學“整式乘法與因式分解”，從讀教材開始

文／鐘 鳴

同學們，教材是我們學習的根本。在學習本章之前，先瀏覽一遍，你會發現，本章由兩部分構成——“整式乘法”和“因式分解”，它們是互逆變形。在本章的學習中，我們要學著從兩個方向（順向與逆向）看問題，培養逆向思維。

例如：乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，順向看是“整式乘法”，兩個一次多項式的積變成了一個二次多項式；逆向看是“因式分解”，一個二次多項式分解成了兩個一次多項式的積。

深入閱讀各節內容，我們還會發現這樣的結構：“用不同的方法從不同的角度計算同一個圖形的面積，獲得等式”→“利用歸納，合情推理，得出法則或公式”→“依據運算律，通過演繹推理，證實結論”。這是貫串全章的基本方法，也是代數領域非常重要的學習方法。我們完全可以將這一基本方法拓展到對完全立方公式的研究中。

如圖1，已知一個邊長為a+b的正方體。對于其體積V，我們可以直接整體計算，得到V=（a+b）3；還可以利用兩個小立方體的體積與6個小長方體的體積之和計算，即a3+b3+3a2b+3b2a。于是，我們得到等式①（a+b）3=a3+b3+3a2b+3b2a。

圖1

上述結論中，a、b的取值局限于正數。為了得到一般的結論，我們不妨假設以下三類情況：1.a、b中有一個是負的；2.a、b都是負的；3.a、b中有一個（或兩個）取值為零。我們將這3種情況分別代入等式①的左右兩邊，通過驗證、歸納，猜想等式①對于任意實數都成立。但是，這只是猜想。為了在更一般意義上確立這一結論，我們還需要從數學已有的規則、事實出發，從邏輯上加以證明。因為（a+b）3=（a+b）2（a+b），所以我們利用完全平方公式和多項式乘多項式法則，即可證明等式①。

讀完這一章，我們再回頭想一想便能感覺：在知識形成的過程中，圖形（幾何）直觀、符號意識、推理能力是比較重要的。

圖形直觀指畫一個圖形，直觀表示所思考對象的數學特征（關系），以便分析問題。其指導思想就是數形結合。我們所熟知的表格、線段圖、條形圖、扇形圖以及點和線段的表示等，都是圖形直觀。在本章中，圖形直觀體現在畫一個圖形來表示兩個可以畫等號的代數式，這既可以解釋“整式乘法”，也可以解釋“因式分解”。

符號意識就是主動使用符號的意識。我們在數學學習中，接觸的數學符號主要有兩類：1.數字、字母、圖像（表）等對象符號；2.加、減、乘、除、等于、不等于等運算符號。運用符號，我們可以表示數、數量關系和變化規律，還可以進行運算和推理。在本章中，用符號表示規律，發現公式（等式①），就是主動運用符號表示的過程；對所發現的公式，依據運算律和法則進行證明，就是符號操作的過程。

如果想把一般的規律揭示出來，你就不得不進行符號表示；如果想證明規律的正確性，你就不得不進行符號操作。這兩個過程既是代數運算的過程，也是初中代數與小學算術的最大不同。

進入初中后，我們更加重視由合情推理和演繹推理構成的完整推理過程。合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。合情推理和演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，是學習本章以及全部“數與代數”領域知識的有效工具。我們在閱讀教材的同時，要留意去體驗、認識、經歷這樣的推理過程，在進行合情推理時思考“合情”的理由，在進行演繹論證時注重尋找合理的證明思路。

總之，學習數學要閱讀教材，要重視知識形成的過程，把握一章的主線，總結基本方法，更要錘煉數學能力，增強數學意識，體悟數學思想，感受數學趣味。