基于驅替效應的盾構壁后注漿微觀模型分析

葉 飛 ，秦 楠 ，梁 興 ，韓興博 ，韓 鑫

（長安大學公路學院, 陜西 西安710064）

1818年Brunel首次提出盾構的思想距今已有兩百多年，盾構隧道工法經過多年的發展，已出現了泥水盾構工法、土壓盾構工法等. 對盾構隧道而言，采用的隧道襯砌大多為預制管片，在開挖時，盾構機半徑一般大于管片半徑，致使管片與周圍土體存在空隙[1]，如不進行處理將造成上部地表沉降開裂. 在實際施工中，這一部分土體損失一般采用漿液填充，同時，壁后注漿形成的注漿層還具有防止管片上浮、優化管片受力等作用[2].

在已有的研究中，通常將壁后注漿過程分為充填注漿、滲透注漿、壓密注漿和劈裂注漿[3]：在充填注漿中，李志明等[4]根據流體力學原理，推導了牛頓及賓漢姆流體漿液在黏土地層條件下的壓力分布；白云等[5]以牛頓流體漿液為研究對象，運用流體力學與極限平衡法基本原理，推導出盾尾空隙橫斷面內漿液壓力的分布模型；對于滲透注漿，張莎莎等[6]基于達西定律、力學平衡原理和廣義虎克定律推導分析漿液壓力消散規律；葉飛等[7-8]基于Darcy定律并結合注漿施工條件，將地下水壓力作為邊界條件對盾構隧道壁后注漿進行了理論分析. 在以往研究中，往往忽略了滲透注漿過程中地下水的影響，僅將地下水的影響作為邊界條件進行分析.

在壁后注漿施工中，注漿壓力是重要的施工參數，其大小應謹慎選取[9-10]. 注漿壓力的設定不宜過小或過大，過小將引起地表變形過大，過大則會造成土體劈裂[11]. 許多學者也針對其取值做了卓有成效的研究：文獻[12]建議注漿壓力一般在0.1～0.3 MPa；文獻[13]基于深圳地鐵大東區間隧道，提出注漿壓力應控制在0.3～0.5 MPa，以保證管片與圍巖之間充填密實；文獻[14]認為注漿壓力一般大于注漿口處靜水壓或土壓0.1～0.2 MPa. 從上面可以看出，在施工中注漿壓力的確定主要是依靠經驗選取，缺乏理論依據.

在盾構隧道注漿過程中，隨著漿液的注入，漿液將占據原土體中地下水的位置，此即為驅替效應.地下水在流型上可以劃分為牛頓流體，根據注漿漿液流型的不同，驅替注漿可以看作牛頓流體驅替牛頓流體、賓漢姆流體驅替牛頓流體、冪律流體驅替牛頓流體[15]等3種形式，本文主要基于毛細管模型討論漿液為牛頓流體的情形，即牛頓流體驅替牛頓流體，建立了相應的毛細管驅替模型，并根據模型計算出的漿液擴散半徑提出了注漿壓力下限值的計算方法.

1 漿液擴散方程推導

1.1 基本假設

為了簡化計算，做出了如下假設：

1） 周圍巖土體均質，滲透系數不發生突變；

2） 漿液擴散半徑遠遠大于注漿孔半徑，因此計算漿液擴散半徑時忽略注漿孔半徑；

3） 漿液在毛細管中驅替流動時，漿液與水體不發生混溶，漿液前端存在鋒面；

4） 漿液的滲流半徑與管片半徑相比較而言比較小，因此忽略管片曲率的影響.

1.2 毛細管流動推導

假設漿液在毛細管中流動（毛細管組理論），即被注土體的空隙理想化為毛細管組，土體顆粒看作實體結構，其在概化模型中毛細管如圖1所示. 圖中：l為定義的毛細管長度，dl為一個微段；τ為剪切應力；r0為毛細管半徑；v為漿液流速；p為驅動壓力，dp為微壓力；r為微元體 dl的半徑.

圖1 毛細管中牛頓流體受力示意Fig. 1 Force schematic of Newtonian fluid in capillary

牛頓流體漿液本構方程（流變方程）為

式中： μg為漿液黏度；γ為應變速率.

對于毛細管中的漿液取微元體 dl為研究對象，力學平衡方程為

式（2）簡化可得

當r=r0時，毛細管壁的剪切應力為

聯立式（1）及式（3），考慮 γ=?dv/dr得

當r=r0時，v=0，則對式（5）積分可得

將毛細管中漿液速度積分得毛細管中漿液流量為

求解毛細管中漿液平均流速為

聯立式（4）和式（8）得毛細管壁的剪切應力為

1.3 模型推導

毛細管中漿液流動驅替地下水流動示意如圖2.圖中：lg為毛細管內漿液驅替長度.

圖2 毛細管中漿液流動示意Fig. 2 Schematic of grout flow in capillary

根據牛頓第二定律，對毛細管中漿液進行受力分析，即

式中：m為研究流體的質量，m=[ρg(lg+dlg)+ρw×(l?lg?dlg)]πr2，ρg為漿液密度，ρw為地下水密度；F為毛細管內所受的壓力差，F=πr2(P0?Pw) ，P0為注漿壓力，Pw為lw（漿液擴散半徑）處的地下水壓力；a為加速度；f為漿液與地下水與毛細管壁產生的摩擦阻力，f=+2 πrτrg(lg+dlg)+2πrτrw(l?lg?dlg)，τrg為漿液毛細管壁剪切應力，τrw為地下水毛細管壁剪切應力.

式（10）可寫為

當漿液為牛頓流體時，模型簡化為牛頓流體驅替牛頓流體，結合式（9）可得

式中： μw為地下水黏度.

忽略 dl的高階無窮小，根據Dupuit-Forchheimer 準則（V=）將毛細管內漿液速度轉化為地層中漿液的滲透速度，如式（14）.

式中：V地層中漿液的滲透速度；φ為地層孔隙率.

對半球形模型漿液流量和漿液量關系如式（15）.

式中：v0為注漿管漿液流速；d注漿管半徑；t為注漿時間.

化簡后為

聯立式（15）、（16）可得

代入式（14）可得

對于柱形模型，邊界條件有

代入式（14）可得

2 參數分析

在上面計算中可以看出：漿液擴散半徑主要與注漿壓力、滲透率、注漿時間、孔隙率、漿液和地下水黏度等因素有關. 本節主要分別對注漿壓力、漿液水灰比、地層滲透系數影響因素進行分析.

在計算中選取在l=5 m處地下水壓力Pw=0.06 MPa，土體孔隙率 φ =0.3，μw=0.00101 Pa?s.K與滲透系數k的關系為K=kμw/γ ，其中，γ為流體重度.

2.1 漿液水灰比的影響

本文采用文獻[16]得出的結果對水灰比的影響進行分析，漿液水灰比的不同主要體現在漿液黏度的不同（如表1）. 在上述條件不變的情況下，選取注漿壓力為0.3 MPa，基于半球形模型對不同的水灰比（2、5、10）影響進行分析.

表1 不同水灰比漿液對應的流變方程[16]Tab. 1 Rheological equations for different water-cement ratios[16]

分別選取不同水灰比下漿液擴散半徑變化規律如圖3所示. 由圖可知：漿液水灰比越大（漿液黏度越小），漿液擴散半徑越大；漿液的黏度分別為0.00470、0.00270、0.00190 Pa?s時，漿液擴散半徑在注漿時間為1 h時分別達到了14.719、11.167、7.852 m，降低的幅度為46.7%；漿液黏度對漿液擴散半徑影響顯著，相同條件下可增大水灰比來增大漿液擴散半徑，但水灰比的增大將會造成結石體強度降低，因此漿液水灰比的選取應平衡這兩個因素.

圖3 不同水灰比下漿液擴散半徑變化規律Fig. 3 Variation law of grout diffusion radius with different water cement ratios

2.2 注漿壓力的影響

在漿液水灰比為2時，漿液黏度為0.00470 Pa?s（見表1），地層滲透系數為0.03 cm/s的條件下，分別選取不同的注漿壓力對半球形模型漿液擴散半徑進行分析，計算結果如圖4所示.

如圖4所示：隨著注漿壓力的增加，漿液擴散半徑也隨之增大；圖中曲線斜率代表了漿液的擴散速度，曲線的斜率呈逐漸減小的趨勢，即漿液擴散速度逐漸減小；注漿壓力由0.20 MPa增加到0.40 MPa時，注漿時間1 h的漿液擴散半徑由5.850 m增加到了9.463 m，增加的幅度達到了61.8%，注漿壓力對漿液擴散半徑影響顯著. 在實際施工過程中，為加大漿液擴散范圍可以考慮提高注漿壓力的方式.

圖4 不同注漿壓力下漿液擴散半徑變化規律Fig. 4 Variation law of radius with different grout pressures

2.3 地層滲透系數的影響

在上述計算參數基礎上，選取注漿壓力為0.30 MPa，水灰比為2，基于半球形模型對不同滲透系數的影響進行分析.

不同滲透系數下漿液擴散半徑變化規律如圖5所示. 由圖可知：隨著滲透系數的增大，漿液擴散半徑隨之增大. 地層的滲透系數大小一定程度上反映了漿液擴散的難易程度；在5種滲透系數條件下，漿液在注漿時間為1 h時漿液擴散半徑為4.877、7.150、7.852、9.164、10.321 m，隨著注漿時間的增加，各滲透系數對應的漿液擴散半徑差值也隨之增大. 在不同的地層條件下，應根據不同的滲透系數選取不同的注漿壓力、漿液水灰比等注漿施工參數.

圖5 不同滲透系數下漿液擴散半徑變化擴散規律Fig. 5 Variation law of grout diffusion radius with different infiltration coefficients

3 模型對比

常用的模型還有Darcy滲流模型，牛頓流體漿液在Darcy定律條件下滿足

根據邊界條件和盾構隧道注漿條件可推導得到半球形模型漿液毛細管長度滿足

當漿液水灰比取2，注漿壓力分別取0.30 MPa和0.35 MPa時，兩模型的計算結果如圖6.

圖6 模型對比Fig. 6 Model comparison

從圖6可知：Darcy模型在注漿前期階段（360 s）就出現了漿液擴散半徑的平穩發展階段，毛細管驅替模型則未表現出明顯變緩的趨勢，但總體上漿液擴散半徑增長也逐漸變慢. 由于兩模型漿液擴散半徑增長趨勢的差異，在注漿時間達到1 h時，毛細管模型的漿液擴散半徑達到了Darcy模型的6倍之多. 造成上述差異的原因在于毛細管驅替模型推導過程存在隱性條件注漿口處漿液流量不變，而在Darcy模型的推導中則不存在這樣的限制. 在盾構隧道施工中，一般注漿口處流量是恒定的，因此本文提出的此種模型更符合壁后注漿過程.

4 注漿壓力下限值的確定

從半球形或柱形模型漿液擴散半徑計算式可以看出：注漿壓力選取與漿液擴散半徑、漿液水灰比（漿液黏度）、地下水壓力、地下水黏度、滲透率（滲透系數）、孔隙率有關. 本小節通過對漿液加固范圍的考慮，分盾尾注漿和管片注漿兩種情況，提出了盾構隧道施工過程中注漿壓力下限值的計算.

4.1 盾尾同步注漿

對于盾尾注漿（如圖7所示），注漿管均勻分布，在此假設為n個，因此要滿足注漿加固范圍填滿管片外部土體，毛細管長度應滿足

圖7 盾尾注漿示意Fig. 7 Schematic of shield tail grouting

式中：R為管片外半徑.

第3節推導出的漿液擴散半徑方程是P0和t的函數，對漿液擴散半徑方程進行變形即可求解出在一定時間內滿足注漿加固范圍的注漿壓力為

式中：p0為在一定時間內滿足注漿加固范圍的注漿壓力.

4.2 管片注漿

管片注漿的注漿孔在管片中心處（見圖8，圖中：S為管片外弧長；B為環寬. ），注漿孔兩側漿液擴散半徑相同，因此要滿足注漿范圍填滿管片外部土體，l（漿液擴散半徑）應滿足

圖8 管片示意Fig. 8 Schematic of segment

對漿液擴散半徑方程進行變形可求解出在一定時間內滿足注漿加固范圍的注漿壓力，如式（27）.

4.3 實例計算

在盾尾注漿中取n=4 ，即有4個注漿孔，R=3 m，S=3.526m ，πR/n=2.356m ，S/2=1.763m，漿 液水灰比取2，μg=0.0047Pa?s. 注漿壓力下限值如表2所示.

從表2可看出：土體滲透系數越大，滿足漿液加固范圍時的注漿壓力下限值越小；注漿時間越短對應的注漿壓力下限值越大；盾尾注漿所需加固范圍大于管片注漿，在滿足注漿加固范圍的前提條件下，盾尾注漿壓力下限值大于管片注漿；注漿壓力下限值的計算與地層滲透系數、注漿時間等多種因素有關，明顯不能基于某一單一條件確定，例如注漿口處靜水壓力，因此本文建議在實際應用中應根據具體工程多種條件進行確定.

表2 注漿壓力Tab. 2 Values of grouting pressure

5 結 論

本文建立了毛細管驅替滲透模型，并推導出了漿液擴散半徑計算式. 在此基礎上，通過考慮漿液加固范圍得出了施工過程中注漿壓力下限值的計算方法. 主要得出了以下結論：

1） 漿液擴散半徑主要與注漿壓力、滲透率、注漿時間、孔隙率、漿液和地下水黏度等因素有關.

2） 在注漿壓力、水灰比、滲透系數3種影響因素中，漿液擴散半徑與漿液壓力、滲透系數正相關，與水灰比呈負相關關系. 且水灰比因素對于漿液擴散半徑的影響最為顯著，其次為滲透系數及注漿壓力. 在壁后注漿施工中，可優先選擇增大水灰比來增大漿液擴散半徑，但水灰比的增大將會造成結石體強度降低，因此，漿液水灰比的選取應平衡這兩個因素.

3） 地層滲透系數大小一定程度上反映了漿液擴散的難易程度. 隨著注漿時間的增加，各滲透系數對應的漿液擴散半徑差值也隨之增大，在施工中應根據不同的地層滲透系數選取不同的注漿壓力、漿液水灰比等注漿施工參數.

4） 注漿壓力下限值的計算與地層滲透系數、注漿時間等多種因素有關，在實際工程應用中應綜合具體工程的多種因素進行確定.