探尋分數概念落地生根的有效教學途徑

李強

【摘要】在實際教學中，應當如何滲透“部分—整體”的關系，讓學生經歷分數概念的生成，豐富認識表象呢？本文基于教學實踐探索的基礎上，提出幾點教學建議：分類研究，滲透關系思維;聚類研究，揭示概念本質;多元表征，深化認識分數;巧用模型，豐富認識表象。

【關鍵詞】小學數學;分數概念;分類研究;聚類研究;多元表征

分數概念體現的是整體與部分兩個量之間的關系，既可以分為單個的整體與部分之間的具象關系，又可以分為多個整體與部分之間的抽象關系，同時，還可以從比、商等多種角度加以理解。由此可見，分數無論是在概念、意義上的理解還是讀寫、計算上的運用，較之整數都更加的抽象。人教版教材在三年級上冊安排了分數的第一次認識，通過單元主題圖呈現“秋游戶外野餐”分物品的場景，讓學生在操作中體會到對于平均分的結果有時能用整數表示，有時卻不能，從而激發認識沖突，感悟產生新數的必要性。隨后，教材借助例1兩名學生平均分月餅的情境，用“”表示“一半”，初步認識分數;緊接著通過小精靈的解釋明確提出分數概念的基本要素“平均分”“它的”;隨后，將月餅平均分成4份，類比遷移學習。在實物模型的基礎上，教材借助面積模型——圓和長方形，認識、，并由此概括出怎樣的數稱為分數，同時進行分數各部分名稱的學習;最后，通過例2折正方形的活動，體會異中求同，深化分數的意義。

心理學研究表明：分數概念的抽象性及其理解方式的多樣性，是學生理解分數概念的困難所在。因此，在教學中如何滲透“部分—整體”的關系，讓學生經歷分數概念的生成，豐富認識表象呢？下面，筆者結合實踐教學，談幾點認識和看法。

一、分類研究，滲透關系思維

數學概念的由來，是前人通過辨析比較大量的材料的過程中，提煉實物本質屬性并歸納概括命名而形成的。為了讓學生經歷分數概念的形成過程，教師可提供學生大量的具有“整體與部分”關系的材料，巧設分類活動，讓學生經歷分類、鑒別的過程。鑒于學生辨析能力的差異性而導致的分類形式多樣化，在教學中教師可以給定標準，讓學生“按級”分類。一級分類標準——是否平均分，即讓學生將材料按照是否平均分的特點分成兩類;二級分類標準——平均分的份數，即在一級分類的基礎上，將平均分的這一類材料按照分的份數再次進行分類。如下圖所示：

一級分類圖示：

二級分類圖示：

學生在經歷分類活動過程中，首先對分數概念抽象的前提——“平均分”有了較為深刻的認識，對后續的抽象命名具有一定的促進意義;其次便于培養學生對材料的辨析比較及處理能力;同時還培養了學生“透過現象看本質”的數學眼光。

二、聚類研究，揭示概念本質

所謂聚類研究的概念形成過程，是指對大量不同的材料通過聚類的研究分析，發現其中相同的共性特點，這些特點就是概念最為本質的特征，對這些本質特征進行歸納概括抽象命名就形成了概念。

在上述分類活動的基礎上，聚焦到二級分類“平均分成兩份”的材料中，通過“一個物體用整數1表示，那其中的一半應該用什么數來表示呢？”的提問激發學生認知沖突，感悟分數產生的必要性，從而引出。隨后，先從直觀的實物模型入手，引導學生規范地表達出“把一個蘋果平均分成兩份，每一份都是它的二分之一”，初次感受“部分—整體”的關系。在引導性的舉例后，教師可以重心下移地讓學生以同桌方式或以小組形式對正方形和圓進行探究。甚至，教師還可以鼓勵學生聯系生活中的事物進行舉例，如，一根繩子與其中的一半、一個月餅平均分給兩個小朋友、一塊巧克力與其中的一半的關系、一本書與其中一半的關系、半杯水與整杯水的關系，等等，最后進行全班交流。通過收集學生豐富的課堂生成資源，促使學生將數學知識與現實生活建立聯系，從而進一步加深對內涵的理解。有了的學習經驗，教師可以重心下移，大膽放手讓學生自主探究、的形成過程。在這個過程中，教師要注意對學生語言的修正和提煉，幫助學生在多元表征和規范表達中感悟分數概念的本質。最后，引導學生縱向觀察、對比、、的形成過程，異中求同，提煉出“把一個整體平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一”。

三、多元表征，深化認識分數

鄭毓信教授認為，教師在課堂教學中有必要強化案例、圖像、隱喻和手勢的運用，幫助學生建立概念的多元表征，并能根據需要與情景在不同表征之間作出靈活的轉化。同時，美國著名學者萊許等也曾借助下圖說明數學概念的發展過程：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表征方式，如，圖像、書面語言、符號語言、現實情景等，同樣也發揮著十分重要的作用。”

由此可見，學生利用不同的方式表征分數概念，代表了其對分數概念的理解水平。在教學過程中，教師應該創設有效的教學活動，積極引導學生通過“行為”“圖形”“符號”“語言”等方式表征分數概念。例如，在最初接觸時，先從“行為”（二級分類過程中，將平均分成兩份的物體歸為一組）入手，隨后抽象出“一半”的數學符號——，再通過語言表征（將一個物體平均分成2分，其中的1分就是這個物體的）認識，最后通過圖形表征（折一折、涂一涂的活動）豐富的認識。此外，教師在教學時需要把握不同表征方式之間的關系，努力讓學生經歷多種表征方式的“來回”轉換。例如，通過分類研究、聚類分析的活動給出、、等分數的“符號”，這是“行為”“圖形”表征轉化為“符號”表征的過程。而例2“拿正方形紙折一折，表示出它的”則是通過給出的符號回溯操作活動，是“符號”表征轉化為“行為”“圖形”表征的過程。在多種表征“有來有回”的過程中，學生再一次深化了“平均分”“分的是誰就是誰的幾分之一”兩重含義的理解。

四、巧用模型，豐富認識表象

鄭毓信教授曾提出：“我們應注意防止這樣的一種傾向，即在教學中只是注重了概念的生成，但卻未能幫助學生通過概念的分析與組織形成對概念的深刻理解。分數概念由于其抽象性，學生理解起來有難度。”因此，在概念的引入過程中，教師要注意使學生建立清晰的表象。而分數概念表象的建立，是以對所感知材料的觀察和分析為基礎的，需要借助豐富的感性材料，把分數概念中最本質的屬性用恰當的直觀模型演示出來，把數和形結合起來，為建構分數概念奠定基礎。

在實際教學中，大部分教師幾乎都是通過分月餅或分蛋糕的情景來引入的概念，隨后通過“折一折”“涂一涂”的活動以期讓學生借助各種長方形、正方形等面積模型紙折出，豐富認知。雖然教師努力地通過實物模型、面積模型來建立對的表象認知，但仍然會造成分數概念認識的單一（學生對的認識仍然停留在半個月餅、半個張方形、半個圓上）。因此，在教學中，我們除了像上述提及的重心下移，讓學生發現生活中更多“一半”的實物模型外，還可以適當采用集合模型、數軸模型、線段模型等多樣化的直觀模型，豐富學生的認識表象，避免思維的僵化。分數概念具有雙重性，既有“數的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識分數，才能更好地理解并掌握它的本質意義。

總之，在教學過程中，教師要努力做到向學生提供豐富的生活素材，讓學生在辨析比較中經歷分數概念的形成，同時借助多樣化的直觀模型，豐富學生的認識表象，發展數感。

參考文獻：

[1]小學數學課程教材研究開發中心.教師教學用書·數學·三年級上冊[M].人民教育出版社，2016.

[2]吳亞萍.數學教學改革指導綱要[M].福建教育出版社，2017.

[3]吳亞萍.中小學數學教學課型研究[M].福建教育出版社，2017.

[4]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京師范大學，2012.

責任編輯 ?羅燕燕