；4 號單元通過1 號單元旋轉180°，然后將旋轉后的A 點與原D 點對齊得到。4 個四邊形群組后得到一個復合單元，復合單元通過簡單陣列即可得到四方連續圖案。

圖9 復合單元Fig.9 Composite unit

3.5 復合單元的陣列

本部分工作通過用戶界面中的“復合單元陣列”按鈕完成。對復合單元進行陣列的主要工作是確定2個方向（通常不是正交的）的復制向量，包括它的方向和長度2 個要素。復制向量通過對復合單元外輪廓上的角點進行計算得到。可以取圖9a 復合單元外輪廓8 個節點中的2 個相對節點構建第1 個復制向量，如1、5 兩點。另一復制向量由第1 個復制向量的2個節點號加2 得到，如1、5 節點對應的是3、7 節點。為了讓2 個復制向量的方向盡量貼近兩軸，在選擇第1 對復制向量時會檢測2 個節點連線與X軸方向的夾角，并取最小者確定復制向量。這樣做是為了使生成的四方連續陣列盡量保持為一個矩形狀態，以便最后使用一個矩形框來進行截取。將圖9a 的復合單元原地復制后沿1、5 節點構成的向量連續平移可以得到一行單元，每行單元沿3、7 節點構成的向量進行連續復制可以得到多行單元，從而形成四方連續。

在選取第1 對復制向量時有可能遇到另一種情況，即2 個相對節點不是“腰點”（同時連接2 個四邊形單元的節點，如1、3、5、7 節點），而是“角點”（只存在于1 個四邊形單元中，如2、4、6、8 節點）。這種情況下，按照上述方案復制陣列會導致四方連續出現“中空”，即相鄰單元以節點相連而非以邊相連，類似菱形的常規二維陣列，因此需要在中空部位填補單元。可以利用程序來判斷第1 對復制向量的2 個節點是否為腰點，不過為了簡化代碼，把這個工作留給了設計師，在界面上設置了一個“菱形”選項，用于處理復合單元菱形錯行陣列的情況。“菱形”選項默認處于未選中狀態，如果設計師發現復制向量屬于第2 種情況，則將其選中，程序會自動在中空部位補充復制單元。

3.6 異質復合單元的構建

上述復合單元是由相同的原始單元組合而成，區別只有位置和角度不同。在復合單元的基礎上可以發展出異質復合單元，即由不同的單元構成的復合單元。由于復合單元的可鑲嵌性取決于其輪廓，所以可以通過打破內部邊界的方式重新劃分出不同的新單元形態，形成多種異質單元組合的鑲嵌圖案。如改變圖9a 復合單元的4 條內部邊界的形態，可以得到由4 個不同形狀的四邊形組合成的新復合單元，如圖9b、圖9c；或者取消復合單元的4 條內部邊界，并連接3、7 兩個節點形成新的內部邊界，得到由2 個不同的五邊形組合成的新復合單元。由于復合單元的內部邊界可以任意劃分，圖案效果極具多樣性，這也是Escher 鑲嵌圖形設計的重要原理之一。

圖5b 用戶界面的下端除了復合單元的構建和陣列外，還給出了一個正弦曲線的快速生成按鈕，可以在2 點之間迅速創建一個周期的正弦曲線，圖9b 中復合單元內部的重新分割就是利用2 條正弦曲線完成的。異質復合單元的鑲嵌方式與同質復合單元的鑲嵌方式相同。

4 案例應用驗證與反思

4.1 案例應用驗證

技術應用以紡織紋樣中的一種常見四方連續形式為例進行設計。該四方連續由四色單元構成，4 種顏色的單元形態完全相同，只有方位不同，它們鋪滿整個空間，不留空隙。單元形態要求為具有一定復雜度的自由曲線形態，以避免單調。自由曲邊四邊形四方連續案例見圖10。圖10a 為基于圖7 的自由曲邊生成的自由曲邊四邊形，背后的細線是原始的直邊四邊形。圖10b 為復合鑲嵌單元。圖10c 為基于復合單元生成的四方連續圖案。

圖10 自由曲邊四邊形四方連續案例Fig.10 Example of free curve-edge quadrilateral tessellation

可以看到，文中的方法可以簡單、快捷地實現基于復雜單元圖形的四方連續圖案設計，圖案單元嵌合精確、細節豐富，并且在單元設計環節給設計師留出了充分的創意發揮空間。所開發的工具軟件，可以讓智能技術和設計師共同協作并高效完成四方連續的創意設計工作。

4.2 反思

文中的技術在智能化方面還有進一步提升的空間，主要如下：基于智能化手段的自由曲邊的形態設計，特別是帶有某些具象特征的曲線形態，如傳統紋樣圖形元素面向可鑲嵌的圖形單元的定制設計，可以讓傳統紋樣的應用不再是簡單的陣列，而是帶有一些理性的幾何邏輯，對傳統文化的創新也有促進作用；基于優化算法的曲邊交疊性校驗與修正，設計自由曲邊四邊形時，曲邊之間有可能產生交疊，影響單元的可鑲嵌性，因此可將曲線定義為參數化曲線，使用交互式遺傳算法等智能優化工具來搜尋無交疊的最優解；對設計師手繪圖案的智能識別機制，基于智能化技術對設計師手工制作的圖形的不規范之處逐一進行鑒別并處理，以減少設計師在瑣碎事務上耗費的精力。

5 結語

基于四邊形鑲嵌的四方連續圖案生成方法在原理上早已成熟。盡管如此，手工繪制鑲嵌單元圖形仍是一項復雜的工作。文中所開發的技術主要貢獻有如下幾點：基于通用平面設計軟件平臺開發了專用工具，并實現了智能鑲嵌設計；利用四邊形鑲嵌作為空間填充布置的工具，實現了豐富、復雜的連續圖案設計效果，為面向空間充分利用的排版設計提供了一種通過設計師輸入參數進行驅動設計的方便工具；通過程序保證曲邊四邊形的可鑲嵌性條件，讓設計師可以利用手繪的自由曲線來迅速生成無縫鑲嵌圖案單元；通過復合單元的重構，可以生成異質單元的無縫鑲嵌圖案；基于選定的圖形單元，可以構造出可鑲嵌四邊形或復合單元。

事實上，理論界和技術界的很多研究僅止步于算法，應用層面的創新探索還遠遠不足，在服務生產方面也有大量的開發工作有待落實，這中間的斷層是設計類研究創造價值的聚集地，也是通過大量實踐和迭代發現新的科學問題的契機。