以數學實驗為載體，積累數學活動經驗
——聽“鐘面上的數學”有感

?江蘇省張家港市合興初級中學 王 娟

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法等解決簡單數學問題的活動經驗.數學實驗課是一個比較好的“綜合與實踐”課題，是學生在教師的指導下，利用一定的工具(實物、軟件)，通過動手操作、觀察思考、合作交流、歸納抽象等過程構建數學概念、驗證數學結論、探索數學規律、認識數學新知、解決數學問題的一種學習方式.在一次初一年級數學實驗教學研討活動中,有幸聆聽了一位數學名師執教的“鐘面上的數學”一課,很有感觸,回味無窮.

1 “回眸一想”，幫助學生積累數學思考的活動經驗

在“綜合與實踐”活動中，數學思考主要指學生通過觀察、歸納、概括、論證、計算等數學活動，學會獨立思考和清晰地表達自己的想法，發展合情推理能力和演繹推理能力，體會數學的基本思想和特有的思維方式.在具體的教學過程中，教師要積極引導學生通過回顧舊知，明晰已有知識，經歷數學思考，為后續的學習活動做好鋪墊.

教學片斷一：回眸一想

問題1一天24小時(0：00～24：00)，時針、分針、秒針分別轉過多少圈？

問題2當分針轉過一圈時，時針轉過多少度？

問題3當秒針轉過一圈時，分針轉過多少度？

數學實驗：如圖1,出示掛鐘，并轉動指針.

圖1

師：請同學們觀察時針、分針、秒針的運動狀態，尋找其中的數學知識.通過小組協同學習，歸納、總結時針、分針、秒針同一時間內轉過的角度及它們數量間的關系.(3分鐘后)

生1：我代表第1小組發言.我們認為，時針每分鐘轉過的角度是0.5°，分針每分鐘轉過的角度是6°，秒針每分鐘轉過的角度是360°.

師：你們還有其他發現嗎？

生2：我代表第3小組發言.我們發現鐘面被分成了12個大格、60個小格，如果把格點和鐘面的中心連起來，那么，每個小格對應的角度是6°，每個大格對應的角度是30°.

師：很好！你們歸納的這些隱藏在鐘面的生活常識，正是重要的數學知識，是我們解決許多實際問題、數學問題的依據、基礎.

教學思考：利用三個基本問題，學生充分回顧、整理了已有的知識，厘清了時針、分針、秒針轉動過程中，鐘面上隱含的數學知識以及它們之間的關系，并能利用這些知識解決一些簡單的問題.這種實物觀察、歸納驗證，正是數學發現與驗證結論的常用方法，通過這樣的活動，幫助學生積累了數學思考的活動經驗，充分體現了執教者豐富的教學經驗、深厚的教學功底.

2 “靜心一算”，幫助學生積累主動學習的活動經驗

學生是學習的主體，“綜合與實踐”的一個教學目標是，通過有趣的問題，促進學生積極主動、生動活潑地學習與思考.教師要放手讓學生去操作、嘗試、討論、總結、提煉，在活動中有感悟，有體驗，有發現，獲得收益.本節課，教師以學生的認知發展水平和已有的知識經驗為基礎，通過問題串引領學生采用多樣化的主動學習方式，取得了很好的學習效果.

教學片斷二：靜心一算

問題4從0點的位置起，經過多少分鐘，時鐘的時針和分針第一次互相垂直？

數學實驗：教師出示掛鐘，如圖2.生3上臺演示，學生進行觀察.

圖2

師：通過觀察，你發現了什么？請先獨立思考.

2分鐘后小組內交流，然后再全班展示.(3分鐘后)

生3：從鐘面上看，時鐘的時針和分針第一次互相垂直，也就是說分針轉過的角度與時針轉過的角度的差應該是90°.

師：如何將這個問題轉化為一個數學問題呢？

師：很好，通過引人變量x，利用方程很快解決了這個問題.

教學思考：應用方程將“時針和分針第一次互相垂直”轉化為“6x-0.5x=90”，就是學生經歷將實際問題抽象為數學問題的過程.事實上，學生在生活中已經積累了一些數學原始的、初步的經驗，通過觀察、討論、交流，讓生活經驗與數學知識“有效對接”，使得生活經驗“數學化”，這是我們平時教學中需要關注的學科素養.因此，在數學探究活動中，教師應給學生充足的時間和空間，讓學生參與看書學習、實物觀察、獨立思考、小組學習、全班展示等學習活動，在活動中積累主動學習的活動經驗.

3 “動手一做”，幫助學生積累探究活動的活動經驗

問題探究指的是從數學的角度發現和提出數學問題，綜合運用數學知識分析和解決簡單的問題，獲得分析和解決問題的基本方法，增強運用意識，提高實踐能力.積累探究經驗不是通過簡單的活動和思考就可以完成的，需要結合真實的情境，讓學生經歷感知數學、深度思考與解決問題的完整過程，能夠在學習與體驗、想象與推理、概括與運用中感悟數學方法，發展數學思維，增進數學想象，實現數學創造.同時，在動手“做數學”的過程中，激發學生的學習興趣，調動學習的熱情，建立學習的自信，啟思明理，積累經驗，提升素養.

教學片斷三：動手一做

問題5時針與分針從第一次互相垂直到第二次互相垂直時,時針與分針轉過的角度之間有什么關系?

數學實驗：教師出示掛鐘，調轉鐘面上的指針，使時針與分針重合在12點處，再次調轉鐘面上的指針.學生從圖3到圖4觀察時針與分針轉過的角度之間的關系，再分組討論.教師巡視.(3分鐘后)

圖3

圖4

生5：我們可以將圖3與圖4中垂直時的分針與時針看成一個直角，并且把它們放在同一個圖形中(在黑板上畫出圖5).設第一次垂直的位置是OA⊥OB，第二次垂直的位置是OC⊥OD，再延長BO.

圖5

師：很好！請你們觀察圖5，先獨立思考，看看有什么結果？(2分鐘后)

生6：因為∠COA+∠AOD=90°，∠EOD+∠AOD=90°，所以∠EOD=∠AOC.

師：很好.這一結果告訴我們什么呢？

眾生：時針與分針從第一次互相垂直到第二次互相垂直時,時針比分針少轉了180°.

師：根據這個事實，你們能設計什么問題，如何用數學知識來解決呢？請先小組內討論，把問題與結論記錄下來，5分鐘后再展示.(5分鐘后)

生8：(問題6)從0點開始，到12點結束，時針與分針互相垂直的次數是多少？

師：這是一個很好的問題！如何解決呢？說說你的思路.

師：生8給我們提供了一個解決問題6的方案，但是，我們還沒有學習不等式的相關知識，生8無法求得最后的結果.大家討論一下，能否給出一個解決問題辦法？(2分鐘后)

所以，n的最大值為22.也就是說從0點開始，到12點結束，時針與分針互相垂直的次數是22次.(全班掌聲一片！)

…………

教學思考：從問題5的提出到問題6的提出和解決，學生經歷了操作實驗、幾何推理、數學計算、數學驗證的全過程，獲得了數學活動經驗和數學思考經驗，提高了數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等關鍵能力.同時，通過這一環節，學生學會了研究問題、解決問題的途徑，積累了探究活動的活動經驗.

4 “明白一理”，讓學生數學活動經驗的積累走向深入

我們知道，數學經驗在持續積累的過程中，需要學生之間、師生之間的交流、總結以及自我反思.在交流與反思的過程中，讓學生充分體會實際操作經驗、數學活動經驗、探究活動經驗，促進學生認知思維的縱深拓展，讓學生的數學探究活動走向深入.

教學片斷四：明白一理

師：從問題1到問題6，我們都是從實際問題出發，將其轉化為數學問題，最后解決問題，其過程如圖6所示.

圖6

教學思考：在數學教學中，我們的教學目標不能僅限于一節課，應把目光放得更長遠一些，立足于為學生的終身發展服務.因此，在課堂小結時，一方面要加強對數學知識、思想方法、技能技巧的歸納、整理；另一方面要重視對數學知識獲取的途徑、思維活動的過程、探究活動的經歷進行回顧、反思，使學生對數學知識的理解從量的積累到質的飛躍，同時還能獲得最具有數學本質、最具價值的數學活動經驗，讓數學課堂教學真正從有效走向高效.

數學活動經驗是看不見、摸不著的，也難以言表，而積累數學活動經驗的過程是一個不斷上升、不斷內化的過程，需要師生共同的努力.因此，教師要適時地給學生提供有效的探究性學習的時間與空間，學生要在親歷中體驗，在體驗中積累，在積累中不斷成長.只有這樣，我們的數學教學才是有品味的，有意義的，才能有詩和遠方.