數學建模在中學數學教學中的實例研究

陸羿辰 金龔逸 徐張洋 胡江勝 張小華

摘 要：本文以2021年全國大學生數學建模競賽A題為背景，對賽題進行適當改造，得到面向中學生的有限元點陣生成問題，并運用中學向量知識建立有限元點陣模型，通過二元線性不等式組的知識設計算法對模型求解，解決了一類在任意凸多邊形中生成有限元點陣的問題。這一從本科生數學建模競賽中提取素材、適當改編并使用中學數學知識求解問題的方法，為數學建模思想在中學數學教學中的滲透提供一種具有實踐意義的教學思路。

關鍵詞：數學建模;教學案例;向量;不等式組;有限元算法

自《普通高中數學課程標準（2017年版）》[1]頒布以來，數學建模作為一種重要的數學核心素養得到了廣泛的研究。其中，如何將這一核心素養的培養融入中學教學成為一個重要的教學課題[2]。在之前的工作中，研究者已對數學建模的內涵與課堂實踐進行了深入探討。譬如，劉丹[3]從“北京市機動車保有量情況”這一現實問題出發，結合中學“函數的應用”知識在中學課堂中進行數學建模的教學，這也是大部分中學教師采用的教學方式。特別是，王志俊等[4]提出數學建模素材可以從大學生數學建模競賽中提取的觀點，這開辟了建模素材研究的新途徑。但值得注意的是，大學生數學建模競賽賽題的知識背景遠超過中學生的認知水平。譬如，中學生雖然已經學習過函數與導數的相關知識，但是未接觸過微分方程的相關知識。類似地，中學生學習過簡單的線性規劃，但是對于整數規劃等較為復雜的規劃問題卻未曾接觸。可見，照搬競賽賽題無益于提高中學生數學建模能力，但是筆者認為如果對賽題加以改造，這將對中學生建模能力的培養大有裨益。在本文中筆者以2021年的全國大學生數學建模競賽A題的部分題目為例，通過適當改造賽題，得到一類在中學知識背景下切實可行的建立與求解數學模型的方法，旨在為數學建模思想在中學數學教學中的滲透提供一種思路。

1 問題的背景與提出

2021年全國大學生數學建模競賽A題為“FAST”主動反射面的形狀調節，圖1為“FAST”索網的反射面板及其連接示意圖，其中主索網由柔性主索按照短程三角網格方式構成，每個三角網格上安裝一塊反射面板，與索網形狀一致為三角形。

在賽題的問題3中，提出饋源艙有效接受比的概念，即饋源艙有效區域接收到的反射信號與300米口徑內反射面的反射信號之比。由于反射面板、饋源艙接收平面、信號之間不存在共面、共線的幾何關系，因此直接將空間幾何圖形視為主體來計算信號傳輸與反射情況較為復雜。相對簡單的方案是，以有限元算法的視角，將光線在整個面板上的反射抽象為在光線在面板上有限個點的反射，并以饋源艙接收到反射信號的反射點個數與300米口徑內反射點個數的比代替原先定義的有效接受比。根據有限元理論，點間的距離越短，點的劃分越細密，以有限元估計的有效接受比與實際的接受比將越接近。

根據上述背景，提出以下問題：（1）假設已知空間中一塊三角形反射面板各頂點的坐標，建立數學模型描述三角形面板上不同區域的坐標;（2）提供一種算法，要求算法能夠由三角形的頂點坐標為已知量，生成三角形面板上一部分點的坐標，并且生成的點在三角形平面上是均勻的。

2.3 模型的求解

觀察式（7）我們可以發現該限制條件為一組二元一次不等式組。在人教版高中數學必修五中，介紹了簡單二元一次不等式組與簡單線性規劃問題，這里可以將高中數學教學內容中線性代數的內容和數學建模思想結合起來，設計一種求解算法。

根據以上算法，可生成給定精度下，三角形中所有有限元點的坐標。

3 總結與推廣

上文介紹了基于向量與不等式組建立的有限元點陣模型的建立與求解過程。其中，有限元算法是一種在求解時將整個問題區域進行分解，求解每個子區域的部分問題最終加總求得整個問題區域近似解的數值技術。對于有限元算法，由于還未在高中教材中完整體現，本文希望對中學生起到興趣培養與啟蒙作用。在解題過程方面，通過初等數學知識來建立并求解數學模型來解決復雜現實問題的思想方法，對教師的教學以及學生的學習思維方式都起到重要作用，關鍵在于其背后數學建模思想的滲透。例如，通過結合中學生數學基礎知識，對本科生數學建模競賽賽題做適當修改，能夠幫助教師更好地在中學數學教學中滲透數學建模思想，同時，中學生在思考并解決這類新型數學建模問題時，能夠積累起數學知識在現實生活中應用的先驗知識，提高學習數學的興趣。

此外，文章中選取的多邊形為三角形，如果跳出題設給定的框架，以求解任意凸多邊形的有限元點陣為目標，模型是否仍然適用？答案是肯定的，如圖8所示，我們仍然能以多邊形的一對鄰邊上尾部相接的一對向量作為基向量，將其余邊所在直線方程轉化為不等式方程作為限制條件，求解多邊形內的有限元點陣。由此也說明，模型具有較好的普適性，充分體現數學建模中“以某一數學模型解決一類實際問題”的思想。

綜上所述，本文以2021年全國大學生數學建模競賽A題中的一個問題為出發點，運用中學向量知識建立有限元點陣模型，并通過二元不等式組知識設計一種算法用于求解，解決了一類在任意凸多邊形中生成有限元點陣的問題，提供了將復雜的幾何關系化為若干簡單問題逐一求解的解題思路，并體現了實際問題抽象化、一個模型解決一類問題的數學建模思想。此外，過程中運用了高等數學中有限元、線性代數的思想，對中學生起到了興趣培養和啟蒙作用，為數學建模思想在中學數學教育中的滲透提供一種具有實踐意義的教學思路。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]鄭葉群.如何把高中數學建模核心素養滲透于課堂教學[J].教育現代化，2019，6（23）：253-254.

[3]劉丹.數學建模在高中數學課堂教學中的實踐——以《函數的應用》為例[J].數學通報，2018，57（04）：36-39.

[4]王志俊，韓苗，邵虎，周圣武.高中數學建模能力訓練——案例教學中提升數學素養[J].數學通報，2019，58（09）：38-42.

[5]章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律——“平面向量及其應用”內容分析與教學思考[J].數學通報，2020，59（12）：4-13+29.

[6]章建躍，李增滬.普通高中教科書 數學 選擇性必修 第二冊 A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

基金項目：國家自然科學基金（編號：12171206）;江蘇省大學生創新創業訓練計劃項目（編號：202111463075Y）;江蘇理工學院校級教改課題（編號：11611212050）;江蘇省高等教育教改課題（編號：2021JSJG623）

作者簡介：陸羿辰，男，江蘇蘇州人，江蘇理工學院數理學院19級本科生，主要從事量化分析研究工作。

*通訊作者：胡江勝。