數(shù)學(xué)小課題研究：指向拓展性學(xué)習(xí)

江蘇省南通市海門區(qū)第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) 杜 英

數(shù)學(xué)小課題研究是指學(xué)生圍繞同一個(gè)主題構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體，統(tǒng)整學(xué)習(xí)方式，在學(xué)習(xí)、理解、分享、反思、成長中提升知識技能、研究方法、思維方式的活動(dòng)。它具有低起點(diǎn)、 日常化、期周短、好操作、易評價(jià)等典型特征。筆者以數(shù)學(xué)小課題研究為媒介，通過數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)閱讀、調(diào)查實(shí)踐，提升學(xué)生核心素養(yǎng)，拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新領(lǐng)域。

一、小課題研究，從數(shù)學(xué)思維走向綜合素養(yǎng)

史寧中教授曾說過：“一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣，會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而抽象能力強(qiáng)；會(huì)在雜亂無章的事物中理清頭緒，進(jìn)而推理能力強(qiáng)；會(huì)在雜亂無章的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而建模能力強(qiáng)。”蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊的“和與積的奇偶性”屬于“數(shù)與代數(shù)”板塊的內(nèi)容，它是“因數(shù)和倍數(shù)”單元后的“探索規(guī)律”的專題活動(dòng)。

基于學(xué)生對這一知識已經(jīng)有了一些了解，并掌握了相關(guān)的探究方法這一學(xué)情，筆者設(shè)計(jì)了符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的研究單（見圖1），以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究。

圖1

學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)需要，形成研究小組進(jìn)行探索。在組內(nèi)交流的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行全班交流。

師：我們先來交流任意選兩個(gè)不是0的自然數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)。

生1：我們小組認(rèn)為，任意選兩個(gè)不是0的自然數(shù)相加，和可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，我們用的是列舉法：2+2=4，4+4=8，8+8=16，通過列舉發(fā)現(xiàn)兩個(gè)偶數(shù)相加，和是偶數(shù)；2+3=5，3+6=9，10+11=21，一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)相加，和是奇數(shù)；1+1=2，3+3=6，5+5=10，兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)。

生2：我們小組的觀點(diǎn)和他們組的觀點(diǎn)相同，只不過我們是通過列表來思考的。（圖略）

生3：我們是畫圖來進(jìn)行研究的，通過畫圖很清楚地看到：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。（圖略）

生4：奇數(shù)是不能被2整除的數(shù)，所以奇數(shù)可以看成“偶數(shù)+1”。大家看我們組的研究過程。（圖略）

師：剛才，同學(xué)們從簡單的問題入手，從不同的角度去探索，做得很好。讓我們一起回顧一下剛才的探索過程，我們通過了什么方法，發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？

生5：我們通過列舉法、列表法、畫圖法、推理法，都發(fā)現(xiàn)了偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。

師：你很會(huì)總結(jié)。剛才我們探索的是2個(gè)自然數(shù)相加和的情況，那任意選若干個(gè)不是0的自然數(shù)相加，什么時(shí)候和是奇數(shù)，什么時(shí)候和是偶數(shù)呢？哪組同學(xué)來匯報(bào)。

生6：我們組通過列舉來研究的，大家看我們的研究過程。（圖略）

生7：我們組運(yùn)用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解釋多個(gè)數(shù)相加的情況，請看我們的研究過程。（圖略）

師：看來若干個(gè)不是0的自然數(shù)相加，和的奇偶性是由加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)決定的。加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，和就是奇數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，和就是偶數(shù)。這樣，復(fù)雜的問題就變得簡單了。

根據(jù)弗賴登塔爾的教育理論，教師的主要任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，順學(xué)而教，給學(xué)生提供研究素材，精心設(shè)計(jì)活動(dòng)單，認(rèn)真組織學(xué)生合作探究。在喚醒了學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)生經(jīng)歷了深度思考、自主探索、合作交流、建模描述，對和的奇偶性規(guī)律有了深刻的認(rèn)識。學(xué)生有的從多個(gè)算式舉例說明，有的從列表角度來論證，有的借助數(shù)形結(jié)合解釋，有的通過推理來思考，相互驗(yàn)證、相互啟迪，有深度、有溫度。在積極參與中，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了探索規(guī)律的方法，還把握到了規(guī)律的本質(zhì)內(nèi)涵，從感性走向理性，從歸納走向明理，不斷提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。和的奇偶性的成功探究為后續(xù)學(xué)習(xí)“積的奇偶性”埋下伏筆。

學(xué)生們繼續(xù)在自己獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作交流，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律、形成結(jié)論的整個(gè)學(xué)習(xí)過程，得出：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；乘數(shù)中只要有一個(gè)偶數(shù)，積就是偶數(shù)。

基于學(xué)生擁有“和的奇偶性”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在研究“積的奇偶性”這一內(nèi)容時(shí)，教師就可以放手讓學(xué)生自己研究。教師啟發(fā)學(xué)生回顧參與探索“和的奇偶性”規(guī)律的過程，充分調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，給予他們充足的時(shí)間體驗(yàn)、探索規(guī)律。學(xué)生們運(yùn)用抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，自身的思維將會(huì)更廣闊、更深刻。

二、小課題研究，從學(xué)科能力走向立德樹人

史寧中教授指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成長為什么樣的人，這就是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。”

2021年，中國共產(chǎn)黨迎來了百年華誕。筆者以此為主題，采用數(shù)學(xué)閱讀分享等方式讓學(xué)生感知到我國在社會(huì)生活、國家建設(shè)等領(lǐng)域的眾多發(fā)展成就。緊接著，課后圍繞建黨百年設(shè)計(jì)了“百年歷程心中有‘?dāng)?shù)’”的作業(yè)，通過網(wǎng)絡(luò)、書籍查詢、詢問家長、同伴互助等形式開展了小課題研究（見圖2）。

圖2

學(xué)生們從以下幾個(gè)實(shí)踐環(huán)節(jié)對本次數(shù)學(xué)小課題進(jìn)行研究，具體內(nèi)容如下。

1．“畫說黨史”

通過網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，學(xué)生們找到了中國共產(chǎn)黨發(fā)展中的歷史時(shí)刻，通過思維導(dǎo)圖的形式，串聯(lián)起中國共產(chǎn)黨走過的百年光輝歷程，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，以此增進(jìn)他們對黨和祖國的深厚感情。

2．“童畫數(shù)學(xué)”

探尋中國共產(chǎn)黨百年征程中的數(shù)學(xué)信息，如解放戰(zhàn)爭中的大數(shù)據(jù)分析、經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的數(shù)學(xué)信息，以數(shù)學(xué)手抄報(bào)的形式呈現(xiàn)。在創(chuàng)作的過程中，學(xué)生們相互學(xué)習(xí)、相互借鑒，感受到數(shù)學(xué)的魅力。

3．“數(shù)說中國”

以“中國速度我來講 ”為主題，學(xué)生們分別從民生、科技、軍事發(fā)展這三個(gè)角度進(jìn)行了數(shù)學(xué)講述。

“大道如虹”以“高速公路發(fā)展”為研究點(diǎn)，了解30年間，我國大陸高速公路從0到99%城市大覆蓋，從“一無所有”到“世界第一”；“筑夢北斗”介紹我國北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的建成史，從2000年“北斗一號”試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射到2020年北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式建成開通；“國之重器”以我國航母、東風(fēng)系列彈道導(dǎo)彈的研制歷史為例……讓學(xué)生們感受只有國家強(qiáng)大、國防強(qiáng)大，中國才有未來！

學(xué)生在進(jìn)行“百年歷程 心中有‘?dāng)?shù)’”的數(shù)學(xué)小課題研究時(shí)，深刻感受到強(qiáng)大的中國精神、中國力量 。

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、邏輯性和精確性特點(diǎn)的學(xué)科，它需要學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、懂得分析、提煉結(jié)論，也有助于培養(yǎng)學(xué)生求真、求實(shí)的科學(xué)精神。

三、小課題研究，從單一教學(xué)走向?qū)W科融合

學(xué)科融合的本質(zhì)是整合，學(xué)生圍繞同一個(gè)主題進(jìn)行小課題研究，打破原有的學(xué)科界限，通過不同主體的參與、多元的學(xué)習(xí)方式，整合不同學(xué)科知識、不同策略實(shí)現(xiàn)學(xué)科跨界融合，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富、完整的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，提升學(xué)生的動(dòng)手操作能力、知識水平和學(xué)習(xí)能力，從而讓學(xué)生擁有健康的身心、健全的人格，以及未來持續(xù)不斷成長的學(xué)習(xí)能力。

以跨學(xué)科融合小課題“‘布’同凡響”為例。

本課題研究從學(xué)生認(rèn)知情況出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生展開收集信息、調(diào)查研究、分析數(shù)據(jù)、討論體驗(yàn)等活動(dòng)，對“布”有了較為全面的了解。讓“布”成為不同學(xué)科間的紐帶，建立學(xué)校、社會(huì)之間的聯(lián)系，讓生活與學(xué)習(xí)融通，讓學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生。我們創(chuàng)建了本課題的思維導(dǎo)圖（見圖3）。

圖3

班主任教師帶著學(xué)生觀看“布衣中國”“藍(lán)印花布”“貨布”等視頻，語文教師帶著學(xué)生查閱書籍、查詢網(wǎng)絡(luò)了解“布”的來歷、演變及價(jià)值。家長志愿者們帶著孩子去市場上實(shí)地考察，了解到棉麻、毛呢、真絲、羊毛等不同面料，以及它們各自的特點(diǎn)，知道商場里如何分類擺放衣服和如何搭配等。數(shù)學(xué)教師帶著學(xué)生研究布料的材質(zhì)、質(zhì)量、價(jià)格。通過小課題研究，學(xué)生們了解到：同樣大小布料的質(zhì)量是有輕重的，絲質(zhì)的較輕，麻織的較重，呢子的更重；布料的密度、織造的方式也決定著布料的質(zhì)量。學(xué)生們還計(jì)算出不同布料的價(jià)格，促使他們學(xué)以致用。美術(shù)教師指導(dǎo)學(xué)生用廢棄的布料進(jìn)行再利用、再創(chuàng)作，學(xué)生們與“布”零距離接觸，完成“布”一樣的作業(yè)。

在跨學(xué)科融合的“‘布’同凡響”小課題研究中，各科教師科學(xué)引領(lǐng)，學(xué)生們自主選擇內(nèi)容，小組分工合作。學(xué)生通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)、閱讀分享、實(shí)踐體驗(yàn)、自信展示，拓寬了視野，通過跨學(xué)科整合、自主創(chuàng)生，提升了學(xué)科素養(yǎng)。這樣的跨界融合教師是輔助，主創(chuàng)是學(xué)生，因此促進(jìn)了學(xué)生能力發(fā)展、知識豐富、思維提升……讓每一個(gè)學(xué)生學(xué)有所獲，不斷成長。

數(shù)學(xué)小課題的研究活動(dòng)，能讓數(shù)學(xué)變得更鮮活、更生動(dòng)，是一種更有層次的拓展性學(xué)習(xí)。它能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也能讓學(xué)生經(jīng)歷更有意義的學(xué)習(xí)過程。學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中思考，積累了豐富的情緒體驗(yàn)，從中感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，獲得良好的思維品質(zhì)，并在小課題研究中形成了相互影響、相互促進(jìn)的人際關(guān)系，提升了社會(huì)交往的能力，提高了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)也拓寬了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新領(lǐng)域。