巧借圖像表征推動學生思維進階

江蘇省南京市永泰路小學 郝瑞亞

數學是一門基于思維的學科，學生的思維發展不是一蹴而就的，需要在整個小學階段的學習中逐步實現由形象思維向抽象思維的轉變，而其中思維生長最重要的載體就是圖像。圖像表征是指學生利用圖像表達自己思考的過程。教師在教學中充分利用圖像表征，能夠推動學生的思維進階。

一、多圖表征，夯實概念生長點

在小學階段，概念的學習并不要求學生用完全標準的數學化語言進行表述，以“認識小數”的學習為例，新課標強調要注重從具體情境中抽象出數的過程，理解小數的意義。而圖像表征就是一個由抽象概念建立直觀表象與理解的過程。在學習小數的知識之后，教師設計了這樣一道題目：用你喜歡的方式表示你對小數1.4元的理解。學生主要用這樣幾幅作品表示。（見圖1）

圖1

從學生作品中，我們可以看出主要有三種不同的理解層次：語言描述、實物觀察以及圖形展示。能夠主動想到用線段圖表示的學生對小數的理解已經上升到比較高階的水平。教師將這幾幅作品進行展示，引導學生對比、辨析、交流、融通，在差異化的表達中逐步實現思維的發展與方法的優化，幫助學生從多維度、深層次理解小數的意義。

二、數形聯通，提升計算解疑竇

數學家華羅庚曾說，數缺形時少直觀，形少數時難入微。在計算的學習中，圖像表征能夠在難懂之處顯直觀，在相似之處解疑竇。學生畫圖的過程本身就是對題意分析并表征的過程，圖形還能夠將思維的疑惑點暴露出來。另外，在計算的學習中，原本抽象、易錯的運算法則結合圖形之后，便能形成更加豐富的學習體驗。

（一）圖像表征，突破局限高屋建瓴

建構主義理論認為，遷移是指認知結構在新條件下的重新建構，遷移按其學習效果可以分為正遷移與負遷移。在教學過程中，教師可以運用圖像表征的方式有效突破舊知的負遷移作用，直觀幫助學生形成知識的重新建構。

如在學習“乘法分配律”時，教師可以引導學生充分利用圖像表征打破代數表達式的局限性，從整體的角度看待乘法分配律。主要有以下兩方面的突破：一方面，從數字個數的角度，學生會存在誤區，認為等號左邊只乘了一次c，所以，在等號右邊也只給第二個加數乘c，典型錯例如（125+9）×8=125+9×8。這主要是由以前學習的交換律、結合律中“數字的個數不會改變”的刻板印象所形成的負遷移。因此，在教學時，教師引入面積圖進行演示，使學生能夠直觀地感受到，為保證面積不變，兩個加數分別乘c的必要性，豐富了學生的認知體驗，也在一定程度上消除了代數計算的負遷移。另一方面，在小學階段，乘法分配律的教學安排在三個不同的年級，分別是整數乘法分配律、小數乘法分配律以及分數乘法分配律。其實，分配律本身就有（a+b）×c=a×c+b×c的模型結構，但是，由于教材在編排時考慮到學習的循序漸進，將這三部分乘法分配律分開進行講解與驗證。另外整數、小數、分數從代數的角度并不是同一類型，因此，不能直接將整數的運算律應用到小數與分數當中，而是需要重新驗證。但是，圖像的出現打破了代數方面的禁錮。我們只需將分配律的模型轉化為兩個長方形面積的計算。長方形的長a、b與寬c既可以是整數，也可以是小數或分數。我們便可將代數方面的局限性利用圖像打破，形成對乘法分配律的整體認知。

（二）圖像助力，明晰算理有效整合

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，培養運算能力有助于學生理解運算的算理。在計算教學中，算理的理解常常是抽象晦澀的。教師通過圖像的助力，能夠將算理直觀地呈現在學生面前，降低理解的難度，使學生實現由形象思維向抽象思維的逐步過渡。在教學蘇教版數學五年級下冊“異分母分數加、減法”時，筆者先引導學生獨立嘗試異分母分數加法的計算，在作品展示時結合畫圖的方法引導學生直觀感受先通分再計算的必要性。在異分母分數的計算學習結束后，小學階段整數、小數、分數的加、減法計算規則都已經學習完畢。教師應該有意識地帶領學生發現整數加、減法末尾對齊、小數加、減法小數點對齊，以及異分母分數加、減法轉化為同分母分數的加、減法這三者的本質都是相同的計數單位相加。教師可以引導學生通過畫圖來驗證這一結論，使學生在畫圖的過程中深刻感受每個數位上數字的意義以及算理，將小學階段的加、減法計算有效整合，在學生心中形成統一、清晰的表象與模型。

（三）線段圖示，回歸意義明辨疑點

分數的意義對學生來說比較抽象，因此，數學教材分了三冊內容循序漸進地教學分數的有關內容。但是，在實際問題中，碰到帶單位的分數與不帶單位的分數時，學生心中經常疑惑重重，理不清每種情況的單位“1”如何確定，而通過線段圖畫出分數的過程正好可以幫助他們厘清思路。因此，教師要有針對性地指導學生用畫線段圖的方式解決分數問題，回歸分數意義，幫助學生明辨分數疑點，厘清具體問題中的單位“1”。

如在六年級上冊《分數乘法》單元有這樣一道題：“某水果批發市場有3噸水果，如果每天賣出，那么（ ）天可以賣完；如果每天賣噸，那么（ ）天可以全部賣完。”這道題是學生的難點與易錯點。我們仔細分析會發現問題的癥結點在于如何理解與噸分別以什么為單位“1”。為了看得清楚，筆者引導學生畫兩段相同長度的線段來表示題意。最開始，很多學生將噸畫成全長的，但是，筆者稍稍引導后，學生就能發現這樣畫出的噸比1噸都大。學生在圖形中發現矛盾，調整認知。在直觀圖形的助力下，學生自然對于單位“1”的認識更加深刻，從圖形中也能夠清楚地看出第一問的答案為3天，列式為（天），第二問中有9個噸，列式為9（天），因此答案為9天。通過這樣的圖形辨析，學生對不同情況下的單位“1”更加清晰了。

三、抽絲剝繭，聚焦題組巧建模

在高年級階段，數學知識由二維向三維過渡，這對學生的空間思維是極大的挑戰。圖像表征能夠使抽象的題目直觀化，因此，教師要結合題組引導學生從圖形中排除無關因素，發現本質規律，進而建立模型，提升學生的抽象思維。

（一）橫向對比，方法多樣促優化

在學習長方體的體積之后，學生要解決這樣一道題：“一種禮盒長4厘米、寬3厘米、高2厘米，樂樂想把2個相同的禮盒包裝在一起，怎么包裝最省包裝紙？”教師引導學生畫圖之后發現有三種不同的拼法，并讓學生自己在練習紙上進行計算。收集學生作品時，我們發現一共出現三種計算思路：第一種是先計算兩個圖形的表面積之和，再減去合并之后減少的兩個長方形的面積；第二種思路是直接地將露在外面的10個面的面積相加；第三種思路是將合并之后的兩個長方體直接想象為一個大長方體，再用新的長、寬、高進行計算。教師引導學生介紹作品之后，進行對比優化。首先，學生發現最大的面合并在一起后是表面積最小的情形；其次，大部分學生認為第三種方法在計算時較為簡單。教師繼續出示拓展題：“劉老師買了4本同樣大小的筆記本，每本筆記本長20厘米，寬15厘米，厚3厘米，如何打包最節省包裝紙，請你設計最佳方案并計算需要多少平方厘米的包裝紙？”讓學生自己選擇方法進行計算。大部分學生直接采用剛才優化的第三種方法，即新長方體的長、寬不變，高變為原來的4倍，表面積最小，列式為（20×15+15×12+20×12）×2=1440（平方厘米）。

學生給這類題目取名“包裝紙”題，并歸納出要使表面積最小，就要將最大的兩個面進行合并，并把合并之后的圖形想象成一個更大的長方體計算其表面積。由此可見，圖像表征能夠將抽象題目直觀化，同時通過多種方法的對比優化，幫助學生建立解題模型，促進其思維的提升。

（二）縱向聯通，溫故釋新建結構

基于小學生的認知特點以及學習能力的不斷遞進，數學教材在編排時以單元為單位，將同一系統的知識安排在不同的年級，呈螺旋上升結構，使學生在知識的掌握上達到最優化。但是，這樣的教學難免會有碎片化、淺層次化的特點。教師作為教學的組織者，應該從整個小學階段甚至更高層次來看待所學內容，引導學生在學習時既能“溫故”釋新、新舊聯通，又能拓展延伸、觸類旁通，將散落的知識碎片在頭腦中拼制成知識地圖，建構更高層次的知識結構。

如在六年級學習“長方體的體積”時，教師設計這樣一道題：“長方體的長是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米，如果長方體的長增加2厘米，長方體的體積增加多少立方厘米？”在教學時，教師首先要教學長方體立體圖的畫法。學生在畫出圖形后，發現新增加的部分是一個長為4厘米、寬為2厘米、高為3厘米的小長方體（見圖2），并且列出4×2×3=24（立方厘米）的算式，在此基礎上稍微回顧一下，便可發現，其實在三年級下冊學習“長方形的面積”時曾做過類似的題目：“長方形的長是5厘米，寬是4厘米，如果長方形的長增加2厘米，長方形的面積增加多少平方厘米？”（見圖3）教師進一步引導學生思考，圖2的立體圖形與圖3的平面圖形有何聯系。學生能夠發現圖3增加的面積正好是圖2增加長方體的底面積，因此，可以直接運用“底面積乘高”的方法進行計算，列式為8×3=24（立方厘米）。

圖2

圖3

在學習圓柱的知識之后，類似的題目又出現了：“圓柱體的底面半徑為3厘米，高為4厘米，如果圓柱體的高增加2厘米，圓柱體的體積增加多少立方厘米？”（見圖4）教師可以將長方體的知識再次進行對比，進而歸納出長方體與圓柱體積的增加均可以用“增加的底面積×高”進行計算。通過知識的前后對比，學生一方面對于由二維到三維的過渡更加自然，同時，積極將長方體與圓柱進行聯系，建構“增加的體積=增加的底面積×高”的模型；另一方面，學生意識到復習以前的知識能夠對解決新的問題有所幫助，產生“瞻前顧后”的學習意識。

圖4

圖像表征作為一種有效的學習方式，豐富了數學概念的內涵，加深了學生對于概念的多維度、深層次理解，聯通了數與形的世界，顯現思維誤區，辨明計算疑竇，極大地增強了學生的空間觀念，通過方法的多樣化與題組模塊化，提升了學生的思維能力。