浙教版嘗試檢驗法求解二元一次方程組的思考

王利慶

?浙江省杭州市余杭倉前中學

筆者參加杭州市余杭區某中學調研聽課活動,教學內容是浙教版七年級下冊“2.2二元一次方程組”,現結合三位教師對用列表嘗試法求解二元一次方程組的教學處理,談一些自己的思考,供大家探討.

1 三位教師課堂簡錄

以下是三位教師用列表嘗試法得出二元一次方程組解的部分課堂簡錄及其分析.(三位教師分別稱為師1,師2,師3.)

引例一個蘋果和一個梨的質量合計200 g,這個蘋果的質量加上一個10 g的砝碼恰好與這個梨的質量相等(如圖1).問蘋果和梨的質量各為多少g?

圖1

三位教師都是用這個實例引導學生先列出兩個二元一次方程,得到一個二元一次方程組,以探究所得方程組的解為任務,開展列表嘗試求二元一次方程組解的教學過程.

(1)已知方程x+y=200,填寫表1:

表1

(2)已知方程y=x+10,填寫表2:

表2

片段一：

師1:我們上學期已經學過用嘗試檢驗法求一元一次方程的解,那么是否也可用嘗試檢驗法求二元一次方程組的解呢?

生:(齊回)可以.

師1:確實,研究方程組解的性質與方法與一元一次方程的一致,請同學們完成表1、表2,并思考其中是否有相應二元一次方程組的解,如有,是哪一組?

接下來,教師用PPT直接呈現上述表格,由學生齊聲回答完成空格內容.

(3)有沒有這樣的解,它既是方程x+y=200的解,又是方程y=x+10的解?

通過觀察分析上述兩個二元一次方程的解,找出兩個二元一次方程的公共解即為相應方程組的解.

歸納環節教師提問:這里的x,y應該取什么數?學生回答是正有理數.

優點：用嘗試檢驗法探求一元一次方程解的方法遷移到求二元一次方程組的解中,符合學生的認知規律,滿足最近發展區.

片段二：

師2:你能說出蘋果和梨的質量(即x與y的值)分別是多少克嗎?請試一試.

師2:其他同學還有不同的方法嗎?(教師期待學生自己提出嘗試檢驗法.)

師2:這兩位同學用的是我們下一節要學習的解二元一次方程組的方法.這個方程組還可以用嘗試檢驗法來求解.(師2用PPT呈現表1.)

師2:x表示什么?y表示什么?它們是哪種類型的數?

生齊答:x和y分別表示蘋果和梨的質量,所以它們是正有理數.由于學生已經運用代入消元法得出了方程組的解,因此教師就沒在如何嘗試的環節上做啟發,得出解后進入了下一個環節.

優點：讓學生先思考方程組的解是什么,培養學生的主動思考習慣和探究意識.追問x,y的取值范圍,其實是對嘗試檢驗法適用范圍的思考和引導.

片段三：

師3:上述問題中,x表示什么?y表示什么?它們是哪種類型的數?

生1:x和y分別表示蘋果和梨的質量,所以它們是正有理數.

師3:一元一次方程的解可用嘗試檢驗法求解,二元一次方程組的解也可用此法(PPT呈現上述表1).

師3:為什么表1中有兩處要用省略號表示?

生齊答:因為二元一次方程有無數個解.

師3:表1中x從哪個數開始嘗試?為什么?

生2:因為y=x+10,說明x,y之間相差10,又因為他們的和為200,說明這兩個數在100附近,最后確定從85開始.

后面的教學方式三位教師都比較一致,通過齊聲回答,完成表格中的數據,歸納出了二元一次方程組解的概念.

優點：除師1和師2均思考到的要點外,師3通過追問省略號的含義來復習用列表法表達二元一次方程“無數解”的特征的注意點.追問教材中x為什么從85開始嘗試,讓學生結合問題情境深度思考,確定最有效的嘗試起點.這是嘗試檢驗法最關鍵步驟之一.

三位教師都用這個實例引導學生先列出兩個二元一次方程,得到方程組,以探究所得方程組解為任務,開展列表嘗試求二元一次方程組解的教學過程.他們在列表嘗試探究二元一次方程組解過程中,學生基本都能用所學方法求得所給問題的解.但是,三位教師對列表嘗試求解的外延和本質認識講解有所欠缺,對嘗試檢驗法的定位和理解不夠深刻,從哪個數開始嘗試是關鍵,但學生在這個環節體驗不夠深刻.

2 問題剖析

2.1 浙教版教材內容比較

浙教版七年級上冊“5.1一元一次方程”及七年級下冊“2.2二元一次方程組”中對嘗試檢驗法都有涉及,現將二者內容及要求整理如下:

(1)5.1 一元一次方程

教學目標:體驗用嘗試、檢驗解一元一次方程的思想方法.

難點:用嘗試、檢驗的方法解合作學習中問題(3)的方程過程較為復雜,是本節教學難點.嘗試是一種重要的解題策略,課本中介紹用嘗試、檢驗的方法求解,以讓學生經歷嘗試、檢驗的過程,體驗嘗試作為解決問題的策略的重要性.

(2)2.2 二元一次方程組

會用列表嘗試的方法求二元一次方程組的解;本范例問題情境比較復雜,用列表嘗試方法求出方程組的解是本節難點.讓學生經歷列表嘗試解二元一次方程組的過程.利用這個方法獲得解的啟發來自問題本身及以往經驗.浙教版教材注重對嘗試檢驗法獲取方程(組)解的體驗,并將其作為本節課的難點.

2.2 課程標準對嘗試檢驗法的解讀

《義務教育數學課程標準(2022年版)》沒有對一元一次方程和二元一次方程組采用嘗試檢驗法獲得方程的解進行解讀和說明,而是結合方程x2+2x-10=0估計方程解時,指出了嘗試檢驗法的教育價值,即估計方程解的過程,不僅僅在于求解,也有利于學生直觀探究方程的性質,初步感悟通過代入數值進行計算也是求方程解的有效途徑.一般來說,如果把一個數代入方程左邊得到的值為負,把另一個數代入方程左邊得到的值為正,則在這兩個數之間可能有方程的解.根據這個原理,用二分法可以估計方程的解.

2.3 對嘗試檢驗法的理解

筆者認為,用嘗試檢驗法求解一元一次方程及二元一次方程組,除體驗嘗試作為解決問題策略的重要性外,它還承載著以下三個方面的教育價值:

(1)利用嘗試檢驗法或等式的性質都能求出方程的解.不過嘗試檢驗法在操作層面上有一定的局限性,與方程的復雜程度有關,當方程比較復雜時,這種方法就有弊端,求解會費時費力,并且帶來不便.

(2)嘗試、檢驗過程承載了培養學生數感的功能.數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識,它體現了人的一種基本數學素養.同時,數感又是建立數的概念和有效地進行計算等數學活動的基礎,能有效建立數學與現實問題之間的橋梁.《義務教育數學課程標準(2022年版)》描述了數感的主要表現之一:能在具體情境中把握數的相對大小關系.數感的建立是提高學生數學素養的重要標志,運算方法的判斷、運算結果的估計,都與學生數感有密切聯系[1].引例問題中,蘋果的質量x從哪個數開始嘗試?基于對x,y范圍的判斷,最重要的是從兩個方程的相互關系中確定從85附近開始嘗試.這個起點的確定,是一次很好培養學生數感的機會.學生數感的差異,影響了用嘗試檢驗法獲得解投入時間的差異.

(3)用列表法呈現未知數x和y的關系,直觀、一目了然.首先,教參中提及,它的功能是體驗嘗試作為解決問題的重要策略,表格可以直觀反映兩個量的關系,簡明、扼要.這很好地反映了一個人的思維習慣,體現學生的數學素養.其次,用表格呈現x和y之間的關系,滲透了這兩個變量之間相互制約、相互依賴的關系,并且可以看到每一個蘋果的質量x,都有一個梨的質量y和它相對應(即一次函數的線性關系).事實上,列表法是函數的表示方法之一,為八年級上冊函數表示方法的學習作鋪墊.

2.4 幾點思考

從數學本原看,嘗試檢驗法是貫穿始終的,最初始于一元一次方程求解.它的求解過程體現了人們探索方程解的本原面貌,遵循人類認知及探索方程解的一般規律[2].嘗試檢驗法,具有普適性,任何一個方程都可以通過嘗試檢驗得到有理根(或方程根的范圍),尤其隨著學生數學知識的增加,求方程解的路徑和方法增多(二分法、借助于對應函數圖象),此時的嘗試就更加精準和科學.但是,對于初一學生,教師該如何設計這個環節,更好地達成素養目標和知識目標呢?引例問題中,未知數的值是自然數,方程(方程組)中未知數的取值范圍是全體實數,那么二元一次方程組的解是不是也該讓學生嘗試體驗呢?課堂上,有學生通過整體代換消元或加減消元得到方程組的解時,教師該如何引導學生?學生在七年級上冊學習求解一元一次方程的解時已經對嘗試檢驗法的實施路徑和步驟有所了解,在這節內容的教學過程中,如何在學生已有認知基礎上開展教學呢?筆者對這個環節的教學進行了重構.

3 教學重構

問題你能說出蘋果和梨(即x和y的值)各是多少嗎?

師:用什么方法呢?在解決這個問題前,請同學們回憶一下,在求一元一次方程的解的時候,我們曾用過什么方法.

生1:嘗試檢驗法.

師:利用這個方法是怎樣求解的?

生2:先選擇一個數,將其代入方程中未知數的位置,計算判斷等式兩邊是否相等,一直嘗試檢驗,直到方程左右兩邊相等,即確定這個數是方程的解.

師:利用這個方法是否可以檢驗二元一次方程組從而得到它的解呢?思考下述問題,請學生試一試.

設計意圖：通過復習利用嘗試檢驗法獲得一元一次方程解的一般步驟,為學生在新的問題背景下的遷移作鋪墊.二元一次方程(組)解的學習符合一元一次方程學習的一般步驟,即二元一次方程組的概念—二元一次方程組解的概念—嘗試法檢驗法求方程組的解—解方程組.基于單元整體思想的教學設計實踐,可以幫助學生進一步建構方程的學習路徑,提升學生數學思維及數學學習能力.

追問1:這里的蘋果和梨的質量x,y分別是什么數?

追問2:從哪個數開始嘗試?說說你的理由.

追問3:這些嘗試的解可以怎么表示出來?令y1=200-x,y2=x+10請完成表3.

表3

設計意圖：學生通過對這三個追問的深度思考、討論,對嘗試檢驗法有更全面、完整的建構.追問2讓學生有冷靜思考和充分嘗試的機會,在嘗試的過程中優化自己的方法,真正讓學生對數的感知有所體驗,潛移默化地培養數感素養.追問3在已學嘗試檢驗法經驗的基礎上,將兩個表格進行整合,師生共同解決上述問題之后,得到了方程組的解,進而歸納出二元一次方程組解的概念.

追問4:還可以利用其他方法得到這個方程組的解嗎?說說你的方法.

追問5:通過上述問題的解決,你對嘗試檢驗法有怎樣的認識?

設計意圖：追問4是對用消元法求得方程組解的學生給予肯定,同時展示學生用列表嘗試法求解得到方程組的解,讓學生對列表嘗試法與消元法有一個直觀的比較和判斷.對數學能力強的學生來說是一個展示的機會,對其他學生來說起到榜樣和示范作用.追問5主要想讓學生初步感知嘗試檢驗法的局限性.

追問6:用嘗試檢驗法解下列方程組

設計意圖：基于學生對利用嘗試檢驗法求解二元一次方程組的經驗,再次用嘗試檢驗法求解未知數在實數范圍內的二元一次方程組的解,體現如何從方程系數特征及兩個二元一次方程間的關系選擇從什么數開始嘗試,以及如何調整選擇嘗試的數值,發揮學生個體的數感作用.同時,體悟用嘗試檢驗法求解二元一次方程組解的局限性.為下一節用消元法解二元一次方程組的合理性和必要性作鋪墊.

總之,教師要認真研讀教材和課程標準,挖掘教材選題背后的教育價值,精準設計教學過程和問題,讓課堂最大限度地發揮培養學生數學核心素養的育人功能.