用Mathematica軟件探究大小恒定有心力作用下物體的運動

呂俊君

（九江市同文中學，江西 九江 332000）

題.如圖1所示，質量為m的物體被經過光滑小孔的輕繩牽引，在光滑水平面做勻速圓周運動.拉力為F時轉動半徑為R，當拉力增大為6F時，物體仍做勻速圓周運動，此時半徑為，則拉力對物體做的功為

圖1 原題圖

從解析推知命題者的意圖是考查“圓周運動”和“動能定理”，看似無懈可擊.但筆者對該題的情境提出質疑：“拉力從F增加到6F后，物體真的做半徑為的圓周運動嗎？這一情境是否真實？如果不是圓周運動，物體在什么范圍內運動呢？軌跡又是什么形狀？”針對這些問題筆者進行了探究.

1 建立平面極坐標系探究物體的運動范圍

如果運動質點所受的力的作用線始終通過某一個定點，我們就說這個質點所受的力是有心力，而這個定點則叫做力心［1］.在該題情境中，無論拉力大小如何變化，拉力的方向始終指向定點（即光滑小孔），所以物體受到的力為有心力，在平面極坐標系下研究比較方便.

如圖2所示建立平面極坐標系，取小孔為極點O，物體做曲線運動到A點時，位矢為r.i為沿位矢方向的單位矢量，j為垂直位矢方向的單位矢量，將速度v分解成i和j方向的兩個分量，有

圖2

在方程（7）中，有心力為引力時F（r）取負值，為斥力時F（r）取正值.原題情境中，物體在拉力F作用下做半徑為R的圓周運動，初始條件為

2 物體的軌道微分方程

通過前面的探究已經得到了物體的運動范圍，但物體的運動軌跡究竟是什么形狀？我們還需要獲得r，θ的關系式，即軌道方程，并在極坐標下作出物體的運動軌跡.

（16）式正是所求的軌道微分方程，叫做比耐公式.在原題情境中，F（r）為引力，取F（r）=-6F，并將（10）式代入（16）式得到物體的軌道微分方程為

3 用Mathematica軟件探究物體的運動軌跡

物體軌跡的微分方程是變系數常微分方程，［2］十分復雜，沒有辦法獲得其解析解.但我們可以借助Mathematica軟件對其進行數值求解.為了計算方便，取半徑R=1 m進行分析，代入（18）式得

打開 Mathematica軟件，新建文檔，對方程（19）求數值解，輸入如下命令：

其中NDSolveValue表示求數值解，PolarPlot表示繪出極坐標圖，｛x，0，2Pi｝表示極角的范圍，這里表示的是0-2π.如果要研究0-4π，則將命令行改為｛x，0，4Pi｝.隨后框選命令行內容，選擇“計算單元”，即可作出運動軌跡圖像.

筆者分別在極角為0-2π，0-4π，0-8π，0-100π這四種情況下作出物體的運動軌跡，如圖3、圖4、圖5、圖6所示.

圖3 極角0-2π范圍內運動軌跡

圖4 極角0-4π范圍內運動軌跡

圖5 極角0-8π范圍內運動軌跡

圖6 極角0-100π范圍內運動軌跡

從圖中發現，物體轉動1圈過程中，軌跡顯然不是圓形，且不能回到出發點，只能回到距離極點大約0.5 m的位置；當物體轉了2圈時，依舊無法回到出發點，運動軌跡看似凌亂，無規律可循；當物體轉了4圈時，逐漸顯示出運動的范圍以及運動的往復性；當物體轉了50圈時，能夠明顯看出物體在一定范圍內做往復運動.我們通過Mathematica軟件獲取坐標的功能得知距離極點的最近距離約為0.333，最遠距離為1.00，印證了本文第1節中“物體在距離極點與R的范圍之間做曲線運動”這一結論.

4 結論

通過極坐標系下的定量計算和Mathematica軟件作出運動軌跡，我們得出結論：“原題中拉力變為6F后物體做半徑為的圓周運動這一條件不符合實際情境.事實上物體在距離極點與R范圍內做往復的曲線運動，拉力6F時而做正功，時而做負功.故原題的情境創設和問題設計均不合理.”

在命制試題的過程中，應該保證情境的真實性與可靠性，條件之間也應該彼此自洽，不能為了刻意考查某個知識點而隨意編造.