電磁波的多普勒效應公式推導及應用

丁佐建

（常州市第一中學，江蘇 常州 213000）

電磁波多普勒效應是高中物理競賽中的難點.在許多文獻中，有關電磁波多普勒效應公式的推導過程和表達形式大量使用了向量、矩陣、復數等數學工具，遠遠超出了中學生認知和理解的范疇，因此給出基于高中學生知識和能力基礎上的相關推導很有必要.

本文應用狹義相對論時間變換，簡潔明了地推導出電磁波多普勒效應公式，大大降低了理解的難度.呈文如下供參考.

1 巧推公式

與機械波不同的是，電磁波（光波）波速對一切慣性參考系是確定不變的，電磁波的多普勒效應只取決于波源和觀察者之間的相對運動速度v，而不必區分是波源運動還是觀察者運動，因此電磁波的多普勒效應公式一定與機械波多普勒效應公式不同，不可照搬機械波的多普勒效應公式.

如圖1，在0時刻，電磁波（光波）源S相對觀察者E的相對位置如圖，波源S以速度v相對E運動，速度矢量v與位置矢量r的夾角為α，研究產生一個完整波形的過程，對波源參考系而言時間為波源周期T0（T0→0），在觀察者參考系中時間為t，由相對論時間變換得

圖1

在觀察者參考系中，波源S運動了距離（vt）（vt→0）到達S′，此時S′相對E的位置矢量r′.

2 特例討論

通常v?c，由上可以看出，在同等相對速度大小的情況下，橫向相對運動引起的多普勒效應的頻率差遠小于縱向相對運動的多普勒效應頻率差，在中學物理階段一般不考慮橫向相對運動引起的多普勒效應.

3 奇思妙解

例題.（第32屆全國中學生物理競賽復賽）如圖2，飛機在距水平地面（xz平面）等高的航線KA（沿x正方向）上，以大小為v（v遠小于真空中的光速c）的速度勻速飛行；機載雷達天線持續向航線正右側地面上的被測固定目標P點（其x坐標為xP）發射扇形無線電波束（扇形的角平分線與航線垂直），波束平面與水平地面交于線段BC（BC隨著飛機移動，且在測量時應覆蓋被測目標P點），取K點在地面的正投影O為坐標原點.已知BC與航線KA的距離為R.天線發出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為f0.已知機載雷達天線經過A點（其x坐標為xA）及此后朝P點相繼發出無線電波信號，由P反射后又被機載雷達天線接收到，求接收到的回波信號的頻率與發出信號的頻率之差（頻移）.

圖2

解析：這是一道有相當難度的電磁波多普勒效應試題.命題組從波動理論出發給出了長達數頁的解答過程，［1］即使是優秀的競賽考生也難以在有限的考試時間內按照命題組的思路做出完整而正確的解答（為節約版面在此不做呈現）.如果采用上述電磁波多普勒效應公式，則能思路清晰、過程精干地快速解答.

如圖3，在KBC平面內，電磁波從A點發射到達P點，P點看作觀察者，所以P點接受到的電磁波的頻率為

圖3

電磁波P點反射到飛機接受，P點看作電磁波波源，飛機接受的電磁波頻率為

4 小結與反思

簡潔而美妙的邏輯過程和解題方法能有效地提升學生的高階思維能力、激發探索熱情，但命題組的參考答案為什么長達數頁呢？原因是命題組從波動原理出發，將電磁波多普勒效應用經典物理方法重新演繹了一遍，但冗長的過程和復雜的近似運算大大弱化物理思想、物理結論的呈現，干擾了學生對物理思想和物理方法的深入思考.

將電磁波多普勒效應公式的推導放在“相對論”教學之后，并有意識地與機械波的多普勒效應進行對比，就會大大降低學生理解的難度，對公式的推導有了透徹的理解，這個公式就會成為解決此類問題的利器.