關注問題本質 提升評講質量

陳靜

[摘? 要] 學生考試時常出現“一錯再錯”的現象，學生對錯題的認識還停留在“知其然不知其所以然”的狀態，從而解題時即使知曉解題思路也不能順利求解. 為此，在試卷評講時要引導學生回歸教材、回歸通法，從問題的本質出發，通過“多解”“多變”實現解題思路的拓展和延伸，進而不斷提升轉化能力和思維能力，促進解題效率的提升.

[關鍵詞] 回歸教材;回歸通法;解題效率

試卷評講課是高三數學教學的重要課型之一，是學生查缺補漏的主戰場，然從試卷反饋來看，試卷評講的效率較低，很多題目學生常“一錯再錯”，究其原因主要是受傳統教學模式的影響，試卷評講依然延續著“師講生聽”的模式，學生的主體性沒有得到發揮，學生的學習依然是被動的，學生只重視練而不重視總結和反思，進而影響了學習能力的提升. 那么試卷評講該如何進行呢？尤其是對一些難度較大的應用題，應采用什么評講模式才會更加高效呢？筆者以一道高考模擬題為例，說一說對試卷評講的一些淺見，供參考.

[?] 研究背景

下面的例1是高三模擬考試中的一道綜合應用題，筆者借助于本題求解中暴露的問題，如基礎知識不扎實、解題思路單一、運算能力不足等問題，淺談試卷評講的方向、試卷評講的策略及意義.

例1 如圖1所示，某商業中心O有兩條街道，一條位于正東方向，一條在北偏東30°方向，某公園P位于商業中心O北偏東θ角（0<θ<，tanθ=3），且公園P與商業中心O的距離為 km. 現過公園P修一條直路，使其可以連通商業中心O的兩條街道，其交點分別為A，B.

（1）若AB正好沿正北方向，試求O到A，B兩處的距離和;

（2）若要使商業中心O到A，B兩處的距離最短，請確定A，B的最佳位置.

本題是一道高考模擬備考題，雖然之前求解過類似的題目，然學生的解題效果并不理想. 問題（1）中因為AB剛好是正北方向，學生根據已知建立了平面直角坐標系，并根據已知得到OA=OP·sinθ=，OB=2OA，于是得到O到A，B兩處的距離和為13.5 km. 該位置是一特殊位置，其角度也是一特殊值，因此求解較容易，絕大多數學生都可以準確求解. 對于問題（2），幾乎所有學生都可以通過建立平面直角坐標系，借助于直線AB的方程來刻畫O到A，B兩處的距離和，解題思路清晰，然在求解過程中卻暴露了很多問題，如未討論直線AB的斜率，利用函數卻不考慮其定義域，求導運算也是漏洞百出. 為此，對于這道應用題學生雖然形成了正確的解題思路，然大多數學生卻未能正確求解. 那么對于這樣的問題，教師該如何評講呢？顯然，若“就題論題”直接給出答案，則很難加深學生的理解，那么學生日后解題時出現錯解的概率依然很大. 為此，評講此類問題時教師必須改變傳統的“灌輸式”和“一刀切”評講模式，要依據學生的學情，借助于學生熟悉的問題帶領學生回歸問題的本質，進而提升評講品質，提高評講效率.

[?] 試卷評講策略

1. 關注回歸，化陌生為熟悉

（1）回歸教材. 高考題目大多數源于教材，在教材中往往可以發現高考題目的影子. 因此，在試卷評講時可以回歸教材，從學生熟悉的內容出發，有效化解學生對題目的陌生感，增強解題信心;同時，通過回歸可以引起學生對教材的重視，使學生更加關注對教材例習題的開發和拓展，這樣既有利于拓展學生的思維能力也有助于學生跳出“題海”.

（2）回歸通法. 在解題教學中，部分學生常關注難題、新題，盲目地追求花里胡哨的解題技巧，進而使得基礎題屢屢失分，得不償失. 在數學學習中要多關注解題的通性通法，善于從問題的本質出發去思考和解決問題，這樣不僅可以幫助學生跳出“題海”，而且可以實現“會一題、會一類”的目的. 為此，在教學中教師可以帶領學生從簡單的、熟悉的問題出發，關注問題的基本規律，從普通意義去建構，使學生面臨新題、難題時也能找準解題方向，順利求解.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點，求OA+OB的最小值.

解法1：由題意可知，直線l的斜率存在，設為k（k≠0），則l的方程為y-1=k（x-2）. 令x=0，得y=1-2k;令y=0，得x=2-. 由1-2k>0，

2->0得k<0，則OA+OB=1-2k+2-=3+（-2k）+（-）≥3+2，當且僅當-2k=-，即k=-時取等號.

教師在評講應用題前，選取了一個學生熟悉的、題設簡單的求距離的問題，進而借助于簡單題提升學生解題的信心. 在求解過程中引導學生關注直線斜率存在的問題，善于對特殊情況進行分類討論. 本題根據直線l的斜率存在，故解題時可以結合圖像借助于不等式組進行求解.

2. 多解拓展，優化解題策略

對于例2，教師引導學生進行多解拓展，其目的是發散思維，充分調動學生已有的經驗，進而活學活用. 在教師的引導下，對于例2學生又提出了以下兩個不同的解決方法：

解法2：設A（a，0）（a>0），由題意可知，直線l的斜率存在，且斜率不為0，故l：=，令x=0，得y=+1. 由+1>0得a>2，則OA+OB=a++1，同理利用基本不等式可以順利求解.

解法3：如圖3所示，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，設∠BAO=α（0<α<）. 在Rt△PAC中，AC=;在Rt△PBD中，BD=2tanα. 則OA+OB=2++1+2tanα=3+2tanα+. 至此，問題轉化后求得最小值為3+2.

解法1為設方程法，解法2為設點法，這兩種方法是解析幾何中常用的處理方法. 在利用通法求解問題時要注意引導學生關注問題轉化的等價性，如特殊值、定義域等. 解法3利用的是解三角形的相關知識，在解決此類問題時應用此方法也較常見. 以上三種解法都是教材例習題中較常見的方法，將解法向學生熟悉的解決模式進行轉化，有利于解題思路的形成，有助于解題效率的提升. 在數學學習中，很多學生對這些通性通法表示不屑一顧，過多地追求解題技巧，久而久之，學生就會忘記解題的根本，學生的解題能力難以得到提升. 為此，在評講應用題時，讓問題回歸，讓解法回歸，引導學生關注基礎、關注本質，進而為后面的延伸和拓展奠基.

3. 變式拓展，活化思維

經過對例2的評講，學生掌握了解決此類問題的方法，那么其與例1又有什么聯系呢？如何引導學生進行知識的遷移呢？基于此，教師在例2的基礎上進行了變式拓展，將圖2進行旋轉和傾斜后得到了圖4和圖5. 雖然變換后與原題不同，然其本質并沒有變化，依然可以借助于例2的解題經驗進行求解. “新題”給出后，學生迫不及待地想去驗證，學生的探究欲被激發了，解題效率獲得了大幅度提升.

學生通過類比，順利地完成了這兩道變式題，這時引導學生回歸例1，將解題經驗進一步遷移. 通過前面由淺入深的逐層滲透，借助于“多解”和“變式”的不斷激發，大多數學生可以自主地應用不同方法完成例1中問題（2）的求解.

解法1：設方程法. 學生之前在求解時幾乎都應用了該方法，此方法是解決此類問題的通法，然因學生對通法的掌握不夠細致，使得解題時漏洞百出. 為此，教師帶領學生通過自查和互糾的方式完成錯題訂正，進而實現鞏固基礎、強化通法的目的.

解法2：設點法. 以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖6所示的平面直角坐標系，則P

設A（a，0）（a>0），若a=，由（1）得OA+OB=13.5（km）.

當a≠時，直線AB：=. 由題意知，直線OB：y=x. 聯立直線AB與直線OB，解得x=.

由x=>0，得a>4，則OA+OB=a+2×=（a-4）++5≥9，當且僅當a-4=，即a=6時取等號，此時OA=6 km，OB=3 km.

解法3：解三角形. 如圖7所示，過點P作PM∥OA交OB于點M，PN∥OB交OA于點N，設∠BAO=α.

在△OPN中，==，得PN=1=OM，ON=4=PM.

在△PAN中，=，得AN=. 同理，在△PBM中，BM=，且0°<α<120°，則OA+OB=4++1+≥9，當且僅當=，即tanα=時取等號.

學生利用方程法求解后，教師又引導學生嘗試利用另外兩種方法求解，三種方法類比后讓學生發現最優的解決方法.

在本題的評講中，教師不是急于帶領學生訂正，而是借助于學生較熟悉的、簡單的問題先進行引導，讓學生將解題的重心放置于問題本質的探究上，進而通過對通法的思考來尋找最優的解決方法. 在此過程中讓學生先回歸熟悉，再利用變式回歸陌生，通過模式的轉化使學生的思維更加活躍，解法更加靈活，課堂更加生動.

總之，要想發揮試卷評講的優勢，就必須打破“就題論題”的教學模式，要回歸基礎，要善于捕捉問題的本質，從而讓學生可以站在解題思想的高度去思考問題、解決問題，最終促進學生提升數學能力.