DIS實(shí)驗(yàn)中將平均速度視為瞬時(shí)速度時(shí)極短時(shí)間或位移該取多短？

周 喻

（上海市進(jìn)才中學(xué)，上海 200135）

1 問題的提出

關(guān)于瞬時(shí)速度，人教版教材中這樣來(lái)描述：“一般來(lái)說，物體在某一段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)的快慢通常是變化的.所以，由Δx／Δt求得的速度v，表示的是物體在時(shí)間Δt內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，叫做平均速度.平均速度只能粗略描述運(yùn)動(dòng)的快慢，為了描述更加精確些，可以設(shè)想，是由時(shí)刻t到t+Δt一小段時(shí)間內(nèi)的平均速度來(lái)代替時(shí)刻t物體的速度，如果Δt取得小一些，物體在Δt這樣一個(gè)較小的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異就不會(huì)太大.Δt越小，運(yùn)動(dòng)快慢的差異越小，當(dāng)Δt非常非常小時(shí)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異可以忽略不計(jì)，此時(shí)，我們就把Δx／Δt叫做物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.”［1］瞬時(shí)速度的概念運(yùn)用到了無(wú)限逼近的方法，數(shù)學(xué)上稱為極限.

在“瞬時(shí)速度”的概念教學(xué)中，學(xué)生存在這樣的困惑：多短的時(shí)間算是“非常非常小”的時(shí)間間隔？多短的位移算是極短的位移？

教師在教學(xué)過程中，常常利用s-t圖像來(lái)獲得某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度，當(dāng)時(shí)間間隔取得很短時(shí)，我們認(rèn)為這段時(shí)間內(nèi)的平均速度約為某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么很短的時(shí)間間隔該取多短合適？在DIS實(shí)驗(yàn)中，我們還常常通過光電門傳感器來(lái)得到擋光時(shí)間.當(dāng)擋光片的寬度較小時(shí)，光電門傳感器測(cè)得的平均速度近似認(rèn)為是擋光片前邊沿通過擋光孔時(shí)的瞬時(shí)速度，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的擋光片配置有8 cm、6 cm、4 cm、2 cm，相比而言2 cm的擋光片寬度我們認(rèn)為已經(jīng)很短，為何2 cm擋光片就可以認(rèn)為是很短的位移，依據(jù)是什么？

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

針對(duì)教師和學(xué)生在平時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)中面臨的困惑，本文設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)開展探究，實(shí)驗(yàn)中采用的均為DIS8.0實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)和器材.

2.1 用位移傳感器研究物體的運(yùn)動(dòng)

將一輛小車從傾斜的斜面靜止釋放，利用位移傳感器得到物體運(yùn)動(dòng)的s-t圖像，并利用s-t圖像得到t0=0.8 s時(shí)的速度（如圖1）.請(qǐng)學(xué)生回答以下問題.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

（1）在s-t圖像中，由t0=0.8 s向右取不同的時(shí)間間隔，得到不同的平均速度數(shù)據(jù).請(qǐng)將此數(shù)據(jù)做成表格，觀察表格中數(shù)據(jù)，當(dāng)時(shí)間間隔Δt減小時(shí)，平均速度有何變化規(guī)律？

（2）為何平均速度會(huì)出現(xiàn)這樣的變化規(guī)律？

（3）在縮短時(shí)間間隔時(shí)，你所取的時(shí)間間隔能否一直減小？是否存在最小值？

（4）談一談利用s-t圖像得到t0=0.8 s時(shí)的瞬時(shí)速度，極短時(shí)間取多短合適？

圖2是實(shí)驗(yàn)得到的s-t圖像，表1為不同時(shí)間間隔Δt所對(duì)應(yīng)的平均速度.

表1 不同時(shí)間間隔Δt所對(duì)應(yīng)的平均速度

圖2 利用s-t圖像計(jì)算平均速度

問題（1）：學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)間間隔Δt減小，平均速度在減小.

問題（2）：通過s-t圖和實(shí)際情境，學(xué)生明確物體做加速運(yùn)動(dòng)，因此時(shí)間間隔越短，所求的平均速度越接近t0=0.8 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，因此計(jì)算得到的平均速度也就越小.

問題（3）：在s-t圖像中我們不斷縮小時(shí)間間隔，經(jīng)過學(xué)生的實(shí)踐探索，發(fā)現(xiàn)利用位移傳感器得到的s-t圖在時(shí)間間隔的選取中存在最小值.當(dāng)t=0.02 s后，盡管再次縮短兩個(gè)時(shí)刻的間距，而界面的數(shù)據(jù)將不再改變.這是由位移傳感器的時(shí)間精度決定的，根據(jù)位移傳感器的原理可知，位移傳感器發(fā)射脈沖波，通過測(cè)量時(shí)間來(lái)計(jì)算發(fā)射器和接收器之間的距離.由于脈沖時(shí)間差為0.02 s，因此位移傳感器的時(shí)間精度為0.02 s.當(dāng)時(shí)間間隔小于儀器的測(cè)量精度時(shí)，由于沒有時(shí)間數(shù)據(jù)，因此界面的數(shù)據(jù)不再改變.

問題（4）：當(dāng)取t=0.02 s時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度為t0=0.8 s時(shí)的瞬時(shí)速度，那么根據(jù)相對(duì)誤差公式，數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 取不同時(shí)間間隔時(shí)的平均速度及相對(duì)誤差

由相對(duì)誤差分析可知，在s-t圖中，時(shí)間間隔的選擇應(yīng)該取到最短的0.02 s較為合適.即t0=0.8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為0.196 m／s.

結(jié)論：測(cè)量?jī)x器位移傳感器的時(shí)間精度是我們選擇極短時(shí)間的主要影響因素.受制于位移傳感器的時(shí)間精度，在利用s-t圖像得到瞬時(shí)速度的極短時(shí)間選擇上，取0.02 s為宜.

2.2 用光電門傳感器研究物體的運(yùn)動(dòng)

將一輛小車從傾斜的斜面靜止釋放，利用光電門傳感器得到擋光片的擋光時(shí)間，減小擋光片的寬度，所求的平均速度將趨近瞬時(shí)速度（如圖3-4）.請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖（1）

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖（2）

（1）為了要測(cè)得擋光片的前端到達(dá)光電門時(shí)的速度，實(shí)驗(yàn)時(shí)每次釋放小車的位置有何要求？

（2）減小擋光片的寬度時(shí)，計(jì)算得到的平均速度如何變化？

（3）平均速度為何會(huì)出現(xiàn)這樣的變化規(guī)律？

（4）當(dāng)釋放小車時(shí)擋光片前端距光電孔的距離為L(zhǎng)1=50 cm和L2=10 cm時(shí)，利用光電門傳感器測(cè)量小車的瞬時(shí)速度，談一談極短位移取多短合適？

問題（1）的設(shè)計(jì)是對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)原理的考查，光電門直接測(cè)量的是擋光時(shí)間，當(dāng)時(shí)間間隔很短時(shí)，得到的平均速度可視為瞬時(shí)速度.由于實(shí)驗(yàn)的目的是測(cè)得擋光片的前端到達(dá)光電門時(shí)的速度，所以實(shí)驗(yàn)每次釋放時(shí)小車的前端位置必須相同.

問題（2）在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過程中，隨著擋光片寬度的減小，平均速度將減小.

問題（3）由于擋光時(shí)間的減小，平均速度越來(lái)越接近擋光片的前端到達(dá)光電門時(shí)的瞬時(shí)速度，由于小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因此越靠近前端的速度，數(shù)值也就越小.

問題（4）通過計(jì)算，學(xué)生測(cè)定L1=50 cm和L2=10 cm時(shí)的數(shù)據(jù)加以對(duì)比，進(jìn)行分析.

以下是利用光電門傳感器得到的數(shù)據(jù)，其中L—擋光片前端距擋光孔的距離，t—擋光時(shí)間，d—擋光片寬度，v平—平均速度，—3組平均速度求平均，δ—相對(duì)誤差.

繪制-t圖像，擬合的線性方程如圖5和圖6所示.根據(jù)極限法，t=0時(shí)的平均速度可近似認(rèn)為擋光片前端到達(dá)光電門的瞬時(shí)速度.［2］因此，當(dāng)L=0.5 m 時(shí)，瞬時(shí)速度為0.9305 m／s；當(dāng)L=0.1 m時(shí)，瞬時(shí)速度為0.4208 m／s.以此計(jì)算出相對(duì)誤差如表3所示.

表3 擋光片前端距擋光孔距離不同時(shí)，不同擋光寬度時(shí)的平均速度及相對(duì)誤差

圖5 L=0.5 m時(shí)的-t圖像

圖6 L=0.1 m時(shí)的-t圖像

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，我們可以看出當(dāng)L較大時(shí)，擋光片的寬度就算取到4 cm，相對(duì)誤差也僅僅是1.84%，因此當(dāng)極短位移取4 cm時(shí)，利用擋光片得到的平均速度已經(jīng)非常接近瞬時(shí)速度；若L取0.1 m時(shí)，盡管擋光片的寬度只取了2 cm，相對(duì)誤差已經(jīng)達(dá)到了6.09%.

結(jié)論1：瞬時(shí)速度的相對(duì)誤差不僅僅與d有關(guān)，還與小車釋放時(shí)擋光片前端距光電孔的距離有關(guān).

那么光電門測(cè)量的速度瞬時(shí)速度相比，相對(duì)誤差與哪些因素有關(guān)呢？理論分析如下.

載著光電門的小車在斜面上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，擋光片前邊沿到達(dá)光電門擋光孔時(shí)的速度

擋光片后邊沿達(dá)到光電門擋光孔時(shí)的速度為

根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，擋光片所測(cè)的平均速度為

當(dāng)d極小時(shí)，，這也是我們利用光電門傳感器測(cè)量瞬時(shí)速度的條件.［3］平均速度替代瞬時(shí)速度引起的相對(duì)誤差為

結(jié)論2：當(dāng)L1=50 cm時(shí)，較好滿足d?L，相對(duì)誤差較小，即實(shí)驗(yàn)測(cè)得的瞬時(shí)速度的值與理論匹配較好.

通過整個(gè)實(shí)驗(yàn)探究的過程，我們得出，擋光片的寬度，即“極短長(zhǎng)度”取多少與我們釋放的位置有關(guān).在L較小時(shí)，我們應(yīng)該選取更窄的擋光片，例如選擇1 cm的擋光片，這樣相對(duì)誤差較小；而間距L較大時(shí)，我們可以選擇較大的擋光片，例如4 cm的擋光片.

3 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合在DIS實(shí)驗(yàn)教學(xué)中利用位移傳感器繪制的s-t圖像及利用光電門傳感器得到的平均速度，若想要將平均速度視為瞬時(shí)速度，極短時(shí)間和極短位移的選擇既要考慮到儀器的測(cè)量精度，同時(shí)還要考慮到影響其精確性的其他相關(guān)因素，例如初始位置時(shí)擋光片前端離擋光孔的距離等.