仿真系統中DAE 求解技術現狀

楊文強，吳文淵，陳經緯，馮勇

（1.中國科學院重慶綠色智能技術研究院，重慶 400714；2.中國科學院大學 重慶學院，重慶 400714）

企業為了提高在全球化市場中的核心競爭力，提高產品的開發效率，降低產品的開發成本，優化產品性能和結構設計，計算機建模仿真技術將逐漸成為其必不可少的工具[1]。基于對仿真技術的需求，應運而生了數字化設計與制造技術，包含了基于云計算和互聯網的用戶需求挖掘與新產品開發策劃、計算機輔助設計（Computer Aided Design，CAD）、計算機輔助工藝設計（Computer Aided Process Planning，CAPP）、計算機輔助工程（Computer Aidedengineering，CAE）、計算機輔助制造（Computer Aided Manufacture，CAM）、數字樣機（Digital Mock-Up，DMU）等[2]，并結合產品“V”模式開發，能夠大幅縮短產品研發和測試的時間，有效避免不合理的設計造成的成本浪費。

近年來，隨著計算機仿真技術的發展，通過建立數學模型和軟件算法相結合的形式來解決工程問題的方法得到了廣泛應用。實現從設計到生產的過渡過程中軟、硬件結合的橋梁——硬件在環技術（Hardware in the Loop Simulation，HILs）逐漸變得至關重要。它利用計算機建模仿真技術對受控對象的運行狀態進行數字孿生，并依靠處理器實時輸出仿真結果，通過I/O 接口與控制器連接，對控制器進行統的測試，有效地提高了系統的安全性、可行性，降低了長期設計成本[3]。新技術的提出，使仿真技術逐步發展出了離線（Off-line）仿真、在線（On-line）仿真及離線和在線相結合的仿真模式，極大地促進和保證了虛擬還原現實的可靠性和準確性。

1 仿真建模中的DAE 方程

當前，伴隨著大數據的發展，作為世界制造工廠的我國，正面臨著數字化、智能化改革與創新的挑戰和機遇。新產品日新月異，更加廣泛地面向個性化定制的需求，在產品結構和功能上更加復雜和豐富，諸如機器人、無人汽車等多智能體形式的現代高科技產品，由于其魯棒性、可靠性、高效性、可擴展性等特性，在計算機網絡、機器人、制造業、交通控制、虛擬現實等方面得到廣泛應用。與傳統的機電系統、電氣系統等不同，現代高科技產品是更高層面上的多個學科領域子系統集成于一體的復雜大系統，即多領域（multi-domain）耦合的復雜大系統。該系統具有多體系統、多物理場、多學科交叉融合的特征，是現階段制造技術發展的必由之路。要實現對現代高科技產品的設計，必然離不開利用計算機建模仿真技術對其進行多領域的協同仿真，以實現產品整體性能的高精準表述[1]。

1.1 仿真建模軟件的分類

目前，市場上仿真軟件主要分為專業的仿真軟件和通用的仿真軟件。專業的仿真軟件，如多體機械系統仿真的ADAMS、電磁場仿真的ANSOFT 和流體力學仿真的ANSYS 等[1]，由于其專注性太強，缺乏其他領域的可擴展性，因此不適合應用在多領域統一建模中。具有代表性的多領域統一建模通用仿真軟件主要有 MatlabSimulink，以及基于 Modelica 語言的SimulationX、MapleMaplesim、System Modeler、Dymola、Openmodelica、Mworks 等。其中，以MatlabSimulink軟件為代表的因果建模需要明確定義元件的輸入和輸出，而以開源的Modelica 語言軟件為代表的非因果建模則無需考慮元件之間的信號流。同時，MatlabSimulink 因其在矩陣計算中的突出特點，使用最為廣泛，同時兼具了計算能力強，計算效率高等特點，但建模過程復雜。基于Modelica 語言的非因果建模方便將模型投影到數學表達式，更加方便使用者直觀地理解，并且在符號計算層面上保障了計算的可靠性。特別地，還需要考慮到MatlabSimulink 并非開源軟件，Mathworks 公司于2020 年初受美國政府的干預對中國部分高校和科研機構進行了制裁[4]。

1.2 仿真建模求解流程

仿真建模求解流程基于Modelica 語言仿真器的編譯求解過程，大致分為編譯、分析優化和仿真求解3 個階段[5]，見圖1。

圖1 基于Modelica 語言的仿真器求解過程Fig.1 Solving process based on Modelica language simulation

其中，編譯階段可進一步分為詞法分析、語法分析、語義分析和平坦化4 個部分，主要完成將Modelica模型的程序語言源代碼進行計算機數學表達方程化處理的過程，利用詞法規則、語法規則進行程序驗證和分析，提取出其中的方程信息特征，平坦化后得到一組方程及其對應的常量、參數和變量。

分析優化階段是利用數學方法完成對方程求解前的相容性分析和模型簡化的預處理工作。其中，相容性分析是利用二部圖等方法檢查是否完美匹配，即方程和變量關系是否相等，也就是系統是否為恰約束系統。同時，對過約束和欠約束問題，能夠協助用戶高效地實現問題分析和解決方案擬定，幫助實現模型的校正。模型簡化有利于方程的快速求解，涉及方程表達式的符號約簡、DAE 指標約簡、方程系統的分塊化處理，以及轉化為狀態空間表達式等技術，得到一個DAE 系統的可順序求解的方程子集序列。

仿真求解階段與ODE 求解不同，DAE 求解中不可或缺的重要環節是對代數約束方程進行一致性初值（Consistent Initial Value）的求解。求解器根據DAE方程子集求解序列的類型篩選出數值求解包中最優的求解函數，并按照求解函數格式將方程子集求解序列自動生成基于C 語言的求解算法的可執行代碼，通過編譯器進行執行并輸出結果。

Simulink 仿真求解過程與基于Modelica 語言的仿真器的求解過程類似，也可分為仿真建模、編譯、分析優化和求解這4 個過程。Simulink 仿真的區別在于：仿真建模階段，Simulink 不僅需要確定傳送寬度、數據類型、計算塊參數以及分配內存，還需要明確信號流方向和采樣時間；分析優化過程中，為了更好地發揮矩陣計算的效率，需要用戶根據情況選擇合適的求解器對其進行數值求解；在求解的過程中，計算是離散分塊的數據流迭代求解的過程。

目前，編譯階段及分析優化階段的相容性分析和模型簡化都屬于計算機程序語言的設計工作，都已經有了很好的解決方案。在指標約簡及求解階段，雖然也有比較成熟的解決方案，但仍然存在理論上的漏洞和巨大的可發展和優化的空間。

目前，在軟件的底層算法上，都需要將多領域物理模型平坦化為數學模型的微分代數方程，進而對DAE 進行求解。因此，在數學上，多領域統一建模的仿真問題就是對應DAE 方程的求解問題[5]。

DAE 方程的一般形式可以描述為：

式中：t為自變量，t∈I；I為非空區間，I?R；x為n維因變量，x=x(t) = [x1(t), …,x n(t)]；x(k)表示x(t)的k階導數，1≤k≤l，k∈Z。

與ODE 不同的是，DAE 由含有x的最高次導數x(l)的微分方程和不含x的最高次導數x(l)的代數方程2 個部分構成，故而DAE 的解取決于因變量x和它的導數，而不像ODE 的解那樣僅取決于x自身。

DAE 方程的求解實質上是將DAE 方程中關于因變量x導數的隱含約束方程找出來，即進行指標約簡使其轉化為ODE，然后再對ODE 進行數值求解。其中，涉及指標約簡、一致性初始值、常微分方程數值精確求解等幾個關鍵技術。

2 DAE 指標約簡

DAE 系統的指標按照不同的定義和用途等分為微分指標、結構指標、Kronecker 指標、Perturbation指標等[6]。雖然它們都在一定程度上代表了DAE 的求解困難和求解精度，指標越高求解越困難，求解精度越差，但究其本質最終目的都是求微分指標。微分指標是用來度量它與ODE 之間的“距離”，也就是將其轉換為ODE 系統而必須對其中部分或全部方程求微分的最小次數[7]。理論上，經過恰當次數的微分操作后，DAE 中所有次數導數都可以用新變量替換，得到等價表達的多項式系統[8]。高指標（指標≥2）的DAE 系統求解不可避免會用到數值微分運算，不同于數值積分的情況，步長作為數值微分的分母項，減小步長會導致數值微分誤差的急劇增大，經常會引起數值求解的不穩定，造成結果錯誤，因此無法通過減小步長來實現誤差控制[9]。現常用的DAE 求解器通常只能直接求解低指標的問題或特殊形式的高指標問題。

2.1 常見DAE 指標約簡方法

對高指標DAE 的數值求解問題，一般有2 種思路：一種是直接對DAE 進行求解，但容易出現降階、漂移和不穩定的現象；另一種是先將高指標DAE 約簡為指標為1 的DAE 或ODE，然后再對約簡后的系統方程進行求解[6]。Gear 方法[10]、Pantelides 方法[8]、啞變量方法[11]、負權二部圖法[1]、加權二部圖法[12]、Pryce[13]方法是目前具有代表性的幾種指標約簡方法，可對一般形式的DAE 系統實現指標約簡。

Gear 方法是一種純符號的計算方法，反復地對代數方程進行微分及部分低階微分變量替換，最終將DAE 系統轉化為ODE 系統。雖然該方法能完全實現指標約簡，但符號算法復雜、計算效率低，且容易出現一些不必要的微分。

Pantelides 方法是一種結構化分析方法，它通過分析方程系統結構對應的雅可比矩陣，尋找出其中奇異的最小結構子集，然后對最小結構子集微分，如此往復直到雅可比矩陣非奇異。該方法由于采用數值方法實現，與Gear 方法的符號方法相比，其計算量大幅降低，且避免了重復性微分，時間復雜度低，目前應用在Dymola 和Maplesim 仿真軟件中。

啞變量方法通過對函數變量引進新的啞變量來解決Pantelides 方法中動態變量的選擇問題，本質上是Pantelides 方法的一種改進版。

負權二部圖法和加權二部圖法是Pantelides 方法的補充方法，2 種方法相似，基于賦權二部圖的直接實現高指標DAE 的約簡，且與Pantelides 方法具有相同的時間復雜度。

Pryce 方法是一種Pantelides 方法的等效方法，基于DAE 系統符號矩陣（Signature Matrix）的指標約簡方法，通過求解對偶問題的整數規劃問題（Integer Linear Programming，IPL），能夠直接地獲取系統的最優偏移量和篩選出所需指標約簡的方程。

其中：DAE 系統F對應的n×n維的符號矩陣σ中的元素構造如下[13]：

對偶問題的整數規劃問題的形式如下：

式中：c為方程偏移量，c=[c1,…,cn]；d為導數偏移量，d=[d1,…,dn]，δ(F)為最優解問題的最優值。

2.2 DAE 指標約簡修正方法

DAE 系統指標約簡的成功與否取決于指標約簡后的雅可比（Jacobian）矩陣是否奇異，如果不奇異，則指標約簡成功；其中，雅可比矩陣為DAE 系統指標約簡后因變量最高次導數x（l）的系數矩陣。值得注意的是，將DAE 系統方程經過非奇異的線性矩陣A進行線性重組處理，即A·F，或對其中某些方程進行平方處理，即=0，形成新的DAE 系統，采用上述基于結構的指標約簡方法，如Pantelides 方法、Pryce 方法等，很可能會出現指標約簡不成功的情況，究其本質，也是由雅可比矩陣奇異導致的。對帶平方的DAE 進行指標約簡后，生成的ODE 系統中會存在冗余方程，影響數值求解的進行。

雅可比矩陣奇異的情形可以分為2 類：一類是變量在求解區間的某些孤立的點上的奇異，但整個區間上是連續可積的，如例1 所示，這一類的奇異不會影響DAE 系統求解的質量，通常在求解過程中可以通過坐標系變換等方法來擺脫這一類奇異的影響；另一類則是退化，即在整個求解區間上都是奇異的。進一步，退化問題又可以按照能否通過符號計算的方式約簡為0，分為符號退化（如例2 所示）和數值退化（如例3所示）2 類，其中，符號退化問題通常表現為結構上可約導致的雅可比矩陣奇異，包含結構奇異（Structurally Singularity）和完全奇異（Identically Singularity）。

例1，活塞缸的曲柄滑塊機構（見圖2）如圖2所示，根據歐拉-拉格朗日方程分析得到該曲柄滑塊機構的DAE 方程如下。

圖2 曲柄滑塊機構Fig.2 Slider-crank mechanism

假設轉動慣量J1= 1、J2= 2，桿長l1= 1、l2= 2；當燃料燃燒對活塞（滑塊）做功，推動活塞運動，其運動規律可控，滿足δ˙˙ - sint=0，此時有該DAE 的雅可比矩陣行列式值為 4cosθ1·sinθ2·cosθ2+ 4sinθ1·(cosθ2)2，當2 根桿重疊時，曲柄滑塊機構處于死點位置，雅可比矩陣奇異。此位置如果為初始啟動位置，勢必造成機構無法啟動，仿真求解失敗，可以采取額外的措施增加方程數量修正雅可比矩陣的奇異；當運動過程中經過該位置，則由慣性會繼續運動，避免卡死，對位置的仿真通常會由計算誤差或步長而忽略不計。

例2，符號退化問題可以分為以下3 類。

1） 結構奇異（不完美匹配）[14]

2） 結構奇異（完美匹配）[15]

3） 完全奇異[14]——非線性單擺模型

對二部圖不具有完美匹配的結構奇異問題，如例2 中1）所述，已經不是一個單獨的DAE 系統了，多個系統之間相互獨立，應對其單獨進行仿真建模，而無共同仿真的實際意義。對二部圖具有完美匹配的結構奇異問題，如例2 中2）所述，可以通過符號約簡的方法對其進行預處理，消除其中的冗余部分[16]。

對于完全奇異問題，如例2 中3）所述，雖然雅可比矩陣J奇異，但仍然存在指標約簡方法未能找出全部的隱含約束條件的情況，因此需要進一步對其進行修正。最早的修正方法是Murota[17]提出的通過組合松弛算法及其改良方法[18-19]，對線性的DAE 系統進行重組表達。隨后，在其修正框架上發展出改進的修正方法：線性組合方法（LinearCombination，LC）、表達式替換法（ExpressionSubstitution，ES）[15]、替換法（Substitution Method）和增廣法（Augmentation Method）[14]。

基于組合松弛方法中提出的修正框架概括為以下3 步。

1）計算等效整數規劃問題的最優解(c,d)，如果該問題沒有解，則DAE 將無法實現完美匹配，算法將以失敗告終。

2）判斷雅可比矩陣是否奇異，如果不是，則返回ODE 系統F(c)。

大多數的退化問題都是符號退化的情形，只有少數，例如在含參數的微分代數方程中，參數在取值范圍變化會引起雅可比矩陣的變化，當取到某些特殊參數時，難以避免會出現數值退化問題，此時，現有的修正方法將不能勝任。

圖3 共線彎矩作用下梁的疊加變形Fig.3 Superposition deformation of beams under collinear bending moments

2.3 一致性初值問題

將DAE 系統進行指標約簡后，只是完成了對隱含約束方程部分的處理，但還缺乏對初值問題或邊界值問題相關約束條件的描述，因此還需要解決一致性初值問題，才能將DAE 系統完全地轉換成為一個ODE 系統，同時，結合例3，可知初值問題的求解有利于數值退化問題的分析。

在仿真建模中，系統的初始狀態通常可以不同，如曲柄滑塊機構在正反方向上都可以進行啟動，但其運動的狀態——拉伸或壓縮，卻是截然不同的。如果只是對一個初始方向進行分析和優化，則所得的結果都是局部的而非全局的。

例如，對代數方程形如雙曲線方程x2-y2-1 =0 這一類，如果采用牛頓迭代等數值方法對其進行求解，勢必會造成部分一致性初值信息的丟失。而這些信息有可能會關系雅可比矩陣的奇異性，如果單純的放任不管，則可能導致DAE 系統與一致性初值的不匹配，造成求解失敗。

針對類似的多項式方程求解問題，常采用Sommese、Wampler、Versheclde 等提出的數值代數幾何學[20-21]的同倫延拓求解方法（Homotopy Continuation Mothed）來進行處理。對于非線性較強（如含三角函數）的情況，該方法仍然無法實現求解。

3 ODE 求解器

在機械動力學和控制工程等領域的模擬仿真中，系統在某時刻后的狀態變化，通常被描述為線性常微分方程的初值問題。如果常微分方程在時間t上連續，在x上Lipschitz 連續，那么它在邊界條件的領域范圍內一定存在唯一的精確解*x。目前，在線性常微分方程的初值問題和[22]邊界值問題[23-24]上，已有非常成熟的數值求解方法和p階誤差的分析方法，并且開發了很多面向應用的求解器，例如Matlab[25]和Maple[26]等。據了解，關于如何嚴格給出由求解器數值解插值得到的近似解與精確解的距離上界，以及如何在數值解的基礎上提高近似解的質量等方面的工作還比較少。

3.1 ODE 誤差估計方法

對誤差估計而言，通過殘差對其進行界定具有許多優點，最大的優點就是它能夠用來評估整個求解區間內的誤差，而不只是每個網格格點上的局部誤差[27]。研究人員通常喜歡將求得的數值解代回原方程求出殘差[28-30]，再進行誤差估計。Constantinescu[31]在文章中提出利用時間步進策略結合殘差給出一個p階“全局誤差”的估計方法，能夠更好地提高誤差估計的準確性，但本質上只是在格點上的誤差估計，而且舍去了高階項，不能說是準確的誤差估計。Enright[32]在文章中提出了合理的估計殘差范數方法，但沒有考慮每個點導數的數值誤差，這些導數的不準確進一步導致殘差定義的不準確，從而導致誤差估計的不準確。另一些文獻[28,30,33]在考慮導數問題的誤差估計方面做了大量工作，但其中大部分都在努力解決局部誤差問題。

一般情況下，人們是無法求出常微分方程的精確解的，但幸運的是，可以通過很多數值方法求解器求得數值解，如Matlab 等，可以進一步減小步長來逼近精確解，基于此，很多人在這方面做了重要的研究工作[34-36]。無論步長取得多小，局部誤差控制得多好，人們仍然無法回答數值解和精確解之間到底相差多少這個問題。全局誤差估計方法[37-40]能夠部分地回答這個問題，但是這些方法計算量太大且條件過于苛刻。文獻[41]中提出利用Lipschitz 常數來協助誤差上界的估計，給出了誤差估計上界：

式中：h為步長；M為的估計上界；L為Lipschitz 常數，由于Lipschitz 常數為正，導致估計上界隨時間增長呈指數增長，且增長速率過大，不具有實用性。文獻[29]通過推導條件數和殘差的關系來估計全局誤差，但求解條件數需要對齊次常微分方程的基本解（Fundamental Solution）進行求解，在多數情況下這一點幾乎無法實現。專門針對穩定系統的常微分方程，文獻[42]提出利用Lyapunov 定理構造全局誤差控制方程來限制誤差上限，能夠起到誤差估計和提高解的精度的作用，但構造全局誤差控制方程也需要基本解的求解。文獻[43]中，提出了一種區間求解的方法，僅適用于初值問題求解，該方法基于泰勒級數展開，估計的范圍和計算精度取決于級數展開的項數，精度提高會造成計算量急劇增大；同時，經實驗驗證，區間求解方法需要大量的預處理時間；且在相同的步長和階數的情況下，區間求解方法的精度要低于龍格庫塔等數值求解算法。文獻[44-45]利用殘差和精確解之間的關系，通過理論推導和證明構造了誤差估計上界，能夠準確地實現線性ODE 初值問題的誤差上界的估計，避免了Lipschitz 常數的指數增長問題和求解基礎解的問題，但針對非線性和邊界值問題還缺少進一步的研究。

在數值求解中，解的精度通常取決于步長，但更小的步長意味著更大的計算量，如何在固定步長的情況下減小全局誤差是一個很有難度的問題，目前還沒有太多相關的研究。“缺陷修正”（Defect Correction）方法[46-47]，類似于牛頓迭代方法求解非線性方程組，將殘差代回方程進行迭代數值求解，可用于非線性常微分方程，但它們都只是考慮了在網格點上的局部誤差。同時，在計算效率上，雖然現有的數值求解方法都很快，但仍然可以考慮利用技術手段將計算效率進一步提升。

3.2 ODE 數值求解方法

現有的ODE 系統的求解器有很多，大致可以分為3 類：數值求解器、符號求解器和區間求解器。數值求解器主要基于歐拉法及其改進格式、龍格庫塔格式、亞當斯格式等[48]，其優勢在于計算效率高，目前應用最為廣泛，常見的為Matlab 提供的求解器，針對不同類型的方程與不同問題，比較典型的有針對常微分方程的ode45、針對時滯微分方程的dde23、針對邊值問題的bvp4c 和bvp5c 等。符號求解器是基于微分方程通解公式，主要應用在Malpe 的求解器中，比較典型的求解器有dsolve、linearsol 等。目前只能針對部分格式的常微分方程進行求解，如齊次方程、線性方程、Bernoulli 方程、Riccati 方程等格式。

Nedialkov 等[43]的區間求解方法需要采用高階的泰勒級數展開對微分方程進行預處理，然后才能夠得到網格點所在的一個時間區間上的解區間，該網格點上的精確解屬于該解區間，目前應用在VNODE-LP區間求解器。由于沒有將數值解插值作為近似解，因而區間求解方法只能給出網格點所在區間上解得的誤差估計區間，無法給出全局的誤差估計。

有限差分方法是一種應用范圍更廣的數值求解方法，該方法不僅能夠用來求解一般的ODE、DAE、偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE），且不區分初值問題與邊界值問題，還能夠用來求解ODE或DAE 相關的優化問題。其基本思想是通過對定義域進行網格劃分，將原問題在網格點上進行離散化，然后用代數差分方程組去逼近原來的微分方程，同時需滿足對應原問題的在離散點處的邊界條件，典型的有限差分方法包括配置法和有限元法[49]。

文獻[45]利用殘差二范數和精確解插值相結合的符號推導方法，給出了一種線性ODE 和部分非線性ODE 的優化求解方法，同樣能夠解決初值問題和邊界值問題的求解。該方法首先需要在符號層面上完成ODE 方程的預處理后才可賦值進行計算。雖然采用離線和在線的方法能夠極大地加速特定類別方程的計算效率，但針對非線性強的ODE 方程求解還需要進一步研究。

隨著深度學習技術的發展，利用神經網絡架構求解常微分方程[50]、偏微分方程[51]成為了可能，這也是目前比較熱的研究領域，是一個值得研究的方向。Chen 首先提出了將殘差網絡連續變化為微分方程的思想，能夠高精度地對常微分方程的初值問題進行求解，以及在此基礎上演變而來的[52-53]，并非通用的求解模型，針對不同類型的ODE 都需要采用訓練集對神經網絡進行訓練，效率較低。同理，基于數據驅動的回歸分析方法[54-55]來求解偏微分方程也存在這樣的問題。

4 DAE 系統中的參數設計

當前的仿真建模軟件還處于發展的初期階段，大多數情況下只是考慮如何完善對一般形式的DAE 系統的求解功能，而對含參數的DAE 系統問題涉及較少。誠然，一般形式的DAE 系統的求解功能是含參數的DAE 系統問題求解的基石。對產品進行優化設計、對儀器設備進行優化控制、對原材料和制備過程進行優化調節，是提高行業競爭力的最直接方法。如汽車領域，在設計時可以利用仿真器優化行星齒輪機構特征參數，使之與動力部件的最高轉速和整車設計最高車速匹配，使發動機工況得到了改善，整車燃油經濟性和排放都得到大幅提升[56]。究其本質，就是對DAE 系統進行參數設計，即參數優化，最常見的還有對動力系統的PID 參數調節。而對產品參數化設計，如果采用傳統的“V”模式開發，勢必會造成時間和金錢的浪費，因此采用參數優化方法結合仿真建模的方式會是未來仿真建模領域發展的主要趨勢。

對含參數DAE 系統而言，目前應用最多的優化方法都是局部優化法，具體包括：利用極大值原理將含參數的DAE 模型一般化，然后再利用DAE 求解器進行求解的變分法；將優化含參數的DAE 模型為非線性規劃模型，進而進行優化求解的聯立法；有限差分方法[49]。采用局部優化方法收斂得到的局部最優很可能是一種假象，實際情況是人們可能從來沒有找到過“局部最優”。

針對含參數DAE 系統的全局最優化方法方面的研究很少，可以參考在含參數ODE 問題求解的確定性方法和隨機性方法。隨機性方法（如啟發式方法），通過不斷搜索的方式，逐個比較極值，力求遍歷全局，但計算量大、效率低下，典型的有蟻群算法[57-58]、退火算法[59-60]、粒子算法[61]等。這類方法沒有嚴格的理論支撐，能夠收斂到極值，但不能保證獲得的最優解就是全局最優解。確定性方法是基于函數的解析性質（如凸性、稠密性、單調性和Lipschitz 等），然后利用這些性質確定含參數DAE 系統的界，進一步確定全局最優解[62]，主要有分支定界法、整數全局尋優、聚類和隧道方法等。分支定界算法是將原問題通過松弛技術轉化為簡單的凸優化問題[63]，已經實現部分含參數的ODE 系統求解中的應用[62-64]，但其在計算過程中需要求解ODE 系統的基本解來確定凸函數的上界和下界，因此只能針對特定的ODE 優化系統進行求解。文獻[65]中提出的分支定界方法框架下新的凸松弛方法能夠處理多項式形式的廣義幾何規劃等問題，但其僅限于特定形式的多項式問題。目前，關于分支定界方法的研究主要集中在凸松弛和分支策略上，其目的是通過緊度來保證解的質量，通過裁剪分支來保證解的效率；其中，最重要的環節就是凸松弛技術，包括：線性松弛[66]、凸二次松弛[67-68]、拉格朗日松弛[69]、二階錐松弛[70]，以及半正定松弛[71]等。

5 未來研究方向

多領域統一建模仿真軟件的目標就是通過計算機技術實現虛擬現實模擬及數字孿生，協助開發人員便捷、可靠、有效地進行新產品的開發設計。為了更好地實現這一目標，必須要滿足DAE 求解的可靠，而根據之前所述內容可知，現有DAE 求解技術存在諸多局限，對仿真軟件求解器進行優化，構建一個更加精確和完備的DAE 求解架構，顯得非常有必要。未來在這一領域的研究可以歸納為以下幾個方向。

1）在現有的仿真模型、編譯器和分析優化器等環節引入模型的校驗、驗證和確認（Verification，Validation and Accreditation，VV&A）技術，提高DAE仿真模型的正確性，解決其中的過約束和欠約束方程問題，這樣能夠提高DAE 求解的可行性、真實性和可靠性。值得考慮的是：可以采用硬件在環技術、機器學習技術（如對抗生成學習網絡、強化學習網絡等）來實現；特別是VV&A 技術在針對大型復雜的DAE仿真系統時，在精度和置信度的提高上，可以做進一步的研究。

2）雖然高指標DAE 系統的指標約簡技術已經較完善，但在DAE 系統出現退化（尤其是數值退化）的情形時，以及在DAE 中存在方程的線性重組或平方的情形時，現有的指標約簡及其修正方法可能會失效，亟需對現有技術進行修正或補充。

3）一致性初值問題是求解DAE 系統的關鍵問題之一，對于單分支的情況，采用數值求解約束條件方程是完全能夠勝任的，但對于多分支的情況，有必要遍歷每個分支，考慮DAE 多個狀態的初值，數值求解方法只能得到個別的解。目前可以采用的解決方法有同倫連續方法等，但缺乏其在DAE 一致性初值上的相關理論推導和證明，以及在非多項式約束條件方程會失效。

4）針對ODE 數值求解，現有仿真軟件中的數值求解器已經非常成熟，但對非線性程度高的大規模復雜模型上還可以進一步研究，可以考慮結合神經網絡技術；全局誤差可控計算在高精度過程控制中有非常廣的應用前景，但對其的研究還很少，目前的研究局限在近似線性ODE 系統，且符號計算不利于大規模求解，短期來看，可考慮利用泰勒級數展開等技術推廣到非線性的復雜模型上。

5）在ODE 解的誤差估計上，目前在局部誤差和全局誤差的估計上存在很多有效可行的方法，但全局誤差估計方法的研究還局限在線性的初值問題上，可考慮利用線性化技術或初值轉換技術推廣應用到非線性和邊界值問題的情形，這也是一個不錯的研究方向。

6）含參數DAE 系統的優化問題任重而道遠，特別是全局參數優化問題。短期來看可以利用指標約簡技術，將DAE 方程轉化為ODE 方程，再利用現有的優化方法（如分支定界法）實現特殊形式的微分代數方程的參數優化（如低指標、線性、常系數等），這類問題在控制工程中有著廣泛的應用前景。長期來看，需要在理論上進行創新，如在Singer[64]研究的基礎上，避開基礎解的求解，從根源上解決這一類問題。

6 結語

仿真建模的關鍵就是建立DAE 系統和求解DAE系統，前者是產品設計開發人員根據產品的物理、數學和經驗等構建的有機結合，隨著模型的改變而改變；后者是仿真建模軟件的核心，其中涉及指標約簡技術、數值求解技術、誤差分析技術及優化求解技術等。現有的指標技術和基于此的修正方法能夠滿足絕大多數DAE 系統轉化為ODE 系統的需求，但針對特殊形式（如數值退化問題和多分支一致性初值問題）還需要進一步研究。同時，現有的數值求解技術也相當成熟，用戶可以根據需求去合理地選取，但在連續區間誤差函數可積的情況下，全局誤差最小化也是一個可以研究的方向。其次，現有的局部誤差估計方法和全局誤差估計方法都比較準確，如何進一步控制誤差估計上限，以及針對邊界值、非線性問題進行準確誤差估計，同樣是一個不錯的研究方向。最后，含參數的DAE 問題或含參數的ODE 問題的求解仍然存在諸多的困難和挑戰，關系到產品個性化發展的未來。