免疫算法在分數階Fourier變換域極值優化中的應用

劉清宇，衛紅凱

免疫算法在分數階Fourier變換域極值優化中的應用

劉清宇1，衛紅凱2

(1. 海軍裝備研究院，北京100161；2. 海軍工程大學，湖北武漢430033)

利用線性調頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號在分數階Fourier域上的聚焦性，通過搜索可實現LFM信號的檢測和參數估計。通常采用步進式搜索法，效率低下。為了克服該缺點，通過對分數階Fourier域優化問題的研究，將免疫算法引入到分數階Fourier變換極值搜索中。仿真結果表明：該方法優于傳統的步進式搜索法。

免疫算法；分數階Fourier變換；極值優化

0 引言

傳統的傅里葉變換(Fourier Transform, FFT)采用正弦基，適合于處理平穩信號。但實際中，許多信號的統計特性往往隨時間變化，表現出非平穩特性。為了描述非平穩信號的時變特征，需要尋求新的時頻分析工具，分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)[1-3]是基于此出現的一種信號處理新方法。FRFT采用線性調頻基，特別適合于處理Chirp類信號。線性調頻信號在特定的分數階Fourier域上能夠實現聚焦，稱為LFM信號在分數階Fourier域上具有聚焦性。常用此聚焦特性檢測在通信、雷達、聲吶等領域中應用廣泛的LFM信號。

目前，常用的LFM信號檢測方法是步進法[4-6]。即設定參數步長，在分數階Fourier域平面對LFM信號進行二維步進搜索。但步進式搜索算法效率低下，尤其是當精度要求高時，更是如此。通常離散采樣信號經FRFT后，除了對應LFM信號的最大峰值外，在分數階Fourier域平面還會出現多個局部峰值。因此，分數階Fourier域的極值搜索本質上是全局尋優問題。免疫算法[7-10]是近年來出現的一種仿生類全局優化算法，該法具有所需函數信息少、全局性和魯棒性好等優點。因此，本文將免疫算法引入到FRFT中，提出了一種基于免疫算法的分數階Fourier域極值優化算法，從而實現LFM信號的檢測。通過仿真實例，驗證了本文所提方法的效率優于傳統的步進式搜索方法。

1 分數階Fourier域優化問題描述

分數階Fourier變換由Namias于1980年提出[1]，可理解為信號在時頻平面的旋轉算子。其定義如下：

實際中，信號由離散化采樣值表示。因此，需要將連續分數階Fourier變換離散化，本文采用Ozaktas[3]提出的離散化快速算法，即：

分數階Fourier域二維極值搜索問題可描述為：在分數階Fourier域二維平面內，尋找合適的，使得分數階Fourier域目標函數達到最大，其數學表達式為

(3)

由式(2)和(3)可知，分數階Fourier域目標函數形式復雜，為多個二維復雜指數函數的非線性疊加。這使得信號經FRFT后，目標函數呈現出非凸、多峰等特性。進一步增加了分數階Fourier域二維尋優的難度。

2 免疫算法

生物免疫系統是一種復雜的自適應系統，通過學習對“自己”和“非己”抗原的分類識別，形成對應的防御機制，以對抗外部病原體入侵，使系統損害最小化。免疫算法(Immune Algorithm, IA)[7-10]就是研究人員基于免疫原理，提出的一種模擬生物免疫系統功能的智能尋優算法。由于免疫算法具有生物免疫系統的多樣性、魯棒性、并行性、智能性等特點，在優化求解、魯棒控制、神經網絡等方面得到了廣泛應用。

IA對最優解的搜索類似于免疫體對抗原識別和應答的進化學習過程。IA的每個解稱之為一個抗體個體，每組抗體的集合稱之為抗體群，抗原對應具體的優化問題，抗體的適應度表征抗體的親和度。在免疫應答過程中，親和度高的抗體，更容易被選擇作為優質抗體進行克隆、變異、抑制、刷新等進化操作，而親和度低的抗體在進化過程中將被淘汰和更新。在最優化問題中，優質抗體通過變異操作，產生有潛力的新抗體，實現局部搜索。通過克隆抑制親和度低的變異抗體，保留親和度高的變異抗體進入抗體群。為保持抗體多樣性，在抗體群中加入隨機抗體實現抗體群刷新。子代抗體對應更接近最優值的解，IA即是通過各子代抗體的迭代，來找到最優解。

IA的計算步驟如下：

(1) 根據待優化問題(抗原)，確定解空間，在解空間內隨機產生初始解(抗體群)，并對初始解進行二進制編碼。

(2) 以目標函數值作為適應度函數，并計算各抗體的適應度(親和度)和濃度。

(3) 是否滿足終止條件，若滿足，則停止運算，以當前解作為最優解輸出，否則繼續以下步驟。

(4) 根據抗體親和度和濃度，選擇優質抗體進行克隆、變異和克隆抑制。

(5) 以隨機生成的新抗體更新抗體群中親和度較低的抗體，實現抗體刷新，并轉入步驟(2)。

算法流程如圖1所示。

3 仿真實例

下面通過幾個實例來說明免疫算法的良好性能。

表1 0.15s脈寬時直接法與免疫算法性能比較

表2 0.3s脈寬時直接法與免疫算法性能比較

表3 0.5s脈寬時直接法與免疫算法性能比較

表4 0.9s脈寬時直接法與免疫算法性能比較

表5 1.2s脈寬時直接法與免疫算法性能比較

表1~5為不同脈沖寬度下，直接法與免疫算法性能比較，從表中可以看出，隨著脈寬的增大，免疫算法的優勢越來越明顯。各表中估計值和理論值有偏差，這是由于信號的離散化采樣及噪聲的影響導致的。直接法的計算時間和估計精度與步長有關，隨著步長的增加，盡管其估計精度提高，但以犧牲運算效率為代價。免疫算法不僅耗時少于直接法，且其精度高。

4 結論

LFM信號經分數階Fourier變換后，在分數階Fourier域上會形成峰值。通常，對該峰值的搜索多是通過步進式搜索法進行。本文將免疫算法引入到分數階Fourier變換極值搜索中，相比于傳統步進法，本文方法精度高、收斂速度快。通過仿真實例驗證了本文方法的性能。

當然，由于水聲信道的復雜性，例如水聲信道是一種多徑信道，那么在這種情況下，本文的方法是否有效，有待于今后在實踐中去驗證。

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Application of immune algorithm to extremum searching in the fractional Fourier domain

LIU Qing-yu1, WEI Hong-kai2

(1. Naval Academy of Armament,Beijing 100161, China; 2.Navy Engineering University, Wuhan 430033,Hubei,China)

Based on the concentrated characteristics of linear frequency modulation (LFM) signal in the fractional Fourier domain, the detection and parameter estimation of LFM signal are usually realized by step-based searching method for extremum searching in the fractional Fourier domain. In order to resolve the disadvantage of low efficiency of the step-based searching method, Immune Algorithm is introduced to the fractional Fourier transform for extremum searching with the study of fractional Fourier optimization. Simulation results show that the performance of the Immune algorithm is better than that of the traditional step-based method.

immune algorithm; fractional Fourier transform; extremum searching

TB566

A

1000-3630(2015)-01-0075-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2015.01.014

2014-11-11;

2015-01-13

劉清宇(1968－), 男, 河南商丘人, 研究員, 研究方向為水聲數據分析。

衛紅凱, E-mail:whk200605@163.com