數(shù)學(xué)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究

謝楊林

【摘要】本文首先對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題和探究的概念加以理解，然后分析解答了一個(gè)具體的問(wèn)題情境，最后概括總結(jié)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問(wèn)題;探究

數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)我們來(lái)講并不陌生，在我們的學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)?？梢杂龅剑瑥淖畛醯淖R(shí)數(shù)到高等數(shù)學(xué)建模這些都屬于數(shù)學(xué)問(wèn)題，顯然數(shù)學(xué)問(wèn)題有一個(gè)較寬廣的范圍。但是就數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科來(lái)講，數(shù)學(xué)問(wèn)題就比較容易劃分?！墩n標(biāo)（2011）》給出了“數(shù)學(xué)”的定義：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。而問(wèn)題是指那些要求回答或解釋的題目或者是需要研究討論并加以解決的矛盾、疑難。所以數(shù)學(xué)問(wèn)題就是關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的有待回答的題目或者有待解決的疑難。數(shù)學(xué)題其實(shí)也就是數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體化，實(shí)例化。

探究的在辭海中的釋義是“深入探討，反復(fù)研究”。而探究在百科的釋義更加具體：探究亦稱(chēng)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中通過(guò)觀察、閱讀，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，搜集數(shù)據(jù)，形成解釋?zhuān)@得答案并進(jìn)行交流、檢驗(yàn)、探究性學(xué)習(xí)。這兩種釋義雖不盡相同，但都表明了探究是一個(gè)過(guò)程，是一個(gè)通過(guò)學(xué)習(xí)解決疑難不斷進(jìn)步的過(guò)程。

解答數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)學(xué)科中數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的一種主要方式。下面通過(guò)一個(gè)問(wèn)題情景來(lái)展示數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的具體過(guò)程。

題目：

如圖1，⊙O半徑為R，⊙Q半徑為r，R=2r，且⊙O與⊙Q始終相切，求問(wèn)：當(dāng)⊙Q沿⊙O內(nèi)壁逆時(shí)針滾動(dòng)一周時(shí)，⊙Q自轉(zhuǎn)了幾圈？

思考：當(dāng)拿到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們大多數(shù)人的第一反應(yīng)是⊙O自轉(zhuǎn)了兩圈。主要是因?yàn)椤袿的半徑是⊙Q半徑的兩倍，所以⊙O的周長(zhǎng)為⊙Q周長(zhǎng)的兩倍;沿內(nèi)壁滾動(dòng)一周，⊙Q需走的路程為它周長(zhǎng)的兩倍，所以⊙Q自轉(zhuǎn)了兩圈。

驗(yàn)證與求解：通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)踐操作我們不難發(fā)現(xiàn)⊙Q實(shí)際只轉(zhuǎn)動(dòng)了一周，我們標(biāo)記⊙Q的一條半徑為QA，在⊙Q滾動(dòng)一周的過(guò)程中觀察QA的轉(zhuǎn)動(dòng)情況即可的出⊙Q自轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

如圖2，⊙Q沿⊙O內(nèi)壁逆時(shí)針滾動(dòng)時(shí)，QA（同⊙Q）順時(shí)針自轉(zhuǎn)，從位置1到位置2，⊙Q走了四分之一路程同時(shí)QA旋轉(zhuǎn)90°，依此類(lèi)推，⊙Q走完全程時(shí)，QA旋轉(zhuǎn)了360°，即⊙Q自轉(zhuǎn)了一圈。

反思：在找到正確的答案之后，我們必然會(huì)反思之前的思路是哪里出了問(wèn)題。不難發(fā)現(xiàn)，在之前的思路中我們把距離和角度兩者混淆成一體看待。題目最后是問(wèn)⊙Q自轉(zhuǎn)了幾圈，我們知道自轉(zhuǎn)360°為一圈，所以應(yīng)該根據(jù)⊙Q自轉(zhuǎn)的角度來(lái)求出⊙Q自轉(zhuǎn)了多少圈，而不是簡(jiǎn)單地把路程距離關(guān)系直接看成最終結(jié)果。

延伸：

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考，如果⊙Q沿⊙O外壁滾動(dòng)一周（如圖3所示），⊙Q自轉(zhuǎn)了幾圈？

思考：在有了前面的經(jīng)驗(yàn)之后，再解這道題就有了一定經(jīng)驗(yàn)，知道需要先求出⊙Q自轉(zhuǎn)的角度進(jìn)而求出⊙Q自轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

求解：如圖4，標(biāo)記⊙Q內(nèi)一條半徑為QA，觀察⊙Q滾動(dòng)時(shí)QA轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，從位置1到位置2⊙Q走了四分之一的路程，QA轉(zhuǎn)動(dòng)了270°，所以⊙Q走完全程時(shí)，QA轉(zhuǎn)動(dòng)了270°×4（即1080°），這時(shí)⊙Q總共轉(zhuǎn)動(dòng)了1080°÷360°（即3）圈。

總結(jié)：解決這道題容易陷入誤區(qū)，因?yàn)槲覀兯季S習(xí)慣從題設(shè)條件直接走到所求問(wèn)題，中間角度距離的轉(zhuǎn)化一旦混淆不清就會(huì)出錯(cuò).但是回過(guò)頭來(lái)看如果我們是反向出發(fā)，即從所求問(wèn)題出發(fā)，將圈數(shù)首先轉(zhuǎn)化成角度就不會(huì)走入直接將距離帶入運(yùn)算的誤區(qū).另外，通過(guò)將問(wèn)題延伸，拓展思考，可以進(jìn)一步思考這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，找到解決這類(lèi)問(wèn)題的有效思考路徑。

通過(guò)上述實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)即使是在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中數(shù)學(xué)問(wèn)題探究往往不是簡(jiǎn)單的答題過(guò)程，而是一個(gè)反復(fù)思考找出規(guī)律結(jié)論的過(guò)程。在這一過(guò)程中，我們從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情景出發(fā)，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，再?gòu)闹邪l(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，這些問(wèn)題步步深入，由此及彼，每提出一問(wèn)或解決一問(wèn)都會(huì)使思維產(chǎn)生一次飛躍， 通過(guò)對(duì)問(wèn)題鏈進(jìn)行多元的、多角度的、多層次的探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)，最終逐漸找出規(guī)律結(jié)論。

雖然分析解決數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究中的一部分，學(xué)科數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題也只是數(shù)學(xué)問(wèn)題中一部分，但是探究這些問(wèn)題的方法過(guò)程其實(shí)是相似統(tǒng)一的。關(guān)鍵是在探究的過(guò)程中提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，充分發(fā)揮創(chuàng)造性的想象力，使得在思考、收獲、再思考、再收獲的探究歷程中有更多的體驗(yàn)與收獲。

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（責(zé)任編輯：梁慧嬋）