“環環”相扣，其樂無窮

文／葛浩亮

（作者單位：江蘇省常州市金壇段玉裁初級中學）

【樂學求思】同學們，你還記得三角形中位線定理是如何證明的嗎？一個平行四邊形的兩條對角線相交于一點，分別取對角線一半的中點，再依次連接成一個四邊形，那么這個四邊形的周長與原四邊形的周長有什么特殊的關系呢？按此規律繼續構造下去，所得到的所有四邊形的周長之和又會是多少呢？

例如圖1，在?ABCD中，對角線交點為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點……以此類推，若?ABCD的周長為1，請用算式表示各四邊形的周長之和l。

圖1

解：∵A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點，

【助學變思】同學們，你知道這個l的值是多少嗎？要解決這個問題，我們先要求出的值。如圖2，根據圖形反映的規律，猜猜l可能是多少。

圖2

【展學反思】其實，對于任意的一個四邊形，兩條對角線相交于一點，取這個點到四個頂點的線段的中點，再依次連接成一個四邊形，按此規律繼續構造下去，所得到的所有四邊形的周長之和會無限接近原四邊形周長的2 倍。同學們動手畫圖試試吧！