三角形問題中的易錯(cuò)點(diǎn)分析

文／崔曾如

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）

三角形作為幾何圖形中的基本圖形，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位。很多四邊形以及復(fù)雜的直角坐標(biāo)系中的幾何圖形問題最后都是轉(zhuǎn)化為解決三角形的問題。在解決三角形問題中，同學(xué)們?nèi)菀缀雎匀切稳呹P(guān)系、角的分類討論以及實(shí)際問題中隱含的邊角關(guān)系。下面老師針對(duì)三角形問題中的一些易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，希望能夠幫助同學(xué)們避免再次出現(xiàn)這類錯(cuò)誤。

一、忽視三角形三邊的隱含關(guān)系

例1若菱形ABCD的一條對(duì)角線長為8，邊CD的長是方程x2-10x+24=0的一個(gè)根，則該菱形ABCD的周長為（ ）。

A.16 B.24

C.16或24 D.48

【分析】已知條件是菱形，要求菱形的周長，只要計(jì)算出菱形的邊長即可。求解一元二次方程可以得到線段CD的長度，而線段CD與菱形的對(duì)角線剛好構(gòu)成一個(gè)三角形。脫去菱形的外衣，此題其實(shí)就是三角形的三邊關(guān)系。同學(xué)們應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：①三角形的任意兩邊之和大于第三邊，②解決幾何問題最好畫出示意圖。

解：畫出示意圖如圖1。

圖1

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴菱形ABCD的周長=4CD。

又∵x2-10x+24=0，

∴（x-4）（x-6）=0，

解得x=4或x=6。

①當(dāng)CD=4 時(shí)，4+4=8，不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)CD=6 時(shí)，6+6＞8，滿足三角形的三邊關(guān)系，符合要求。

二、忽視三角形角的分類討論

∴菱形ABCD的周長為4CD=24。

故選B。

例2在△ABC中，AD是BC邊 上 的高，∠BAD=25°，∠CAD=55°，則∠BAC=______。

【分析】很多同學(xué)做錯(cuò)的原因是只考慮了BC邊上的高在三角形內(nèi)部的情況。由于△ABC的形狀不確定，所以就不能確定BC邊上的高是在三角形的內(nèi)部還是在三角形的外部，因此本題需要分類討論。

解：①如圖2，高AD在△ABC的內(nèi)部，則∠BAC=∠BAD+∠CAD=25°+55°=80°；

圖2

②如圖3，高AD在△ABC的外部，則∠BAC=∠CAD-∠BAD=55°-25°=30°。

圖3

因此，∠BAC的度數(shù)為80°或30°。

三、對(duì)三角形變換問題的性質(zhì)不清楚

例3如圖4，在△ABC中，∠BAC=108°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′。若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AB′=CB′，求∠C′的度數(shù)。

圖4

【分析】本題是三角形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問題，很多同學(xué)在遇到這類題型時(shí)弄不清誰在旋轉(zhuǎn)，繞著哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到了什么等問題。旋轉(zhuǎn)變換給我們帶來的是線段和角的關(guān)系。本題中△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，我們應(yīng)獲知對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角相等，即AB=AB′，∠C=∠C′。因此，求∠C′的度數(shù)就是求∠C的度數(shù)。問題就轉(zhuǎn)化為在△ABC中，求解∠C的大小。

解：∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠C′=∠C，

∴∠AB′B=∠B。

又∵AB′=CB′，

∴∠B′AC=∠C。

設(shè)∠C=x，則∠B′AC=∠C=x，

又∵∠AB′B是△AB′C的外角，

∴∠AB′B=∠B′AC+∠C=2x，

∴∠B=∠AB′B=2x。

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴2x+x+108°=180°。

∴x=24°，

∴∠C′=∠C=24°。