高考數學試卷中概率與統計內容的分析與思考

張玉琴，王文靜

(1.成都理工大學工程技術學院，四川樂山，614000；2.太原師范學院，山西太原，030619)

一、研究背景

聯合國教科文組織頒布的報告《走向終身學習——每位兒童應該學什么》反復強調加強核心素養的培養，其涵蓋了一個轉變七個維度。[1]其中，一個轉變是指，教育應由工具性目標(把學生培養成提高生產率的工具)轉變為人本性目標，學生情感、智力、身體、心理諸方面的潛質與素質都能通過學習得到發展；七個維度包括身體健康、社會情緒、文化藝術、文字溝通、學習方法與認知、數字與數學、科學與技術核心素養。隨著時代的發展，大數據已經深入各個領域，數據處理、數據挖掘、數據分類等對人們的工作、生活及國家發展都產生了重要影響，且概率與統計是數學與科學技術中大數據的基礎理論知識，對認識和了解大數據、學習方法與認知、數字與數學、科學與技術有很大的幫助。要想從充滿隨機性和相關性的數據中獲取有用的信息，就需要有扎實的概率與統計知識基礎。同時，近年來，概率與統計這部分內容在教學中逐漸得到重視，成為高考數學試卷考查的重點、難點、熱點。筆者在對《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱課程標準)[2]中概率與統計內容的具體要求進行解讀的基礎上，對近幾年新課標數學全國卷Ⅰ中的概率與統計內容和相關文獻成果進行研究，以期更好地幫助教師合理分配教學時間，使用簡單易懂、高效的方法進行教學，進而提高學生的學習效率，使學生不畏懼概率與統計這部分內容的學習。

二、對課程標準中概率與統計知識的解讀

概率是指對隨機現象規律進行的研究，其研究手段為在分布已知的情形下對隨機事件發生的可能性進行度量(一般以0到1之間的實數表示一個事件發生的可能性大小)，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，也為統計的發展提供了理論基礎。統計到研究如何收集、整理和分析數據，旨在通過對從總體中得到的樣本進行分析推導總體的未知參數或分布，為制訂決策提供合理的依據。因此，高中階段這兩部分內容有著非常重要的意義。高中數學涉及這兩部分內容的教材為人教版必修3和選修2-3，其內容在課程標準中的具體要求如表1所示。

表1 概率與統計各部分內容在課程標準中的具體要求

續表

課程標準中對概率與統計這部分內容的要求不僅在于學生對知識進行理解，而且要求學生能夠掌握及靈活運用知識。因此，在教學中，教師不能讓學生的思維固化，而要讓學生吃透知識的本質，領會具體思維模式，并在此基礎上發散思維，靈活運用知識點，解決高考中的實際問題。

三、2015—2021年高考數學試卷中概率與統計內容基本情況的分析——以新課標數學全國卷Ⅰ為例

高考數學試卷中，概率與統計內容的考查是課程標準對概率與統計內容具體要求的直接體現。[3]如表2所示，2015—2021年高考數學試卷中關于概率與統計的內容考查以選擇題和解答題為主，偶有填空題型，分值比例在11.33%—18.00%。

表2 2015—2021年高考數學試卷中概率與統計內容的基本情況

(一)考查題目的位置后移，類別及其分值比例增加

2015—2017年的高考數學全國卷Ⅰ均有一道概率與統計內容的選擇題和一道解答題，分值比例均為11.33%，且位置相對穩定，沒有大的變動，僅2017年選擇題稍微前置。2018年和2019年均增加了一道填空題，分值比例也上升至14.67%，同時選擇題及解答題的位置均發生后移。2020年和2021年分值比例上升至18%。其中，2020年改為兩道選擇題、一道多項選擇題、一道解答題；選擇題位置稍微前移，解答題又移回第19題。2021年，繼續改進一道選擇題、一道多項選擇題、一道填空題、一道解答題；選擇題稍微后移，解答題又向前移動，移動到第18題。綜上所述，概率與統計內容在高考中的考查力度越來越大，也越來越受到命題人重視。

(二)考查的知識點相對穩定，創新度和綜合性增強

由表2可知，2015—2017年高考數學全國卷Ⅰ中考查的概率與統計知識點相對穩定，主要涉及排列組合、古典概型、幾何概型中概率的求解、分布列的求解、數學期望的求解、統計決策、回歸分析、假設檢驗等內容。但是，此類考題的創新度和綜合性不斷提高，與其他高中數學內容橫向貫通。 例如，2017年中的第2題和2018年中的第10題與平面幾何知識交會；2018年中的第20題與導數知識交會；2019年中的第21題與等比數列知識交會；2020年的第12題與對數函數交會。

(三)圖表考查情況減少

2015年和2016年中的概率與統計內容大題分別涉及散點圖和柱狀圖，之后的年份均未出現圖表。2020年給出的表格主要是為了展示數據。

(四)試題背景素材越來越豐富

近幾年的試題均具有新穎的情景，不僅貼近生活、應用性強，而且以數學文化為背景。以生活和數學應用為背景進行的考查在近幾年高考試題中均有出現，而以數學文化為背景進行考查則是從2017年開始出現的，且均為選擇題。如2017年中的第2題、2018年中的第10題、2019年中的第6題。試題的背景素材在不斷創新，且向數學文化方向延伸。試題內容注重生活、貼近時事，且每題中都有體現。如2020年中的第19題、2021年中的第18題。綜上所述，近年來的試題背景開始更貼近實際生活、應用性更強，側重反映國家的時事，讓學生從不同的角度關注國家時事，體現了數學知識的應用。

(五)核心素養的考查從單一化轉變為多樣化

2015年和2016年高考數學全國卷Ⅰ中關于數學核心素養的考查還僅局限于對數學運算能力的考查，但自2017年新課程標準頒布以來，高考越來越重視對數學核心素養的考查，具體包括對邏輯推理素養、數據分析素養、自學素養和數學運算素養的考查，且2018年中第20題還涉及數學建模素養的考查。概率與統計這部分內容在高考中越來越受重視，分值比例和試題數目均提高，題型更豐富、知識更貫通、綜合性更強、試題素材創新度更高、對核心素養的考查更多樣化。因此，在日常概率與統計內容的教學工作中，教師應加強教研工作，集中備課，發揮自身積極主動性和發散性思維，把課程思政、時事引入數學教學，引導學生利用數學方法解決實際問題，讓學生充分理解并學會靈活運用這部分知識。

四、對高中概率與統計內容教學的啟示

教師應提高對概率與統計這部分內容的重視，更新教學觀念、轉換教學模式、豐富教學手段，并注重對學生的多方面培養，在提高教師教學效率的同時，激發學生的學習興趣。

(一)更新教學觀念

教學觀念是人們對教學和學習活動內在規律認識的集中體現，是人們對教學活動的看法和持有的基本態度及觀念，也是人們從事教學活動的指導思想。課程標準要求學生能掌握并運用知識解決實際問題，因此，教師必須更新教學觀念，讓學生透過概念的表面理解知識的本質，學會融會貫通。對此，教師要有探索精神，敢于打破傳統教育模式，以提高學生知識運用能力為導向，不斷探索、創新，走出一條適應學生提升自我的新路徑；要有勇于借鑒學習的心態，積極去經驗豐富的學校調研，學習、積累經驗，取長補短，并結合自身實際走出一條有特色的新路徑；要敢于亮劍，提出自己的新想法，進行大膽實踐。

(二)轉換教學模式

好的教學模式能夠起到事半功倍的效果，使學生在學習中化被動為主動。為此，教師要多進行研討式教學，在教學中要以學生為主，教師為輔：引入與實際生活密切相關的案例，讓學生主動融入學習，激發他們的學習興趣和求知欲，讓學生體會到學習的快樂，體會知識的力量，并用所學知識解決實際問題；設置相應的課題，讓學生以小組形式進行討論，根據學生的討論情況進行評價，并提出學生在討論過程中存在的問題和不足；采用課上課后相結合的教學模式，課堂上提出實際問題讓學生思考并試著解決問題，鼓勵學生舉一反三，提高他們自主創新的能力；課后不能進行題海戰術，而是要讓學生自行搜集課堂知識在實踐中解決具體問題，以此提升學生運用知識的能力，加深學生對知識的理解。

(三)豐富教學手段

概率與統計內容具有一定的抽象性，學生往往難以理解教學內容，導致部分學生學習興趣不高。因此，教師要豐富教學手段，注意對信息技術的應用。教師借助信息技術，能夠為學生創造更加生動、直觀的教學情境，使抽象的知識具體化，使學生更容易理解，充分發揮學生的積極主動性，從根本上提高概率與統計的教學效率。

(四)拓展教學內容

1.重視核心素養的培養，著重創新意識的培養

從近幾年的高考數學試卷中概率與統計內容基本情況可以看出，核心素養的考查已從單一化向多樣化轉變。因此，在教學中，教師必須重視學生核心素養的培養。其中，對學生的數據分析素養和數學建模素養的培養尤為重要，這兩種素養對學生知識視野的拓寬起著十分重要的作用。教師應將理論與實踐結合起來，利用與日常生活相關的實際問題作為例題進行訓練、講解。而高中數學中的創新意識是數學所培養的理性思維的高層次表現。[4-5]在高考數學試卷中，這部分內容的變化不僅體現在考查知識綜合性的增強上，而且體現在試題背景素材的創新上。教師要結合數學的本身特征，及概率與統計的應用特征，在教學中不斷加強對學生創新能力的培養。具體來說，教師可在教學中設置一些難度適中的創新型問題提高學生學習新知識和解決新問題的能力，并引進一些與時事相關的問題，激發學生的探索和創新精神，如概率在大數據、體育、環保方面的應用。

2.注重知識的交會融合

對數學知識點之間聯系的認識非常重要。數學知識點之間的抽象關系本身就蘊涵著思維方法，即“連線集”為一個方法系統。另外，信息加工理論指出，學生在回憶長時記憶中的有關知識時，按照其對相關知識的熟悉程度及知識之間聯系的緊密程度，可以形成一個被激活知識的“回憶鏈”。概率與統計內容在近幾年的高考考查中常與高中數學的其他內容進行組合式考查。在教學中，教師要更加注重知識點與知識點間的貫通，加強學生發散性思維的培養，防止思維定式，避免學生在綜合性稍強的試題面前出現畏難情緒。

五、結語

隨著大數據時代的來臨，概率與統計成為社會發展不可或缺的部分。因此，高考越來越重視對概率與統計內容的考查。這一變化對教師的教學提出了更高的要求，其不僅要從考試題目入手考慮備課，還要從學生學習方面著手考慮，確保學生學以致用，提升學生解決實際問題的能力及數學核心素養。