三角形中的新定義面面觀

?山東省鄒平市梁鄒實驗初級中學(xué) 李光大 張婷麗

在學(xué)生掌握三角形基礎(chǔ)知識的前提下，進(jìn)行三角形新定義的探究，不僅能夯實學(xué)生有關(guān)三角形的基本定理和概念，而且能提升學(xué)生運(yùn)用舊知解決新知的能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.三角形中的新定義問題，包括“和諧三角形”問題，“等角點(diǎn)”問題，“友好三角形”問題，“三分線”問題，“特征三角形”問題，等等.以下結(jié)合典例做一做探討.

1 “和諧三角形”問題

初中階段學(xué)過的特殊三角形有直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等，它們都有其特殊的性質(zhì)，且這些三角形因應(yīng)用廣泛而得到推廣.這里的“和諧三角形”是指一邊上的中線恰好等于這條邊的長的三角形.借助“和諧三角形”可考查直角三角形、等腰三角形等的性質(zhì)，以及學(xué)生的知識遷移能力.

例1如果一個三角形有一邊上的中線與這邊的長相等，那么稱這個三角形為“和諧三角形”.

(1)請用直尺和圓規(guī)在圖1中畫一個以線段AB為一邊的“和諧三角形”；

(3)如圖3，已知正方形ABCD的邊長為1，動點(diǎn)M，N從點(diǎn)A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，記點(diǎn)M經(jīng)過的路程為S，當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時，求S的值.

圖1

圖2

圖3

備用圖

解析：(1)如圖4，①作線段AB的中點(diǎn)O，②以點(diǎn)O為圓心，AB長為半徑畫圓，③在圓O上取一點(diǎn)C(點(diǎn)E，F(xiàn)除外)，連接AC，BC.△ABC就是所求作的三角形.

圖4

圖5

(3)易知點(diǎn)M在AB上時，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”；當(dāng)M在BC上時，連接AC交MN于點(diǎn)E.

圖6

圖7

在Rt△AME中，

點(diǎn)評：本題集畫圖、計算、證明、討論于一體，綜合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，其中第(3)問運(yùn)用了方程思想和分類討論思想.

2 “等角點(diǎn)”問題

三角形的內(nèi)心是指三角形三條角平分線的交點(diǎn)，三角形的重心是指三條中線的交點(diǎn)，三角形的外心是指三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的垂心是三條高的交點(diǎn)，三角形的旁心是兩條外角平分線與一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它們都是三角形的一些特殊的點(diǎn)，因具有特殊的性質(zhì)而得到推廣.而三角形的的“等角點(diǎn)”是指連接此點(diǎn)與各頂點(diǎn)，所得的三個三角形中有一個三角形與原三角形的三個內(nèi)角分別相等.當(dāng)“等角點(diǎn)”與三角形的其他點(diǎn)重合時，會有什么情況發(fā)生呢？

例2概念學(xué)習(xí)：如圖8，已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形，其內(nèi)角與△ABC的三個內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).

(1)理解應(yīng)用：根據(jù)已學(xué)過的知識，下面兩個命題是真命題還是假命題？并把判斷結(jié)果寫在后面橫線上.

①內(nèi)角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點(diǎn)..

②任意的三角形都存在等角點(diǎn)..

圖8

圖9

(2)解決問題：如圖9，在△ABC中，∠BAC<∠ABC<∠ACB，點(diǎn)P為△ABC的三個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P是等角點(diǎn)時，求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù).

解析：(1)①作內(nèi)角分別30°,60°,90°的三角形斜邊的中線，此中線的中點(diǎn)就是等角點(diǎn)，故為真命題；②在等邊三角形中就找不出一點(diǎn)能成為等角點(diǎn)，所以它是假命題，故答案為：真；假.

點(diǎn)評：定義一個新概念，往往都要與舊圖形、舊知識聯(lián)系.本題中的等角點(diǎn)就與直角三角形、等邊三角形、三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)角和、角平分線聯(lián)系.一方面是因為任何事物都不可能孤立地存在，只有與其他事物聯(lián)系才有意義；另一方面也是為了考查學(xué)生對舊知識的掌握情況.

3 “三分線”問題

三角形的一條中線把這個三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的面積是相等的；三角形一條角平分線分對邊所成兩條線段的比等于角的兩邊的比；直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形.這些都是三角形內(nèi)特殊的線段.那么，在三角形內(nèi)畫兩條線段，能否把一個三角形分成三個等腰三角形呢？

例3教材的習(xí)題中有這樣的一道題，有一個等腰三角形，它的頂角是36°，把這樣的三角形紙片只剪兩下，于是得到三個三角形，如何才能使每個三角形都是等腰三角形呢？請畫出剪切線，你有多少種方法呢？圖10是一個示例.

定義：如果兩條線段將一個三角形分成三個等腰三角形，則把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

圖10

圖11

(1)如圖11是兩個等腰三角形，它們的頂角都是45°，請用不同的方法分別畫出這兩個三角形的三分線，并求出分得的每個等腰三角形頂角的度數(shù).

(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值.

4 引申變式

引申：如圖14，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在邊BC上滑動，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E滑動到某處時，點(diǎn)F恰好落在直線y=-2x+6上，求此時點(diǎn)F的坐標(biāo).

圖14

圖15

變式如圖15，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠AEF=60°，且EF交直線CD于點(diǎn)F.

(1)求證：AE=EF.

(2)你還能設(shè)計出怎樣的問題？并嘗試解答.

5 結(jié)語

幾何是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，書本上的例題、習(xí)題都是精心篩選出來的典型題目，教學(xué)時需要用好教材又要高于教材，注重習(xí)題的變式，挖掘其蘊(yùn)涵的深層的功效，運(yùn)用多種思維方法，讓學(xué)生感悟知識結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，既能鞏固基本知識、基本模型，掌握知識的本質(zhì)觸類旁通，又能在基礎(chǔ)知識上進(jìn)行拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性，真正提升學(xué)生思維品質(zhì).