數(shù)形結(jié)合 合乎情理

文／李蘊(yùn)欣

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

函數(shù)是中學(xué)階段非常重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)我們知識(shí)的整體把握起著至關(guān)重要的作用。初中的函數(shù)主要包括：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。除此之外，函數(shù)思想是我們?cè)诔踔刑岣咚季S能力的重要來源。函數(shù)作為歷年中考命題的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，我們做題時(shí)如何做到“會(huì)而對(duì)，對(duì)而全”呢？下面，讓我們通過對(duì)一次函數(shù)和二次函數(shù)的解讀來予以說明。

一、數(shù)形結(jié)合之一次函數(shù)

例1（2021·江蘇宿遷）一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，兩車在途中相遇時(shí)，快車恰巧出現(xiàn)故障，慢車?yán)^續(xù)駛往甲地，快車維修好后按原速繼續(xù)駛往乙地，兩車到達(dá)各地終點(diǎn)后停止，兩車之間的距離s（km）與慢車行駛的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖：

（1）快車的速度為________km/h，C點(diǎn)的坐標(biāo)為________。

（2）慢車出發(fā)多少小時(shí)后，兩車相距200km。

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)與一元一次方程的應(yīng)用。

解：（1）100，（8，480）。

（2）設(shè)慢車出發(fā)th，兩車相距200km。

①若是相遇前兩車相距200km，

則60t+100t+200=480，

解得t=。

②若是相遇后兩車相距200km，

則60t+100（t-1）-200=480，

∴慢車出發(fā)或時(shí)，兩車相距200km。

【點(diǎn)評(píng)】本題是以圖像形式考查一次函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，這些思想近年來也一直是中考命題的熱點(diǎn)。第（1）問，由圖像信息先求出慢車的速度，再根據(jù)相遇時(shí)慢車走的路程求出快車走的路程，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間求出快車速度，最后根據(jù)快車比慢車先到達(dá)終點(diǎn)可知C點(diǎn)是慢車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間。本問解決思路重在對(duì)圖像的分析，得分的關(guān)鍵是弄清圖像拐點(diǎn)的意義。對(duì)于第（2）問，我們要分兩車相遇前和相遇后兩種情況討論，考慮問題不全面是造成得不到全部分?jǐn)?shù)的主要原因。

二、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想之二次函數(shù)

例2（2021·安徽）已知拋物線y=ax2-2x+1（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1。

（1）求a的值。

（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2。比較y1和y2的大小，并說明理由。

（3）設(shè)直線y=m（m＞0）與拋物線y=ax2-2x+1交于點(diǎn)A、B，與拋物線y=3（x-1）2交于點(diǎn)C、D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征。

解：（1）拋物線y=ax2-2x+1（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-，則a=1。

（2）由（1）可知，二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x+1。

∵a=1＞0，

∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，

當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小。

∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，

∴1＜1-x1＜2，0＜x2-1＜1。

結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，值越大，

∴y1＞y2。

（3）聯(lián)立y=x2-2x+1與y=m（m＞0），

【點(diǎn)評(píng)】本題難度適中。同學(xué)們應(yīng)掌握解決類似函數(shù)問題所必需的基礎(chǔ)能力，比如數(shù)形結(jié)合思想、如何求函數(shù)交點(diǎn)等，否則無法解決基礎(chǔ)題，得不到基礎(chǔ)分。第（1）問，根據(jù)公式，對(duì)稱軸為直線x=-，代入數(shù)據(jù)即可。第（2）問，結(jié)合函數(shù)的圖像，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論。第（3）問，分別聯(lián)立直線y=m（m＞0）與兩拋物線的表達(dá)式，表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，再表示出線段AB和線段CD的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論。