幾何條件梳理，思路突破探究
——以2021年蘇州市中考幾何綜合題為例

?蘇州高新區實驗初級中學 張 玲

1 考題再現

考題(2021年蘇州市中考數學試卷第28題)如圖1所示，在矩形ABCD中，線段EF，GH分別平行于AD，AB，它們相交于點P，點P1，P2分別在線段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，連接P1H，P2F，P1H與P2F相交于點Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2.設AG=a，AE=b.

圖1

(1)四邊形EBHP的面積四邊形GPFD的面積(填“>”“=”或“<”)；

(2)求證：△P1FQ∽△P2HQ；

分析：此題為幾何綜合題，條件眾多，形成了矩形疊套、三角形與矩形結合，同時融合了動點.問題探究涉及到了矩形面積比較、三角形相似、面積比值分析等.問題的條件信息具有層次性，解答分析需要對條件進行梳理，具體如下.

幾何背景——矩形ABCD；

平行線——EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，又EF⊥GH，將矩形分割為四個部分，也是四個矩形；

線段比例——AG∶GD=AE∶EB=1∶2，該信息隱含了矩形相似，即矩形AEPG∽矩形ABCD∽矩形PHCF，且相似比為1∶2∶3；

等線段——PP1=PG，PP2=PE；

交叉三角形——連接P1H,P2F，兩線交叉形成了眾多三角形.從圖形比例關系來看，其中必然存在相似三角形.

2 思路突破

本題目共分三問，解題時要把握問題特征，立足問題條件開展思路探究，下面逐問突破.

2.1 線段比例構建，面積大小分析

第(1)問探究四邊形EBHP和四邊形GPFD的面積關系，根據條件可知這兩個這兩個四邊形之間沒有相似關系，需要根據條件來推導線段長，然后結合公式求面積.

根據題干中的平行條件可知，四邊形EBHP和GPFD均為矩形.又知AG=a，AE=b，AG∶GD=AE∶EB=1∶2，則PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b.所以四邊形EBHP的面積=PH·PE=2ab，四邊形GPFD的面積=PF·PG=2ab，從而可知四邊形EBHP和四邊形GPFD的面積相等.

2.2 等面積轉化，相似關系構建

2.3 面積問題轉化，模型構建突破

第(3)問則是關于四邊形面積的比值問題，所涉兩個四邊形的形狀不規則，為一般四邊形.求兩四邊形面積的比值，有兩種思路：①從割補法構建模型切入，將四邊形面積轉化為幾個常規三角形面積的和，借助三角形分析面積比值；②從圖形相似入手，初步來看兩四邊形為相似關系，只需證明四邊形的四個角對應相等即可證明圖形相似，則結合相似圖形的線段比可推知面積比.基于上述方法思路，下面具體解答.

解法1:構建面積割補模型.

如圖2,連接P1P2，FH，則四邊形PP1QP2的面積可表示為S1=S△PP1P2+S△P1P2Q，四邊形CFQH的面積可表示為S2=S△FHC+S△FHQ.

圖2

因為∠P1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

解法2:構建圖形相似模型.

因為∠P1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

3 深度反思

上述對一道幾何綜合題進行了深入探究，從突破過程來看，線段的比例、三角形相似的知識是突破的核心，下面深入反思問題解法.

3.1 關于第(2)問的思考

第(2)問是關于三角形相似證明的問題，構建解題思路為：等面積條件轉化(四邊形EBHP=四邊形GPFD)→輔助相似三角形推導(△PP2F∽△PP1H)→問題相似三角形證明(△P1FQ∽△P2HQ).即基于第(1)問的矩形面積相等，提取關于邊長相似的比例條件，證明圖形中兩個矩形相似，進而推導出關鍵的等角——∠PFP2=∠PHP1.其中輔助相似三角形在思路構建中起橋梁作用，旨在串聯問題中的矩形條件與等角關系.同時，證明輔助相似三角形的方法在幾何證明題中十分常見.

3.2 關于第(3)問的思考

第(3)問是中考常見的面積比值問題.常見的面積比值問題有兩大背景：一是幾何圖形背景，如本題目；二是函數曲線背景，如反比例函數曲線、拋物線等.在求解面積比值時上述解法采用了兩種不同的思路，其中解法1的本質是割補思想，旨在將面積比值轉化為面積關系；而解法2的本質是相似轉化，旨在將面積比值轉化為線段長度關系.故基于不同的方法思路構建了不同的數學模型，由模型完成了面積比值求解.對于兩大背景中的面積比值問題，下面總結對應的轉化策略.

幾何圖形背景中的轉化策略：

策略1——面積公式，直接求幾何面積；

策略2——面積割補，面積比值轉化為線段比值；

策略3——相似轉化，由相似比求面積比.

函數曲線背景中的轉化策略：

策略1——底高模型，面積比值轉化為線段比值；

策略2——鉛垂模型，面積比值轉化為點的坐標參數比值.

3.3 關于問題教學的微設計

實際探究時，建議采用教學微設計的方式引導學生讀題審題，理解題意，把握知識條件來構建解題思路.以上述第(3)問的面積比值探究為例，下面開展教學微設計.

環節一：條件梳理，基礎強化

條件1：如圖2所示，在矩形ABCD中，線段EF，GH分別平行于AD，AB，它們相交于點P；

條件2：點P1，P2分別在線段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，連接P1H，P2F，P1H與P2F相交于點Q.

條件3：已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2，設AG=a，AE=b.

設問1針對條件1，可以得到哪些信息，圖中有幾個矩形？

針對條件2，P1H和P2F形成了兩組三角形△P1FQ和△P2HQ，△PP2F和△PP1H，可以得出怎樣的猜想？

針對條件3：根據線段比例，是否可以證明四邊形AEPG∽四邊形ABCD∽四邊形PHCF？若可以請求出相似比.

設計意圖：環節一旨在引導學生梳理條件，挖掘隱含信息，同時作出猜想，為后續的綜合探究作鋪墊.

環節二：設問引導，相似推導

設問2AG∶GD=AE∶EB=1∶2，根據上述條件求四邊形PP1QP2與四邊形CFQH的面積之比.

設問3請根據設問2中四邊形面積的比值關系，證明△P1FQ∽△P2HQ.

設計意圖：環節二主要引導學生從線段比值中推導面積關系，利用面積關系完成比例線段提取，進而證明三角形相似.其中思維線索“線段比例→面積關系→相似關系”是探究的關鍵.

環節三：深入探究，面積比構建

連接P1P2，FH，如圖2所示，對于四邊形PP1QP2與四邊形CFQH，若∠QHC=∠QP2P，∠QFC=∠QP1P，則可證兩三角形相似.

設問4請根據△P1FQ∽△P2HQ的性質條件，證明△P1QP2∽△FQH.

設問5是否可以結合上述相似三角形的對應角相等，證明四邊形PP1QP2與四邊形CFQH相似？

設問6請根據四邊形PP1QP2∽四邊形CFQH，求出這兩個四邊形的面積比.

設計意圖：環節三設計的核心是幫助學生掌握四邊形相似的證明思路，即“四邊形分割→相似三角形證明→四邊形相似證明”.

4 教學建議

幾何綜合題常作為壓軸題在中考數學試卷中出現，問題條件的處理方法，以及思維推理的構建過程在解題中十分重要，也是教學的重點.下面提出幾點教學建議.

(1)把握背景，條件串聯.幾何綜合題的問題條件具有層次性，往往立足圖形特征來串聯條件，實現了條件之間的交叉融合.而在實際解題時建議對問題的條件進行梳理，厘清條件之間的聯系.梳理時需要關注以下幾點：一是背景圖形的特征，以及特殊圖形；二是動點或不確定的點所在線段及軌跡；三是提取三角形以及其他幾何圖形.

(2)轉化分析，思路引導.問題條件的轉化是破解幾何綜合題的核心方法，即對問題或條件進行轉化，然后構建思路.解題教學中不能僅注重方法的講解，還要重視思維的引導；應將問題的推理過程、思路的構建過程作為重點；引導學生理解題干信息，初步處理條件，合理轉化問題，利用解題策略探索思路的構建過程.