“源代碼”重組：教材例題的引申

文／王 磊

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

在做練習(xí)時(shí)，我們常常會(huì)對(duì)某道題感覺很熟悉，但又不知在哪里見過，抑或者熟悉知識(shí)框架，但是對(duì)具體數(shù)字陌生。其實(shí)，這是非常正常的現(xiàn)象。我們所遇到的題目，有很多是來自教材上的例題，如果將問題情境改變，或者融合一些其他的知識(shí)點(diǎn)，就能變成一道新題。教材上的例題往往具有典型性、代表性，凝聚著重要的數(shù)學(xué)思想，有著較強(qiáng)的示范性，是很多新題的“源代碼”。

一、例題再現(xiàn)

（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第131 頁例3）已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y=x+1的圖像的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-3。

（1）求k的值，并畫出這個(gè)反比例函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，指出當(dāng)x＜-1時(shí)，y的取值范圍。

解：（1）把x=-3 代 入y=x+1，得y=-2。

圖1

（2）由函數(shù)圖像知，當(dāng)x＜-1時(shí)，-6＜y＜0。

二、“源代碼”重組

一次函數(shù)與反比例函數(shù)的組合問題，是常見的考試題型。我們要抓住此類題交點(diǎn)的特殊性，利用函數(shù)圖像的性質(zhì)來解決。

【基礎(chǔ)重組】（2021?山東棗莊）如圖2，正比例函數(shù)y1=k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1。當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是 。

圖2

【解析】因?yàn)檎壤瘮?shù)與反比例函數(shù)的圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1。觀察函數(shù)的圖像，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＜-1或0＜x＜1 時(shí)，反比例函數(shù)圖像在正比例函數(shù)圖像的上方，所以當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是x＜-1或0＜x＜1。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，利用軸對(duì)稱性推導(dǎo)出另一個(gè)交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖像的分布特點(diǎn)，分析得到滿足條件的x的取值范圍。

三、“源代碼”升級(jí)

與函數(shù)有關(guān)的綜合題，常常伴隨著復(fù)雜的問題情境，這類題既考查同學(xué)們的審題能力，也考驗(yàn)同學(xué)們的邏輯思維和綜合學(xué)力。

【升級(jí)重組】（2021?浙江金華）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，分別在射線AC、BO上取點(diǎn)D、E，使得四邊形ABED為正方形。如圖3，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC=4時(shí)，小李測(cè)得CD=3。

圖3

探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D、A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系。請(qǐng)幫助小李解決下列問題。

（1）求k的值。

（2）設(shè)點(diǎn)A、D的橫坐標(biāo)分別為x、z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”。如圖4，小李畫出了x＞0時(shí)“Z函數(shù)”的圖像。

圖4

①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式；

②補(bǔ)畫x＜0 時(shí)“Z函數(shù)”的圖像，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）；

③過點(diǎn)（3，2）作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

【解析】（1）∵AC=4，CD=3，

∴AD=AC-CD=1。

∵四邊形ABED是正方形，

∴AB=1。

∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，

∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°，

∴四邊形ABOC是矩形，

∴OB=AC=4，

∴A（4，1），

∴k=4。

（2）①由題意得A（x，x-z），

∴x（x-z）=4，

∴z=。

②圖像如圖5所示。

圖5

性質(zhì)1：x＞0 時(shí)，y隨x的增大而增大；

性質(zhì)2：圖像是中心對(duì)稱圖形。

③設(shè)直線的表達(dá)式為z=kx+b。

把（3，2）代入，得2=3k+b，

∴b=2-3k，

∴直線的表達(dá)式為z=kx+2-3k。

消去z，得（k-1）x2+（2-3k）x+4=0。

當(dāng)k≠1，Δ=0時(shí)，

（2-3k）2-4（k-1）×4=0，

解得x1=x2=6；

當(dāng)k=2時(shí)，

方程為x2-4x+4=0，

解得x1=x2=2。

當(dāng)k=1時(shí)，

方程的解為x=4，符合題意。

另外，直線x=3，也符合題意，此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3。

綜上所述，滿足條件的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2、3、4、6。

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合應(yīng)用題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程等。解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為方程組，再利用一元二次方程的根的判別式解決問題。