由平方反比力引入等效勢能巧解競賽題

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500）

1 利用等效萬有引力與等效引力勢能

兩個或多個質點通過萬有引力相互作用，只要推導出其中一個質點受到萬有引力的合力的表達式，即可寫出等效引力勢能的表達式或者等效總能量的表達式.

例1.如圖1所示，宇宙中有4個可看成質點的質量為m的恒星，它們穩定地組成了一個邊長為L的正方形，求星體做勻速圓周運動的速度.

圖1

解法1.由向心力公式和牛頓第二定律列方程［1］

每個星球受到其余三星萬有引力的合力大小為

點評：解題關鍵是推導每個星球受到的萬有引力合力大小的表達式，并且指明方向，判斷力心不動.

解法2.由機械能公式和機械能守恒定律列方程

點評：解題關鍵是推導合力與半徑的關系式并設置等效質量M，再利用平方反比力的關系式得出等效勢能的關系式以及勻速圓周運動對應的等效機械能的關系式.要注意系統具有的引力勢能、每個星球在系統中具有的引力勢能以及每個星球在系統中具有的等效引力勢能的區別和聯系.位于正方形四個頂點的星球系統具有的引力勢能等于系統內任意兩個星球的引力勢能的代數和，即

由此可見，對稱系統具有的引力勢能等于各星球具有的引力勢能之和的一半，每個星球在質心參考系中具有的等效引力勢能等于每個星球在系統中具有的引力勢能的一半.

2 利用等效庫侖力與等效電勢能

兩個或多個帶電質點通過庫侖力相互作用，只要推導出其中一個質點受力的表達式，即可寫出等效電勢能的表達式或者等效總能量的表達式.

例2.如圖2所示，兩個質點的質量分別為m和M，帶相等的正電荷q，相距為l，處在勻強電場內，場強大小為E，方向從質點m指向M.兩個質點的初速度均為0，求它們在后續運動過程中距離的最大值.假設質點一直沿直線運動，不計萬有引力.

圖2

解法1：利用勢能曲線以及對勾函數的性質

分析質點m和M的受力情況如圖3所示.［2］

圖3

若以質點M為參考系，則質點m受到慣性力的大小為F′=maM，方向水平向左.

在質點M參考系中分析質點m的受力情況如圖4所示.以向左為正方向，設距離變量為r，則質點m受到的合力大小為

圖4

圖5

圖6

點評：解題關鍵是推導質點m在非慣性系中的受力關系式，并且寫出等效勢能的表達式，以利用勢能曲線來分析勢能的極值條件，從而得到所求結果.值得注意的是，在利用圖像法解題時，需靈活應用對勾函數的一些性質，包括圖像的形狀、函數取最小值的條件以及某一函數值對應的共軛點方程x1·x2=x02.

解法2：利用運動轉折點的特點以及求根公式

由于相對直線運動距離存在最大值，則相對運動存在轉折點，由于在轉折點的相對速度為0，則系統的勢能最大，等于開始時的總能量，因此轉折點對應的最大距離滿足方程U（r）=E=U（l），其中

點評：解題關鍵是推導系統的等效勢能的表達式，以便利用直線運動轉折點的特點列方程，由此得到關于距離的一元二次方程，利用求根公式求極值.在解方程的過程中，為了便于書寫和運算，需多次設置不同的參量符號；在求極值時，需把判別式的平方根與作用力的絕對值進行聯系，以便進行分類討論.

綜上可見，兩道物理競賽題都屬于平方反比力的問題，在解答過程中都需推導系統中一個質點受到合力的表達式，以便得出等效勢能的表達式以及等效總能量的表達式，即可從能量的角度使問題迎刃而解.值得注意的是，若幾個質點構成相互作用的系統是對稱的，則系統的質心靜止不動，那么各質點繞系統的質心做圓周運動或橢圓運動，只需以質心為參考點；若系統由兩個相互作用的自由質點構成，則需選擇一個質點為參考系，引入慣性力，在此基礎上推導另一個質點受到的合力，由此得出等效勢能的表達式.通過引入等效勢能，即可應用能量守恒定律列方程，或者利用勢能曲線求極值，或者根據直線運動轉折點的特點列方程，利用求根公式求極值.