數學學科中的數學問題探究

謝楊林

【摘要】本文首先對數學問題和探究的概念加以理解，然后分析解答了一個具體的問題情境，最后概括總結了數學學科中的數學問題探究過程.

【關鍵詞】數學問題;探究

數學問題對我們來講并不陌生，在我們的學習、生活中經常可以遇到，從最初的識數到高等數學建模這些都屬于數學問題，顯然數學問題有一個較寬廣的范圍。但是就數學這門學科來講，數學問題就比較容易劃分。《課標（2011）》給出了“數學”的定義：數學是研究數量關系和空間形式的科學。而問題是指那些要求回答或解釋的題目或者是需要研究討論并加以解決的矛盾、疑難。所以數學問題就是關于數量關系和空間形式的有待回答的題目或者有待解決的疑難。數學題其實也就是數學問題在數學學科中的具體化，實例化。

探究的在辭海中的釋義是“深入探討，反復研究”。而探究在百科的釋義更加具體：探究亦稱發現學習，是指學生在學習情境中通過觀察、閱讀，發現問題，搜集數據，形成解釋，獲得答案并進行交流、檢驗、探究性學習。這兩種釋義雖不盡相同，但都表明了探究是一個過程，是一個通過學習解決疑難不斷進步的過程。

解答數學題是數學學科中數學問題探究的一種主要方式。下面通過一個問題情景來展示數學問題探究的具體過程。

題目：

如圖1，⊙O半徑為R，⊙Q半徑為r，R=2r，且⊙O與⊙Q始終相切，求問：當⊙Q沿⊙O內壁逆時針滾動一周時，⊙Q自轉了幾圈？

思考：當拿到這個問題時，我們大多數人的第一反應是⊙O自轉了兩圈。主要是因為⊙O的半徑是⊙Q半徑的兩倍，所以⊙O的周長為⊙Q周長的兩倍;沿內壁滾動一周，⊙Q需走的路程為它周長的兩倍，所以⊙Q自轉了兩圈。

驗證與求解：通過簡單的實踐操作我們不難發現⊙Q實際只轉動了一周，我們標記⊙Q的一條半徑為QA，在⊙Q滾動一周的過程中觀察QA的轉動情況即可的出⊙Q自轉的圈數。

如圖2，⊙Q沿⊙O內壁逆時針滾動時，QA（同⊙Q）順時針自轉，從位置1到位置2，⊙Q走了四分之一路程同時QA旋轉90°，依此類推，⊙Q走完全程時，QA旋轉了360°，即⊙Q自轉了一圈。

反思：在找到正確的答案之后，我們必然會反思之前的思路是哪里出了問題。不難發現，在之前的思路中我們把距離和角度兩者混淆成一體看待。題目最后是問⊙Q自轉了幾圈，我們知道自轉360°為一圈，所以應該根據⊙Q自轉的角度來求出⊙Q自轉了多少圈，而不是簡單地把路程距離關系直接看成最終結果。

延伸：

在此基礎上，進一步思考，如果⊙Q沿⊙O外壁滾動一周（如圖3所示），⊙Q自轉了幾圈？

思考：在有了前面的經驗之后，再解這道題就有了一定經驗，知道需要先求出⊙Q自轉的角度進而求出⊙Q自轉的圈數。

求解：如圖4，標記⊙Q內一條半徑為QA，觀察⊙Q滾動時QA轉動的角度，從位置1到位置2⊙Q走了四分之一的路程，QA轉動了270°，所以⊙Q走完全程時，QA轉動了270°×4（即1080°），這時⊙Q總共轉動了1080°÷360°（即3）圈。

總結：解決這道題容易陷入誤區，因為我們思維習慣從題設條件直接走到所求問題，中間角度距離的轉化一旦混淆不清就會出錯.但是回過頭來看如果我們是反向出發，即從所求問題出發，將圈數首先轉化成角度就不會走入直接將距離帶入運算的誤區.另外，通過將問題延伸，拓展思考，可以進一步思考這類問題的實質，找到解決這類問題的有效思考路徑。

通過上述實例可以發現即使是在數學這門學科中數學問題探究往往不是簡單的答題過程，而是一個反復思考找出規律結論的過程。在這一過程中，我們從一個數學問題情景出發，分析問題，解決問題，再從中發現問題，提出問題，這些問題步步深入，由此及彼，每提出一問或解決一問都會使思維產生一次飛躍， 通過對問題鏈進行多元的、多角度的、多層次的探索、學習和發現，最終逐漸找出規律結論。

雖然分析解決數學題是數學學科中的數學問題探究中的一部分，學科數學中的數學問題也只是數學問題中一部分，但是探究這些問題的方法過程其實是相似統一的。關鍵是在探究的過程中提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊的問題，充分發揮創造性的想象力，使得在思考、收獲、再思考、再收獲的探究歷程中有更多的體驗與收獲。

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（責任編輯：梁慧嬋）