聚焦基本圖形 滲透一般觀念

?太湖縣實驗中學 周陽明

平面幾何是初中生學習數學的一大障礙，對于幾何題，學生們普遍感覺是難、很難.尤其是圖形繁雜一點的幾何題，那更是霧里看花，大海里撈針，無從下手，沒思路.對此，筆者結合自身教學實踐及參加市級課題“一般觀念引領下的中學數學幾何教學研究”所學理論對這類現象略作出分析思考，認為幾何教學要關注基本圖形，滲透一般觀念，幫助學生提高解題能力.一家之言，以期拋磚引玉.

1 基本圖形的意義及分類

基本圖形指的是蘊含了一些特定性質和應用條件的幾何圖形，它是構成幾何圖形的細胞，一個個這樣的細胞通過疊加或者刪減線段構成了靈動優美的平面幾何圖形.在解決幾何題時如果能發現、聚焦幾何圖形就能加深對題中數量關系及位置關系的理解，從而快速發現解題思路.離開基本圖形去討論幾何題的解法無異于緣木求魚，學生只能機械地得到一些解題經驗，而不能得到科學的解題方法.

初中幾何中常見的基本圖形有30多個，例如與平行線有關的“三線八角”、等腰三角形、直角三角形斜邊上的中線、全等三角形、相似三角形、特殊角三角形、垂徑定理等.

2 基本圖形的應用

如何聚焦基本圖形呢？首先要明確每個基本圖形的應用條件和具體結論，然后根據題目的條件找出圖中的基本圖形，此過程中可能要添加輔助線補充出基本圖形.教師在平時的日常教學中要有追求直觀的意識，培養學生從復雜圖形中找出基本圖形，分離式補全基本圖形以及應用基本圖形性質的能力.下面結合教學中的一個案例來進行分析.

例題如圖1，△ABC中，AB=AC，點D，E，G分別為線段BC，AD，AC的中點，DF⊥BE交BC于點F.求證：FG=DG.

圖1

與中點有關的基本圖形有三角形的中線、三角形的中位線、三角形的重心、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線、平行四邊形的對角線、直徑已知的圓、垂徑分弦、線段的垂直平分線等.

2.1 從已知圖形中找出基本圖形

分析：由∠DFE=90°，需證FG=DG，可聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一基本圖形，從而延長FE和DG交于點H(如圖2)，連接EG.利用三角形的中位線和相似三角形里的“A字型”這兩個基本圖形來證明G為DH的中點，從而證出FG=DG.

圖2

2.2 從結論出發聯想構造基本圖形

分析：從線段的垂直平分線出發尋找思路.因為要證FG=DG，只要證明點G在線段DF的中垂線上.如圖3，過點G作GN⊥DF交BC于點M，垂足為N.于是四邊形EGMB是平行四邊形，則2EG=2BM=BD.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半或平行線等分線段知FN=DN，故點N是線段DF的中點，從而得證.

圖3

2.3 利用圖形中的點或者線段聯想基本圖形

分析：由中點加直角聯想到基本圖形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(已知直徑的圓)，由此出發尋找解題思路.本題中的已知條件出現了AB=AC，點D為BC的中點，所以可以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質，從而得到∠ADC=90°.這是本題中的第一個基本圖形.

圖4

證法3：如圖4，連接AF，CF.

因為DF⊥BE，所以∠BFD=∠DFE=90°，則∠CFD+∠CFE=90°.

故FG=DG.

通過例1的分析，可以發現這一道復雜的幾何題實際上就是由幾個基本圖形組成的，分別找到這幾個基本圖形，把它們分離或補充出來，再根據這些基本圖形的性質，經過簡單推理就能得出結論.從教學實際看，學生在掌握聚焦基本圖形這一分析方法后能觸類旁通，發展一般觀念，掌握幾何問題的分析思考方法，能一看就明白，一想就出來，充分體會到數學的邏輯美、嚴謹美和成功的喜悅.

3 幾點思考

3.1 教學中要重視基本圖形

基本圖形對學生學好幾何、提高解題能力有著舉足輕重的作用.教師在日常教學中要引導學生認識基本圖形，幫助學生理解基本圖形的應用條件和性質；要精心設計例題，對課本中的例題進行合理變式，幫助學生掌握基本圖形的性質，獲得基本的數學經驗；不能一味地趕進度，或者覺得知識簡單、學生應該容易懂就一帶而過，然后光注重刷難題；要重心下移，注重夯實基礎，反復打磨，對于體現通性通法的的好題要舍得下功夫.

3.2 聚焦基本圖形，重視幾何直觀，體會思想方法貫通

大多數情況下，學生解決幾何問題都是看出來的，而不是證出來的.這就說明學生解決幾何問題更傾向于直觀想象，靠的是直覺.因此，教師在日常教學中要有重視學生直觀思維能力的意識，要注重對學生幾何直觀能力的培養，著重培養學生“看”的能力：能從已知條件和已知圖形中發現基本圖形，分離基本圖形；從結論、特殊點或線段聯想基本圖形，聚焦基本圖形并對圖形進行邏輯推理、模型應用.同時，還要注重引導學生體會數學思想方法，并內化解題經驗，優化自己的數學知識結構，從而提高學生幾何構圖能力和解題能力，真正做到看得出、想得明白.

3.3 重視一般觀念，發展核心素養

一般觀念是指在不同問題或者同一類問題中存在的相同規律和思想方法，它是學生思維能力的一個指標特征.而數學教學的一個重要任務就是在傳授知識的同時，讓學生的思維能力得到提高與發展.日常教學中應當從頭到尾將學生思維能力的培養與發展放在重中之重的地位.因此，由一般觀念出發，發展學生思維能力就是發展學生數學核心素養，而解決初中幾何問題又是提高學生數學素養的一個重要途徑，它是在“看”和“想”的過程中逐步積累的.這就要求我們的數學教學應根據具體的教學內容，從圖形出發，分離或補充出基本圖形，設置合適的階梯問題，逐步引導，讓不同層次的學生都能積極參與進來，引發學生思考與交流.問題的解決是學生經歷從不同角度尋求分析問題、解決問題的方法的過程，體會數學的思想美和思維美，掌握分析解決一類問題的一般觀念.同時，教學中還要引導學生學會多視角、多層次地思考問題，通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”“逆向求解”等激發學生學習數學的興趣，體會不同問題之間蘊含的共同特征、一般規律，發展學生不同方面的思維能力，形成和發展學生的數學核心素養.