用Python分析數(shù)學黑洞——冰雹猜想

王德貴

通過前幾期文章，我們對于數(shù)學黑洞有了一定的了解，今天我們繼續(xù)用Python來分析和研究數(shù)學黑洞——“冰雹猜想”。

我們先來了解一下“冰雹猜想”的來歷。

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數(shù)學新聞。文中記敘了這樣一個故事：

70年代中期，美國各所名牌大學校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個正整數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進行變換：

如果是個奇數(shù)，則下一步變成3N+1。

如果是個偶數(shù)，則下一步變成N/2。

不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授與學究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？因為人們發(fā)現(xiàn)，無論N是怎樣一個數(shù)字，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環(huán)，永遠也逃不出這樣的宿命。

這就是著名的“冰雹猜想”，也叫“角谷猜想”“考拉茲猜想”“3X+1猜想”或“歸一問題”，也是著名的數(shù)學黑洞之一。

通過輸入一個正整數(shù)，判斷其奇偶性，如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則乘以3加1，如此反復，直到結(jié)果為1。

所有循環(huán)條件就是結(jié)果不為“1”，因此使用while循環(huán)比較好，下面看程序設計。

程序涉及中國電子學會Python編程等級考試二級考試的內(nèi)容：程序的三種結(jié)構(gòu)，即順序結(jié)構(gòu)、分支結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)。

經(jīng)過幾次數(shù)學黑洞這類問題的研究，類似的程序設計對我們來說已經(jīng)比較簡單了，語句也很好理解（圖1）。

if分支語句中的print（）語句是為了能看到在做怎樣的運算，最后輸出結(jié)果（圖2）。

用27測試，27的運算過程如圖3，沒想到27居然需要這么多步才能進入黑洞。

上述程序為遞推法，我們也可以用遞歸法。那么就會涉及到等級考試四級的遞歸知識點。程序如圖4：

其驗證結(jié)果與其他方法相同。

冰雹的最大魅力在于不可預知性。27是一個很小的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進行運算，則它經(jīng)過的運算過程上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過77步的變換到達頂峰值9232，然后又經(jīng)過34步到達谷底值1。全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，接近原有數(shù)字27的342倍，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來比較，則具有同樣雹程的數(shù)字N要達到2的111次方。其對比何其驚人（圖5）！

無論這個過程中的數(shù)值如何龐大，都會像瀑布一樣迅速墜落。而其他的數(shù)字即使不是如此，在經(jīng)過若干次的變換之后也必然會到純偶數(shù)：4-2-1的循環(huán)。

冰雹猜想是否正確？一個思路是尋找反例，找到反例即說明猜想不成立。我們已經(jīng)編寫了計算機程序來驗證一個數(shù)是否滿足猜想。而且當X為正奇數(shù)時，3X+1一定為偶數(shù)，我們可對變換規(guī)則做出簡化：若X為奇數(shù)，則變?yōu)椋?X+1）/2;若X為偶數(shù)，則變?yōu)閄/2。

采用這個簡化規(guī)則可以加快程序運行速度。

據(jù)日本和美國的數(shù)學家攻關研究，小于7*10^11的所有的正整數(shù)，都符合這個規(guī)律。在這個龐大數(shù)量的驗證中，并沒有找到反例。這樣看，冰雹猜想“很有可能”是正確的，但又不能絕對肯定。

不過，我們?nèi)钥赏ㄟ^編程來探究冰雹猜想的性質(zhì)。以X=500為例，我們把每一次變換得到的數(shù)畫成圖（注意這里用了簡化的變換規(guī)則）（圖6）。

變換過程中數(shù)字大小存在快速的上升下降，到最高點后很快落至1。另外，我們可以探究X變?yōu)?所需變換次數(shù)N與X的關系。在2≤X≤1000范圍內(nèi)，N與X的關系圖如圖7（橫軸為lg X，縱軸為N）。

數(shù)據(jù)點大致分布在兩條平行直線之間，由于橫軸取了對數(shù)，這表明N隨X大致以對數(shù)規(guī)律變化。當然，我們并不能確定這一結(jié)論在更大范圍成立，這一結(jié)論是推測性的。

我看到過這項證明的英文版，有興趣的朋友可以自己查一下。本文也是我自己的心得，有不妥之處，請各位老師和同學斧正！