知錯“究”改

文／劉立軍

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）

二次函數是初中數學的重要內容,也是各地中考中重點考查的知識點之一。但同學們在解有關二次函數問題時，常出現這樣或那樣的錯誤。為了幫助同學們在解題時減少失誤，現對二次函數中一些常見的易錯點進行剖析，以幫助同學們更好地理解和掌握二次函數。

一、概念理解不清

例1已知關于x的函數y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函數，則k=________。

【錯解】根據二次函數的概念，令k2-3k+2=2，解得k=0或k=3。

【分析】根據二次函數的概念，要使y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1 是二次函數，k必須滿足兩個條件：①k2-3k+2=2；②k-3≠0。兩者缺一不可。

【正解】根據二次函數的概念，得解得k=0。

二、函數性質掌握不牢

例2在同一平面直角坐標系內，二次函數y=ax2+bx+b（a≠0）與一次函數y=ax+b的圖像可能是（ ）。

【錯解】不知道如何分析圖像導致出錯。

【分析】可以先對a、b的正負進行討論，再從選項中選擇正確答案；也可以根據每個選項中的圖像，先判斷出a、b的正負，再判斷另一個函數是否正確。

【正解】選項A，二次函數圖像開口向上，對稱軸在y軸右側，∴a＞0，b＜0，∴一次函數圖像應該過第一、三、四象限，且與二次函數交于y軸負半軸的同一點，故A 錯誤；選項B，∵二次函數圖像開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a＜0，b＜0，∴一次函數圖像應該過第二、三、四象限，且與二次函數交于y軸負半軸的同一點，故B 錯誤；選項C，二次函數圖像開口向上，對稱軸在y軸右側，∴a＞0，b＜0，∴一次函數圖像應該過第一、三、四象限，且與二次函數交于y軸負半軸的同一點，故C 正確；選項D，二次函數圖像開口向上且過原點，則a＞0，b=0，∴一次函數圖像應該過第一、三象限，且與二次函數交于原點，故D錯誤。故選C。

例3若A（1，y1），B（3，y2），C（-3，y3）三點都在二次函數y=x2-4x-m的圖像上，則y1，y2，y3的大小關系是________。

【錯解】∵-3＜1＜3，∴y3＜y1＜y2。

【分析】錯解只考慮A，B，C三點橫坐標之間的關系，而忽視了它們不在對稱軸x=2的同側。對于對稱軸兩側的點，應根據它到對稱軸的距離來比較函數值的大小。

【正解】函數對稱軸為直線x=2，圖像開口向上，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，可判斷y1＜y3，根據二次函數圖像的對稱性可判斷y2=y1。于是y2=y1＜y3。

三、忽視隱含條件

例4若二次函數y=mx2+4x+m-1 的最小值是2，則m的值為________。

【錯解】∵二次函數y=mx2+4x+m-1 的最小值是2，∴，即m2-3m-4=0，解得m1=4，m2=-1。

【分析】二次函數有最小值，則開口向上，所以錯解忽略了“m＞0”這一隱含條件。

【正解】∵二次函數y=mx2+4x+m-1 的最小值是2，，即m2-3m-4=0，解得m1=4，m2=-1?！叨魏瘮涤凶钚≈担嗪瘮祱D像開口向上，m＞0，從而m=4。

四、缺乏數形結合思想

例5已知二次函數y=（x+1）2-4，當-2≤x≤2時，求函數y的最小值和最大值。

【錯解】當x=-2 時，y=-3，當x=2 時，y=5，∴當-2≤x≤2 時，函數的最小值是-3，最大值是5。

【分析】錯解誤以為端點的值就是這段函數的最值。解決此類問題，可以畫出函數圖像，借助圖像的直觀性幫助理解。

【正解】二次函數y=（x+1）2-4的對稱軸為直線x=-1，開口向上，∴當x＞-1時，y隨x的增大而增大，當x＜-1 時，y隨x的增大而減小。由圖像可知：在-2≤x≤2內，當x=2時，y有最大值，y=（2+1）2-4=5；當x=-1時，y有最小值-4。

五、忽視分類討論思想

例6若函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，則a的值為_____。

【錯解】由題意，可知Δ=16-8a（a-1）=0，解得a=2或a=-1。

【分析】錯解只考慮了a≠1，即函數圖像是拋物線的情形。但題目并沒有明確指出函數是二次函數。當a=1 時，此函數為一次函數y=-4x+2，與x軸永遠會有一個交點，因此出現了漏解的情況。

【正解】①當函數為一次函數時，a-1=0，解得a=1；②當函數是二次函數時，可得Δ=16-8a（a-1）=0，解得a=2或a=-1。

綜上所述，a的值為1或-1或2。