《幾何畫板》與一次函數(shù)教學(xué)整合的思考與探究

溫玉紅

2020年度河北省教育技術(shù)研究課題《《幾何畫板》如何高效地為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)——信息技術(shù)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)整合的新思考》，課題編號(hào)：hbdj2020031，研究成果。

摘要：不少數(shù)學(xué)專家都有這樣的共識(shí)——“數(shù)學(xué)家用以發(fā)現(xiàn)新思想的方法之一是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)”。而數(shù)學(xué)教學(xué)中不太做實(shí)驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)常被動(dòng)地“聽”數(shù)學(xué)，缺乏對(duì)內(nèi)容的“操作”，造成學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。《幾何畫板》使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為可能，幫助學(xué)生觀察、猜想、歸納，自己發(fā)現(xiàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。本文以《幾何畫板》與一次函數(shù)整合來開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而充分實(shí)現(xiàn)《幾何畫板》為初中數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的目的。

關(guān)鍵詞：《幾何畫板》 一次函數(shù) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)形結(jié)合

一、教學(xué)背景分析

函數(shù)是初中階段學(xué)生理解最難的一部分，也是學(xué)生開始學(xué)習(xí)變化關(guān)系的最重要的基礎(chǔ)，如何讓學(xué)生掌握好函數(shù)，變得十分重要，傳統(tǒng)的教學(xué)模式只能通過老師手繪的函數(shù)圖像來簡(jiǎn)單地認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)。我們的老師往往是通過列表、描點(diǎn)、連線畫出圖象，然后總結(jié)性質(zhì)，這種方式會(huì)讓學(xué)生顯得枯燥無味，同時(shí)，函數(shù)的動(dòng)態(tài)也沒有體現(xiàn)出來，學(xué)生不能夠很好的通過圖象來理解函數(shù)的性質(zhì)。

·地位與作用： 一次函數(shù)是學(xué)生所接觸的第一個(gè)函數(shù)，研究方法具有一般性和代表性。為以后學(xué)習(xí)其他函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

·教學(xué)難點(diǎn)：由一次函數(shù)的圖像歸納得出一次函數(shù)的性質(zhì) 。

·信息技術(shù)的需求：在短時(shí)間內(nèi)畫出大量的函數(shù)圖像？走進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，借助幾何畫板軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

對(duì)于一次函數(shù)的性質(zhì)主要是研究一次函數(shù)中b的變化對(duì)一次函數(shù)圖象的影響以及探究k的正負(fù)對(duì)函數(shù)增減性（圖象的變化趨勢(shì)）的影響。對(duì)于這兩個(gè)性質(zhì)的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷“先特殊化、簡(jiǎn)單化，再一般化、復(fù)雜化”的過程，通過對(duì)圖象的研究和分析函數(shù)自身的性質(zhì)，深刻領(lǐng)會(huì)函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，滲透的是數(shù)形結(jié)合的思想。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）

1.創(chuàng)設(shè)情境? 設(shè)疑引新

數(shù)學(xué)是從問題開始的。每一節(jié)數(shù)學(xué)課成功與否的關(guān)鍵就是問題情境的創(chuàng)設(shè)對(duì)學(xué)生是否有吸引力。

引入：小剛和爸爸比賽跑步，小剛速度為每秒1.5米，爸爸速度為每秒2米。小剛在爸爸前面2米，兩人同時(shí)出發(fā)。

要求：分別寫出兩人距爸爸出發(fā)點(diǎn)的距離y與出發(fā)時(shí)間x的關(guān)系式？

問：爸爸能否追上小剛？

2.實(shí)驗(yàn)探究? 發(fā)現(xiàn)新知

采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法，探究 形式的一次函數(shù)圖像性質(zhì)。

學(xué)生探究：利用幾何畫板軟件繪制函數(shù)圖像，并完成下面表格。要求：分組匯報(bào)研究結(jié)果。

函數(shù) 圖像位置 圖像過哪個(gè)定點(diǎn) 隨 增大 值怎樣變化？

結(jié)論

分組匯報(bào)成果（填表）

學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)：學(xué)生利用幾何畫板當(dāng)中的“定義坐標(biāo)系”和“繪制新函數(shù)”命令輕松地完成函數(shù)圖像的繪制。一組圖像如圖1，二組圖像如圖2。

學(xué)生觀察討論：最終得出下列表格。

函數(shù) 圖像位置 圖像過哪個(gè)定點(diǎn) 隨 增大 值怎樣變化？

一、三象限 原點(diǎn) 增大

一、三象限 原點(diǎn) 增大

一、三象限 原點(diǎn) 增大

一、三象限 原點(diǎn) 增大

一、三象限 原點(diǎn) 增大

結(jié)論 圖像在一、三象限，過原點(diǎn)，隨 值增大， 值增大。

函數(shù) 圖像位置 圖像過哪個(gè)定點(diǎn) 隨 增大 值怎樣變化？

二、四象限 原點(diǎn) 減小

二、四象限 原點(diǎn) 減小

二、四象限 原點(diǎn) 減小

二、四象限 原點(diǎn) 減小

二、四象限 原點(diǎn) 減小

結(jié)論 圖像在二、四象限，過原點(diǎn)，隨 值增大， 值減小。

師生共同小結(jié)形如 的函數(shù)圖像性質(zhì)：

函數(shù) 圖像位置 圖像過哪個(gè)定點(diǎn) 隨 增大 值怎樣變化？

一、三象限 原點(diǎn) 增大

二、四象限 原點(diǎn) 減小

學(xué)生進(jìn)一步探究： 函數(shù)圖像性質(zhì)

學(xué)生所畫圖像如下圖：

學(xué)生總結(jié)：比較圖3和圖4，得出 的一組函數(shù)中， 相同， 不同時(shí)，圖像特點(diǎn)： 相同，圖像傾斜程度相同，是一組平行的直線。

學(xué)生畫圖：利用《幾何畫板》輕松地畫出如下圖像（圖5）

學(xué)生觀察：得知圖5中函數(shù)的共同特點(diǎn)是 不同， 相同，最終得出結(jié)論： 不同的直線相交于 軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為

3.歸納驗(yàn)證? 完善新知

問：那對(duì)于 中任意 和 都有上面的性質(zhì)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生： ，? 要有任意性，可以怎么選取呢？

學(xué)生討論后得出一種思路：在坐標(biāo)系中任選兩點(diǎn) ， ， ， 的值分別為這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值。畫出圖像如圖6所示。

問題1：改變k值，b不變觀察圖像變化規(guī)律？是否符合前面學(xué)生總結(jié)的結(jié)論？

學(xué)生探案：拖動(dòng)左側(cè)圖6中的k點(diǎn)改變k值，b不變，追蹤函數(shù)軌跡，形成右側(cè)圖7所示圖像

根據(jù)圖7學(xué)生完成下表

問題2：改變b值，k不變觀察圖像變化規(guī)律？是否符合前面學(xué)生總結(jié)的結(jié)論？

學(xué)生探究：拖動(dòng)左側(cè)圖6中的b點(diǎn)改變b值，k不變，追蹤函數(shù)軌跡，形成右側(cè)圖8所示圖像

三、四

分析：因?yàn)辄c(diǎn)P按A→B→C→M的順序在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)分類

討論

（1）點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)點(diǎn)P，觀察△AMP面積的變化（如下圖）

（2）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)點(diǎn)P，觀察△AMP面積的變化。（學(xué)生課后進(jìn)一步探究）

（3）點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)點(diǎn)P，觀察△AMP面積的變化。（學(xué)生課后進(jìn)一步探究）

通過此題的探索再次展示了《幾何畫板》開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)：可以在“動(dòng)中取靜，靜中求動(dòng)”。

四、課后反思

在研究一次函數(shù)圖像性質(zhì)時(shí)，我們遵循了從特殊到一般的方法，讓學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而不是代替學(xué)生，強(qiáng)行灌輸學(xué)生新知識(shí)，讓學(xué)生用《幾何畫板》去做實(shí)驗(yàn)，真正感受科學(xué)來自于實(shí)驗(yàn)，結(jié)論是正確的，經(jīng)得起檢驗(yàn)的。在探究過程中培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手能力，團(tuán)結(jié)合作能力，分析問題解決問題能力。讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是記憶前人總結(jié)出來的現(xiàn)成結(jié)論，而是像數(shù)學(xué)家們一樣去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，總結(jié)結(jié)論的過程。真正做學(xué)習(xí)的主人。體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂！

參考文獻(xiàn)：

北京師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)研究所《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》 作者：林君芬、余勝泉