整式概念學習中常見錯誤例析

?湖南省長沙市特殊教育學校 陳賽蘭

整式分為單項式與多項式，對單項式與多項式的有關概念，教材中都作了嚴格的界定.但由于學生對概念的內涵理解不透徹、不到位，導致做題時出錯；抑或對概念的外延所包含的特殊對象了解不夠，認識不足，導致做題時出錯.以下筆者結合實例，作一分析！

1 在區分單項式和多項式時出錯

單項式與多項式只有一字之差，但意義卻完全不同.單項式是數與字母的乘積組成的代數式，它包括三種類型：單獨的數字；單獨的字母；數與字母的乘積.單獨的數字可以看作字母指數為0的單項式，單獨的字母可以看作系數是1或-1的單項式.當整式里的單項式不止一個時，這時的整式就稱為多項式，多項式實際上是多個單項式的組合體.

錯解：單項式有②⑥；多項式有③⑤.

正解：單項式的有①④⑥；多項式的有②③.

例2下列判斷錯誤的是( ).

B.2 020是單項式

C.-a不是單項式

錯解：AD.

正解：C.

評注：正確理解單項式與多項式的概念是解決問題的前提條件.在區分單項式與多項式時，應著重觀察整式中是否含有加號或減號，若含有則是多項式，若沒有則是單項式.

2 在確定單項式的系數和次數時出錯

在合并同類項時，參與運算的是幾個同類項的系數，不變的是字母與字母的指數.而同類項也是單項式，所以確定單項式的系數很重要，它是正確合并同類項的前提.單項式的次數是單項式的一個重要特征，其對于多項式次數的確定至關重要.

錯解：①4；②6.

例4已知(m-3)x3y|m|+1是關于x，y的七次單項式，則m2-2m+2=.

錯解：5或17.

剖析：單獨的一個數也是單項式，如數0，它的系數是0，次數也是0；15，它的系數是15，次數是0.既然例4中的單項式的次數不是0，那么就必須保證字母的存在.保證字母存在需要滿足單項式的系數不能為0，并且所有字母的指數和不為0.根據題意，可得3+|m|+1=7且m-3≠0，解得m=-3.所以m2-2m+2=9+6+2=17．

正解：17.

評注：在確定單項式的系數時，先要把式子寫成乘積的形式，然后再找數字因數；在確定單項式的次數時，只關注其中的字母，然后把字母的指數相加即可.

3 在確定多項式的項時出錯

多項式的項是指其中的每一個單項式，弄清多項式里的每一項尤為重要.在進行多項式的升降排列時，需要對多項式的某些項重新調整位置，只有理清了每一項，才不會出錯；在整式的加減運算中，去括號及合并同類項，都需要變動其中某一項的位置，這也要求學生知道多項式的每一項.

例5多項式2a-3a2b3+4ab2-16的最高次項是，常數項是.

錯解：最高次項是5,常數項是16.

剖析：多項式的項是指多項式中的每一個單項式，每個單項式都包括它系數的正負號，所以例5中的多項式的最高次項是-3a2b3，而5是最高次項的次數.常數項是-16，不能丟掉它前面的符號.

正解：最高次項是-3a2b3，常數項是-16.

例6關于多項式-x3y+xy-7，下列說法錯誤的是( ).

A．是四次三項式 B．最高次項系數是-1

C．不含二次項 D．常數項是-7

錯解：AD.

剖析：多項式的項是指多項式中的每一個單項式，每個單項式都包括它系數的正負號.所以例6中的多項式由三項組成，分別是-x3y，+xy，-7.其中-x3y是最高次項，它的系數是-1，次數是4；+xy是二次項，系數是+1，次數是2；-7是常數項.

正解：C.

評注：注意“最高次項”“最高次項的次數”“最高次項的系數”這幾個名詞的不同,它們主語分別是“項”“次數”“系數”，前面的文字是主語修飾詞.雖然研究的是同一項，但所關注的要素不同.

4 在確定多項式的次數時出錯

多項式的次數是指在多項式中，比較各單項式項的次數，將次數最高的項的次數作為多項式的次數.多項式的次數是多項式的重要內容，當我們說某個多項式是幾次幾項式時，首先要確定它的次數；在確定整式方程是幾次方程時，實際上也是依據多項式次數的概念進行定義的.

例7若m，n均為自然數，且m

錯解：n=4.

剖析：π是圓周率，是一個常數，所以-πn+2也是一個常數.多項式中常數項因為不含字母，所以它的次數為0，從而常數項的次數最低.因為m

正解：n=5.

例8已知關于x，y的多項式x4+(m+2)xny-xy2+3．

(1)當m，n為何值時，它是五次四項式？

(2)當m，n為何值時，它是四次三項式？

錯解：(1)n=4，m為任意實數；(2)m，n均為任意實數.

剖析：(1)多項式x4+(m+2)xny-xy2+3中，第一、二、三、四項的次數分別是4，(n+1)，3，0，要使這個多項式的次數為5，則n+1=5，解得n=4.但是第二項的系數是m+2，當它為0時，則不合題意，因此m+2≠0，即m≠-2.(2)要把原來的四項式變為三項式，必須讓其中的一項為0，觀察多項式可以發現，第一、三、四項都不可能為0，只有第二項有這個條件，因為它的系數是m+2.因此，當m+2=0時，即m=-2，多項式變為三項式，此時n為任意實數.

正解：(1)n=4，m≠-2.

(2)m=-2，n為任意實數.

評注：在確定多項式的次數時，只觀察含字母的項，在含字母的項中，次數最高的項的次數就是所求多項式的次數.特別注意的是“π”也表示一個數，只不過它是我們將來要學習的無理數.它不是字母.

“人非圣賢，孰能無過”！在新知識的學習過程中，由于學生對問題的認識角度及側重點不同，因此犯一些錯誤也是正常的.隨著錯誤的糾正，學生對知識的認識會更加深刻，同時，也提高了自身的思辨能力.人生不就是在不斷的犯錯糾錯中成長起來的嗎？