為有源頭活水來

文／楊曉彬

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學(xué)）

很多同學(xué)會覺得，中考試題有一層神秘的面紗。其實，大部分中考題都是由教材中的例題改編而來。從例題出發(fā)，改變情境，深度拓展，例題就變成同學(xué)們做過的中考試題啦。下面，老師將與同學(xué)們分享教材中的一道典型例題及其變化而出的三道中考試題。

例題（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第30頁問題2）某魚塘里飼養(yǎng)了魚苗10千尾，預(yù)計平均每千尾魚的產(chǎn)量為1000kg。若再向該魚塘里投放魚苗，每多投放魚苗1 千尾，每千尾魚的產(chǎn)量將減少50kg。應(yīng)再投放魚苗多少千尾才能使總產(chǎn)量最大？最大總產(chǎn)量是多少？

教材在“用二次函數(shù)解決問題”這一節(jié)中安排此例題，一是引導(dǎo)同學(xué)們掌握數(shù)學(xué)建模的思想，二是讓同學(xué)們體會數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁。此實際問題考查了二次函數(shù)的最大值問題。我們還要考慮此最值是否符合實際意義。解題過程見教材。

變式一（2021·江蘇淮安）某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50 元。經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)該商品每件的銷售價為60 元時，每個月可銷售300 件，若每件的銷售價每增加1 元，則每個月的銷售量將減少10 件。設(shè)該商品每件的銷售價為x元，每個月的銷售量為y件。

（1）求y與x的函數(shù)表達式；

（2）當(dāng)該商品每件的銷售價為多少元時，每個月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】本題是在教材例題的基礎(chǔ)上直接改編問題情境，根據(jù)等量關(guān)系“利潤=（每件售價-每件進價）×銷量”列出函數(shù)表達式，再根據(jù)表達式求得利潤最大值。

【簡要解答】（1）根據(jù)題意，得

y=300-10·（x-60）=-10x+900。

（2）設(shè)每個月的銷售利潤為w。由（1）知w=-10x2+1400x-45000=-10（x-70）2+4000，

∴每件銷售價為70 元時，獲得最大利潤，最大利潤為4000元。

變式二（2021·江蘇連云港）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12 元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份。該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤。售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1 元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2 份，如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是________元。

【分析】本題除了改變問題情境，變量的數(shù)量也發(fā)生了變化。設(shè)每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80-2b）份，由于這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，可求得a與b之間的關(guān)系，從而用a表達出一天的總利潤W，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)就可以得到結(jié)論。

【簡要解答】設(shè)每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80-2b）份。

由題意得40+2a+80-2b=40+80，化簡得a=b，

∴總 利 潤W=（12-a）（40+2a）+（8+a）（80-2a）=-4a2+48a+1120=-4（a-6）2+1264。

∵-4＜0，

∴當(dāng)a=6時，W取得最大值1264，

即兩種快餐一天的總利潤最多為1264元。

變式三（2021·江蘇揚州節(jié)選）甲、乙兩家汽車出租公司均有50 輛汽車對外出租，下面是兩家公司經(jīng)理的一段對話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000 元，那么50 輛汽車可以全部租出。如果每輛汽車的月租費每增加50 元，那么將少租出1 輛汽車。另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元。

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500 元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元。

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤。

在兩家公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）當(dāng)每個公司租出的汽車為10 輛時，甲公司的月利潤是________元；當(dāng)每個公司租出的汽車為________輛時，兩公司的月利潤相等。

（2）求兩家公司月利潤差的最大值。

【分析】本題在變量關(guān)系的表述上更加復(fù)雜，除了用“月利潤=數(shù)量×利潤”之外，還有額外支付的費用。在第（2）問中，設(shè)兩家公司的月利潤分別為y甲、y乙，月利潤差為y，由（1）可得y甲和y乙的表達式，再基于哪個公司利潤較大進行分類討論，列出y關(guān)于x的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x的范圍求出最值，再比較即可。

【簡要解答】（1）48000；37。

（2）設(shè)每個公司租出的汽車為x輛，月利潤分別為y甲、y乙，月利潤差為y。

綜上，兩家公司月利潤差的最大值為33150元。