巧借例習題拓展提升數學應用能力

孫靜

[摘? 要] 在高中數學習例題教學中，大多數教師習慣于講新題，認為唯有新題才能激發學生探究的熱情，因而忽視了對例習題的再利用，將學生引入茫茫題海. 實際上，教材中的例習題富含深意，若將其仔細推敲和拓展不僅可以發現問題中的一般規律，而且能找到解決問題的通法，有利于減輕學生的課業負擔，提高習題教學的質量. 為此，教師應重視例習題的拓展，通過變式拓展、解法拓展、結論拓展等提升學生解決問題的能力.

[關鍵詞] 例習題;拓展;解決問題

教材是開展一切教學活動的重要依據，是學生學習的源頭活水，凝聚著編寫者的智慧，蘊含著豐富的內涵，其在數學教學中的作用是不言而喻的，然現實教學中卻常常出現“輕教材重題海”的現象，部分教師認為教材的概念、公式、定理等經過了無數次驗證，會背能應用就可以了;另外，教材中的例習題也較淺顯，沒有課外例習題那樣靈活生動，故容易將學生推進茫茫“題海”. 殊不知，這樣不僅會增加學生的課業負擔，而且容易出現思維定式，解題時常“知其然而不知所以然”. 久而久之，學習成績不升反降，學生的學習能力未能獲得明顯提升. 為此，在教學中，教師必須認真研讀教材，領會編寫者的真正意圖，通過對教材內容的拓展和延伸領悟蘊含其中的數學思想和問題本質，進而有針對性地應用適合的教學手段讓學生領悟解題方法和解題技巧，借此達到減負增效的效果.

從教學實踐反饋來看，教材例習題的利用率較低，大多僅應用于新授課階段，在復習階段應用甚少，若能對其深入探究，不僅可以加深對基礎知識的理解，而且有助于舊知的鞏固和新知的內化;另外，從學生熟悉的內容出發進行再探究也容易激發學生的興趣，增加學習信心. 為此，在數學教學中，教師要重視例習題的挖掘和拓展，以此提高數學教學實效，促進學生學習能力提升. 那么應如何拓展例習題呢？筆者選取了幾個典型案例進行剖析，以期通過例習題拓展為學生減負增效.

[?] 變式拓展，活學活用

有些例習題看似平淡無奇，然深入探究卻可以發現其中隱藏的一般規律，為了引導學生發現這些規律，教師在教學中可以安排一些變式拓展，這樣不僅可以提升學生的解題興趣，而且可以深化知識的理解和應用，促進學生學會發現、學會總結、學會創新.

例1 在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡.

分析：本題若直接從求解的角度進行分析并不難，設A的坐標為（x，y），根據各點的坐標可以直接表示出直線的斜率，再利用“直線AB，AC的斜率乘積為”得出等式，化簡等式后可得頂點A的軌跡方程為-=1（x≠±6）. 若本題僅限于探究簡單的頂點A的軌跡，其價值難以體現. 為此，在此基礎上嘗試通過變式進行拓展和延伸，有利于揭示其中隱藏的秘密.

變式：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為-，求頂點A的軌跡.

利用例1的解題思路可以直接得到頂點A的軌跡方程為+=1（x≠±6）.

在例1中發現=，在變式中發現 -=-，那這是因為斜率乘積值比較特殊才出現了這種效果還是本身就有這樣的一般規律呢？顯然通過簡單的變式拓展激起了學生探究的熱情.

探究過程：在推導橢圓標準方程時有（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）這個式子，移項整理得a2y2=（a2-x2）（a2-c2），當a2≠x2時，有=，即·=-. 由代數式的幾何意義可以得出如下結論：

結論1：橢圓+=1（a>b>0）的長軸兩頂點A（-a，0），B（a，0）與橢圓上任意一點P（x，y）（除長軸兩頂點外）的連線的斜率之積為定值，即k·k=-;雙曲線-=1（a>b>0）的實軸兩頂點A（-a，0），B（a，0）與雙曲線上任意一點P（x，y）（除實軸兩頂點外）的連線的斜率之積為定值，即k·k=.

結論2：E，F，P是橢圓+=1（a>b>0）或雙曲線-=1（a>b>0）上相異的三個點，O為坐標原點，若E，F，O三點共線，則直線PE，PF的斜率之積為定值 -或.

結論2的證明較簡單，這里就不再詳細闡述，只要根據E，F，O三點共線，可設E（m，n），F（-m，-n），再設點P的坐標為（x，y），通過斜率相乘并化簡即可得結論2.那么在此大張旗鼓地進行變式拓展，是否有其真正的應用價值呢？現以一道高考題目為例，帶領學生體驗該結論的應用價值.

例2 已知點P（x，y）（x≠±a）是雙曲線E：-=1（a>b>0）上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點. 若直線PM，PN的斜率之積為，求雙曲線E的離心率.

例3 已知橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為原點. 若直線AP，BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率.

例2和例3為兩道高考真題，因為有之前拓展的經驗，因此問題可以迎刃而解. 若之前沒有實施變式拓展，學生求解時勢必會花費大量的時間，不利于高考解題效率的提升. 為此，對例習題的變式拓展有利于學生抓住問題的本質特征，找到問題的一般規律，進而實現深入理解、靈活應用的目的.

[?] 結論拓展，深化運用

教材中有些例習題的解法、結構、問題背景是類似的，因此在教學時將這些相似的題目進行類比，借助于“多題一講”，深挖題目的內涵和外延，抽象出問題的本質特征，這樣不僅可以將學生從題海中解放出來，而且可以抓住問題的本質，解題時往往會收到意外驚喜.

例4 （1）設a>0，b>0，求證a3+b3≥a2b+ab2.

（2）設a≠b，求證a4+b4≥a3b+ab3.

（3）若a，b均為正數，求證a5+b5≥a3b2+a2b3.

例4中的三道題是高中數學教材中的三道選修題，大多數教師都感覺證明過程簡單沒有必要花大篇幅學習，只要會證明就可以了. 殊不知，這不屑一顧的小題目中竟然隱藏著大秘密. 顯然，由這三道題進一步推廣可以得出這樣的結論：若a，b均為正數，m，n∈N，則am+n+bm+n≥ambn+anbm.

證明：am+n+bm+n-ambn-anbm=（am-bm）·（an-bn）. ①當a=b時，am+n+bm+n=ambn+anbm;②當a≠b時，am-bm與an-bn的符號相同，所以（am-bm）（an-bn）>0，即am+n+bm+n>ambn+anbm. 由①②可得am+n+bm+n≥ambn+anbm（當且僅當a=b時等號成立）.

例5 設a，b為非負實數，求證a3+b3≥（a2+b2）.

證明：a3+b3-（a2+b2）=a2·（-）+b2（-）=（-）[（）5-（）5]=（-）2[（）4+（）3（）+（）2（）2+（）（）3+（）4]≥0，即a3+b3≥（a2+b2）.

例5是高考真題，雖然得以正確求解，然其計算過程復雜，若運用推廣得到的結論，兩邊平方可得a6+b6≥a5b+ab5，這樣求解問題就顯得更容易了. 根據學生反饋可知，本題很多學生因運算過程復雜而未能正確證明. 考試后，有些教師也嘗試應用構造函數的思路進行證明，然都沒有以上結論的應用顯得簡潔明了. 因此，教材中無處不是寶貴的財富，在復習教學中一定要重視教材回歸，這有利于學生對知識的深化理解，有利于解題效率的提升.

[?] 解法拓展，深化理解

學生做課后習題時常習慣于套用例題的解決思路，很多習題確實是例題的變式，應用例題的解決思路往往可以輕松解答習題，進而實現鞏固知識的目的;然數學題目靈活多變，有時單一套用例題的解決思路很難實現數學能力的提升. 因此，在平時練習時可以引導學生從不同角度進行分析，這樣往往可以收獲不同的解題方法. 當然，也許在此過程中可能碰壁，然通過多角度分析可以使學生的思維更廣闊，使學生對知識的理解更深刻.

例6 如圖1所示，ABDC是梯形，其中AB=a，CD=b，連接AD，BC交于點O，過點O作EF∥AB. GH是梯形的中位線，KL平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似，MN平行于兩底且使梯形ABNM與梯形MNCD的面積相等. 試研究線段GH，KL，EF，MN與代數式，，，之間的關系，比較它們之間的大小關系并利用基本不等式加以證明.

分析：由題意可求出GH=，KL=，EF=，MN=. 由圖1可知，MN>GH>KL>EF，所以>>>.

用基本不等式證明：因為a，b為不相等的正數，所以>>0，所以<，所以<，即<.

又-

==>0，所以>

，即>.

綜上，利用梯形模型和基本不等式證明了這個“不等式鏈”. 那么是否存在其他的證明方法呢？接下來，教師可以引導學生結合已學的半圓模型進行證明.

如圖2所示，以a+b為直徑畫半圓O，不妨設a>b>0，AC=a，CB=b，過C作CD⊥AB交半圓O于D，過點O作OM⊥AB交半圓O于M，連接MC，OD，再過C作CE⊥OD交OD于E.

分析：構造半圓模型后，容易得OM=，CD=. 在Rt△CMO中，易知OC=，MC=. 在Rt△DCO中，由DC2=DE·OD，得DE===. 由圖2可得，MC>OM=OD>DC>DE，由此也可以得到上述“不等式鏈”.

除了上述方法外，還可以引導學生構造函數模型，根據函數的單調性進行證明. 在教學中教師要不失時機地加以引導和啟發，讓學生通過多角度觀察和聯想后獲得不同的解題思路，使思維向不同方向、不同層次延伸，有利于解題能力和思維能力的提升.

很多高考題目都是例習題的縮影，然因教學中缺少對例習題的開發和拓展致使學生無從察覺. 因此在數學教學中，教師要研讀課本，有目的地引導學生進行例習題的再開發，這樣不僅有利于學生跳出“題海”，而且使例習題更加生動，課堂“活”了，學生的學習能力自然也就提高了.