相機標定的精度影響實驗分析

翟溢章，宿潔華，張士恒，吳恩啟

（1.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093；2.庫柏電子科技（上海）有限公司，上海 201201）

相機標定在整個機器視覺系統中占有重要地位，在一些對機器視覺精度要求較高的測量系統中，如工件尺寸測量[1]及雙目視覺測距[2]等，標定的精度對三維重建和視覺測量有很大的影響，因此，研究相機標定精度的影響因素尤為重要。

影響相機標定精度的因素分為內部因素和外部因素，內部因素主要是標定算法和角點檢測算法[3]，外部因素主要是標定板平整性、標定圖片數量、棋盤格尺寸、特征點數量、光照強度、標定物距等[4]。關于標定算法及其改進方法有很多[5-9]，在如今這些技術已經日趨成熟的情況下有必要對外部因素進行實驗分析。文獻[10]建立了雙目視覺系統誤差分析模型，分析了攝像機標定精度、鏡頭參數及系統機構參數對系統測量精度的影響。文獻[11]建立了結構光視覺系統中結構參數對測量精度的影響模型，得出測量物距對測量誤差的影響是線性的，攝像機焦距與測量誤差成反比的結論，上述文獻主要是從理論研究的方式來說明對誤差精度的影響，并沒有足夠的實驗來論證。文獻[12]提出并非黑白棋盤格尺寸越小，標定結果越好，但其選取棋盤格尺寸數量太少且只進行了3 組對比實驗。文獻[13]提出網格尺寸在6～14 mm 下進行標定的效果，相對來說值得參考，但其只是用仿真標定的方法進行分析，并沒有充足的實驗驗證。文獻[14]指出標定圖片數量在4～10 張之間，可以有效減小標定誤差，文獻[15]提出標定圖片數量在12～20 張之間對標定結果影響較小，文獻[16]指出照片數量達到18～22 張時，誤差值已經幾近收斂。針對不同結果，文中以MATLAB 標定工具箱[12]為基礎，對標定所需圖片數量及棋盤格尺寸大小再次進行實驗研究，并對標定棋盤格打印方式進行實驗分析。實驗結論為減小標定誤差提供了一些參考。

1 相機標定原理模型

相機標定是指建立相機圖像像素位置與景點位置的關系，其途徑是根據相機針孔模型，通過已知特征點的圖像坐標和世界坐標求解攝像機的模型參數。針孔模型共涉及4 個坐標系（如圖1 所示）：世界坐標系Ow-XwYwZw由用戶自定義，用來描述環境中任何物體的位置；相機坐標系Oc-XcYcZc，其坐標原點Oc為攝像機的光心，Zc軸和光軸重合，Xc軸和Yc軸所在平面平行于圖像坐標系平面；圖像坐標系o-xy，坐標原點在光軸與圖像平面的交點為o,x軸和y軸分別平行于相機坐標系的Xc軸和Yc軸；圖像像素坐標系o-uv，其中，（u,v）是計算機圖像坐標系中，空間任意一點Pw的成像點P的實際圖像坐標，單位為像素。

圖1 小孔透視成像幾何模型

點Pw在世界坐標系的坐標(Xw,Yw,Zw)和對應的相機坐標(Xc,Yc,Zc) 可以通過旋轉矩陣R和平移矩陣T表示如下：

點P在相機坐標系中的坐標為(Xc,Yc,Zc)，其對應在圖像坐標系中P′的坐標為(x,y)，兩者關系可由針孔相機模型得到：

其中，f為相機的焦距。點P′在圖像坐標系中的坐標為(x,y)，其對應在像素坐標系中P″的坐標為(u，v)，兩者關系可表示為:

其中，dx、dy為單個像素在x和y方向的物理尺寸，單位為mm；(u0,v0)為圖像平面的中心像素坐標，根據式（1）～（3）可得針孔相機模型的數學表達式為：

其中，M1為相機的內參矩陣，且只與相機內部結構有關，M2為相機外參矩陣，由相機在世界坐標系中的方位決定，確定內參和外參系數的過程即為相機標定。

2 影響相機標定的主要因素分析

2.1 棋盤格尺寸對標定精度的影響

不同棋盤格尺寸會產生不同的世界坐標點(Xw,Yw,Zw)，因此，鏡頭畸變所產生的距離測量誤差也將改變。以重投影誤差為精度指標，針對不同的棋盤格尺寸作相應的對比實驗。

2.2 標定圖片數量對標定精度的影響

張正友標定法指出，若要標定相機，至少需要兩個不同方向的圖片才能求出內外參，共9 個參數[18]，但標定圖片數量過多，會造成累積誤差。以有效焦距和主點坐標作為精度指標，對標定圖片數量這一影響因子進行對比實驗分析。

2.3 棋盤格打印方式對標定精度的影響

角點是棋盤格中一個非常重要的特征，它可以定義為圖像邊緣上曲率極大值的點或圖像灰度劇烈變化的點。角點的提取精度直接影響后續標定及三維重建。不同的棋盤格打印方式會產生不一樣清晰度的棋盤角點，Harris 角點檢測算法[19-22]檢測出的角點坐標必然會產生偏差，通過有效焦距、主點坐標及重投影誤差來對比普通打印及彩印的標定效果。

3 實驗過程及結果分析

文中所用相機選用的是大恒圖像公司MER-500-7UM 型號的CMOS 工業相機，分辨率為2 592×1 944，像元尺寸為2.2 μm×2.2 μm，鏡頭選用的是日本的kowa 8mm 光學鏡頭。實驗裝置如圖2 所示，將打印好的棋盤格圖像粘貼到亞克力板上，調整平板支架的位置，讓相機采集不同角度不同位姿下的圖片。

圖2 實驗裝置

3.1 棋盤格尺寸對標定精度影響的分析

在固定相機焦距為8 mm 的情況下，選擇行列規格為10×7 的黑白棋盤格，采用9 種不同尺寸的棋盤格標定，尺寸分別為2 mm×2 mm、3 mm×3 mm、4 mm×4 mm、5 mm×5 mm、10 mm×10 mm、15 mm×15 mm、20 mm×20 mm、25 mm×25 mm、30 mm×30 mm。標定過程中，用控制變量法來保證同一方向的棋盤格可用不同的尺寸拍攝，保證位姿相同，每組拍攝20 張標定圖片，該過程中為避免偶然誤差，共進行5 組實驗，得到的誤差統計如表1 所示。

表1 不同棋盤格尺寸的重投影誤差表

從表1 中可以看出，不是棋盤格尺寸越大，平均重投影誤差就越大，當棋盤格尺寸小于5 mm 時，重投影誤差反而比5 mm 時還要大，此時主點坐標和有效焦距與實際值也相差過大，不夠穩定。當棋盤格尺寸大于5 mm 時，隨著棋盤格尺寸的增大，其重投影誤差也隨之增大，一般重投影誤差在0.3 個像素內，可認為標定效果不錯，因此，棋盤格尺寸適宜選擇為10～15 mm。

3.2 標定圖片數量對標定精度影響的分析

針對不同文獻得出的不同結論，該實驗共進行了兩組對比實驗，選擇了3 個標定板并將它們命名為A 板、B 板、C 板，其行列規格分別是10×7、10×7、13×16，與之對應的棋盤格尺寸為12 mm×12 mm、20 mm×20 mm、12 mm×12 mm,實驗過程中，將標定板放在平板支架上（如圖3 所示），調整平板支架的角度和位姿，共采集30 張圖片，圖3 為同一角度同一位姿的不同標定板圖像，各個標定板圖像有效焦距、主點坐標與圖像數量的關系如圖4 和圖5 所示。

圖3 同位置的A板、B板、C板圖像

從圖4 和圖5 中的曲線可以看出，B 板使得有效焦距趨于穩定所需的標定圖片數量最多，A 板其次，C 板最少；當圖片數量達到8 張時主點橫坐標和縱坐標接近理想值，當標定圖片繼續增多后，結果趨于平穩。綜上所述，結合前人所得出的結論，不同標定板使得標定結果趨于穩定所需的標定圖片數量不同，究其原因在于棋盤格角點數目和尺寸。當棋盤格角點數目相同時，棋盤格尺寸越大，所需的標定圖片數量越多；當棋盤格尺寸相同時，角點數目越多，標定所需的圖片數量就越少。

圖4 圖片數量與有效焦距的關系

圖5 圖片數量與主點坐標的關系

3.3 棋盤格打印方式對標定精度影響的分析

分別用普通打印和彩印的方式打印棋盤格尺寸為15 mm 的10×7 標定紙（如圖6 所示），將其粘貼到標定板上，在固定相機焦距為8 mm 的情況下，分別從不同方向不同角度采集15 張圖片，對兩張標定板分別進行標定，結果如表2 所示。

圖6 普通打印和彩印的標定板對比圖

表2 棋盤格打印方式的相機參數對比結果

從表2 中可以看出，彩印出來的標定棋盤格在有效焦距、主點坐標以及重投影誤差方面都要比普通打印的精度要高，且與實際值的誤差維持在5 個像素內，波動較小，因此，在打印標定紙時應選擇彩印來提升角點的提取精度，提高標定精度。

4 結論

文中通過實驗分析了棋盤格尺寸、標定圖片數量、棋盤格打印方式對相機標定精度的影響。實驗結果表明，較小的棋盤格尺寸的重投影誤差較小；不同標定板使得有效焦距趨于穩定所需的標定圖片數量不同，當棋盤格角點數目相同時，棋盤格尺寸越大，所需的標定圖片數量越多；當棋盤格尺寸相同時，角點數目越多，標定所需的圖片數量就越少；彩印出來的標定棋盤格主點坐標、有效焦距與實際值的誤差維持在5 個像素內，波動較小、精度較高。