關聯退極化量子信道中qutrit-qutrit系統的量子相干性演化*

董曜 紀愛玲 張國鋒?

1) (北京航空航天大學物理學院,北京 100191)

2) (中國科學院大學物理學院,北京 100190)

為探索量子系統的退相干機制尋找延緩退相干的方法,本文研究了關聯量子信道中的退相干過程,計算了關聯退極化信道中兩體qutrit 系統的3 種初態:一種特殊初態、最大相干初態和各向同性初態的范數相干性、相對熵相干性及基矢無關相干性.分析得出的解析結果、數值結果和演化圖像可以發現:1)完全關聯的信道能最大程度地抑制退相干;2)存在一個與關聯度無關的最大退相干時間點,但其退相干的演化行為卻依賴著關聯度;3)信道的關聯可以增強子系統間的相干性.基矢無關相干性遵循的不等式關系也在此系統中得以驗證.

1 引言

量子相干性來源于量子力學五大基本原理之一的量子態疊加原理,是量子系統的關鍵的特征之一及二部和多部量子關聯的本質[1].在密度矩陣中,量子相干性表現為矩陣非零的非對角項.量子相干性是經典體系所不具備的一個重要性質,不僅具有重要的理論意義,還可作為量子通信、量子計算和量子計量等新興技術的物理資源.在過去一些年,特別是Baumgratz 等[2]基于資源學說理論提出量子相干性可以像量子糾纏、量子失協那樣視作一種有用的量子資源,并提出了幾種量子相干性的度量方法之后,針對體系中量子相干性的研究逐漸增多[3-11],量子相干性測量方法的提出使一些旨在揭示開放系統的退相干機制的研究得以實現,并且文獻[12]提出相干性演化方程的因式分解關系.近年來,研究一直在努力尋找能更加靈活操控退相干動力學和產生穩態相干性的方法.此外量子相干性、量子關聯和量子糾纏的研究為量子相變等領域提供了新思路[13],還在量子生物學中得以應用[14,15].

雖然量子相干性在許多技術中有非凡意義,但它是一種非常脆弱的物理屬性.通常情況下,環境、測量等因素對量子系統產生的影響不可避免,這些影響會造成量子相干性的快速衰減[15],是一類限制量子技術發展的主要障礙.

量子信息處理、傳遞和衰減的基本方式對應3 種典型的量子信道:相位阻尼信道、退極化信道和振幅阻尼信道[16].在Macchiavello 等[17]提出關聯信道的聯合概率函數之前,以往的研究都集中在單邊信道,或非關聯信道的方面,即信道之間不存在記憶效應.但這都不是更普遍的量子信息衰減方式.對更一般的情況而言,信道之間會存在關聯,這種關聯表現在短時間間隔內連續通過噪聲信道的量子比特,信道會對其演化保留一定的記憶效應.

此外,以往研究大多數局限于qubit 系統,但近年來更高維的量子系統逐漸得到更多重視[18].已有研究證明,相較于qubit 系統,維度更高的量子信息單位可以更大程度破壞定域實在論,噪聲對其相干性與糾纏等量子資源的影響也更小[18].在量子信道中更高維系統能更加安全地應對竊聽威脅,同時為通信提供更大的信道容量與更可靠的信息處理方式.從實驗制備的角度看,更高維的糾纏態也能在線性光學系統中實現[19].況且,很多情況下量子信息任務必須要更高維的量子系統才能進行.

本文旨在研究關聯量子信道中qutrit-qutrit系統的量子相干性演化,探索退相干機制,希望找到有效方法盡可能延緩退相干過程.

2 量子相干性的測量方法

量子相干性有多種測量方式,如范數相干性、相對熵相干性、基矢無關相干性[20]、相干的魯棒性等[21],本文主要研究前兩種計算較為簡便的相干性,以及與體系基矢定義無關的相干性.

l1范數相干性:對于基矢{|i〉}下的密度矩陣ρ其定義為[2,3]

即為密度矩陣所有非對角元的絕對值之和.

相對熵相干性[1-3]:

上述兩種量子相干性的度量方法與所選擇的系統基矢相關.Radhakrishnan 等[20]借助量子系統下的Jensen-Shannon 離散函數定義了基矢無關的總量子相干性:

其中,I為單位矩陣,d為密度矩陣維度.

在單量子比特的Bloch 球中更容易理解和比較基矢相關的相干性和基矢無關的相干性,二者分別度量的是極化矢量到Z軸的最小距離與到球心的距離,如圖1 所示[20].

圖1 圖中的球為Bloch 球,綠色線段標示的距離衡量的是基矢無關量子相干性,紅色線段標示的距離衡量的是基矢相關的量子相干性Fig.1.This is a Bloch ball,the distance marked by the green line represents basis-independent quantum coherence and the distance marked by the red line represents basis-dependent quantum coherence.

Radhakrishnan 等[20]還提出,多部總基矢無關相干性能分解為聯合與局域兩部分.第一部分聯合量子相干性衡量的是存在于子系統之間的相干性.聯合量子相干性表示為

其中 πρρ1?···?ρn,ρi為第i個子系統的約化密度矩陣.

局域量子相干性衡量的是存在于各子系統內的相干性,表示為

三者之間存在不等式關系[20]:

3 關聯信道

3.13 種典型的量子信道

信息處理過程中有3 種量子信息衰減典型方式:相位阻尼方式、退極化方式和振幅阻尼方式[16],它們是單量子比特系統超算符的3 種模式,稱為量子信道.

相位阻尼此量子信道的作用可用一個作用在A和E直積空間HA ?HE的幺正算符表示:

該信道下A態空間的兩個基穩定不發生誤翻轉,但以概率p與環境態糾纏導致環境狀態改變.

退極化退極化信道下單量子比特的兩個基不絕對穩定,存在3 種基本的誤翻轉類型,假設這3 種誤差發生概率相等,用一個作用在HA ?HE上的幺正算符表示[16]:

在該信道下極化矢量收縮為

振幅阻尼振幅阻尼信道可以看作雙能級原子高能級發生衰變的簡化模型[16],原子與環境的相互作用用如下算符表示:

這3 種量子信道都會使密度矩陣非對角元衰減,導致量子體系的退相干.

3.2 關聯退極化信道

由n個量子比特組成的系統,如果某噪聲信道對通過的每一個量子比特的演化作用完全相同且獨立,這種噪聲信道完全沒有關聯性.系統一個初態ρ0在這種信道下線性映射為[17]

完全不關聯的退極化信道下Kraus 算符的形式為

對于關聯的量子信道,其聯合密度函數為條件概率的形式:

參數μ滿足 0≤μ≤1,描述的是信道的關聯度,μ0為完全不關聯,0＜μ＜1 為部分關聯,μ1對應完全關聯的信道[17,22].兩qutrit 連續通過退極化噪聲信道,其量子態演化模型為[20-22]

其中ρ0為初態,Pi,j為聯合概率函數,3?3 維矩陣元Ei有以下形式[22-24]:

參數:

與信道關聯度相關的概率分布函數為:

在退極化信道下Γ為任一量子態向其正交態的衰變率

4 相干性計算

4.1 貝爾態與可分離混態混合成的特殊初態

首先考慮初態是一種特殊混態的情況,此初態是最大糾纏態(貝爾態)與兩個可分離混態按一定比例混合成的,表示為

范數相干性該初態下的l1范數相干性演化的解析表達式,如下:

分析這個解析表達式,很容易得到在時間趨近于無窮下的穩態解:

范數相干性隨時間演化最終漸近于某定值,此定值與信道關聯度有關.在μ1 的完全關聯條件下穩態相干性最大,說明完全關聯的信道能最大程度抑制退相干.而μ1/9 時穩態下相干性為零,表明該關聯度的信道使系統發生了完全退相干.

在演化時間達到Γt2ln9 時(如圖2),范數相干性Cl10,即此初態下量子體系的相干性會在固定時間點衰退到0(發生了最大退相干),這個時間與關聯度完全無關.

圖2 藍色、紅色、綠色、紫色、黑色曲線依次對應關聯度μ為1,0.5,1/6,0.1,縱坐標表示范數相干性Fig.2.Blue,red,green,purple and black lines correspond to μ as 1,0.5,1/6,0.1,and Y-axis represents l1 norm coherence.

通過將相干性解析式對時間求偏導還能發現此初態存在3 種與關聯度有關的不同演化方式,可分為圖3—圖5 中的情況討論.

1)當 1/5 ≤μ≤1 或μ0 時,演化時間在達到范數相干性固定零點Γt2ln9 前相干性逐漸減小,在零點后遞增漸近至穩態值,如圖3 所示.

圖3 關聯度滿足 1/5 ≤μ ≤1或 μ=0 時第一種演化方式(μ=1).Fig.3.The first caseof evolution when 1/5 ≤μ ≤1 or μ=0(μ=1).

2)當 1/9 ≤μ＜1/5 時,固定零點前與1)相同,相干性隨時間遞減到零,之后先遞增后漸近遞減到穩態值,極大值點位于處,極大值為μ2/[7(1-μ)],如圖4 所示.

圖4 關聯度滿足 1/9 ≤μ＜1/5時第二種演化方式(μ=1/7)Fig.4.The second case of evolution when1/9 ≤μ＜1/5(μ=1/7) .

3)當 0＜μ＜1/9 時,固定零點前相干性隨時間遞減到0,此后先遞增,再衰減到第2 個零點,極大值點與第2 個零點分別位于:和,第2 個零點后相干性有所恢復,隨時間遞增到穩態值.如圖5 所示.

圖5 關聯度滿足 0＜μ＜1/9時第3 種演化方式(μ=1/10)Fig.5.The third case of evolution when0＜μ＜1/9(μ=1/10).

相對熵相干性本文中相對熵相干性的解析求解涉及到九階方陣的特征值計算,且含參數較多,因此僅研究時間趨近于無窮的穩態下的相對熵相干性和相對熵相干性演化的數值結果.在Γt→∞時:

圖6 為穩態時相對熵相干性與關聯度μ之間的關系,可得出結論:與范數相干性類似,穩態時仍是完全關聯的情況下相對熵相干性有最大值,關聯度μ1/9 時相對熵相干性最小為0.

圖6 穩態的相對熵相干性隨退極化信道關聯度的變化Fig.6.The change of relative entropy coherence of the steady state with the correlation degree of depolarizing channels.

分析相對熵相干演化圖7 可以發現,其演化規律與范數相干性十分相似,也存在一個固定的零點Γt2ln9.此外也存在3 種演化方式,且3 種演化方式與范數相干性相同,如圖8 所示.

圖7 相對熵相干性隨時間的演化,縱坐標為相對熵相干性數值,藍色、紫色、綠色、紅色和黑色曲線分別對應關聯度 μ=1,0.5,1/6,0.1,0 的情況,發現不同關聯度下相對熵相干性在同一時間點衰減到0,零點滿足 Γt=2 ln 9 .Fig.7.The relative entropy coherence evolving over time,Y-axis represents the value of relative entropy coherence.Blue,purple,green,red and black lines correspond to μ as 1,0.5,1/6, 0.1 and 0.It can be found that the relative entropy coherence decays to 0 at the same time under different correlation degrees,and the zero point is Γt=2 ln 9 .

圖8 相對熵相干性在固定零點 Γt=2 ln 9后的3 種演化方式 (a) μ=0 或 1/2 ≤μ ≤1;(b) 1/9 ≤μ＜1/5;(c) 0＜μ＜1/9 (圖中依次取 μ=1,1/7,0.1).Fig.8.Three ways of evolution of relative entropy coherence after fixed time point Γt=2 ln 9:(a) μ=0or 1/5 ≤μ ≤1,(b) 1/9 ≤μ＜1/5;(c) 0＜μ＜1/9 (μtakes to 1,1/7,0.1 respectively) .

4.2 最大相干初態

再選最大相干態作為初態,該初態ρ0滿足[2]:

即密度矩陣所有元素都為 1/9 .此初態在關聯退極化信道下的l1范數相干性解析式為

在Γt→∞的穩態條件下,表示為

可以發現對于這種初態,完全關聯的退極化信道也能最大程度抑制退相干過程,可參看圖9.

圖9 最大相干初態的范數相干性隨時間演化,縱坐標表示其l1 范數相干性,藍色、紅色、黃色、紫色、黑色曲線分別對應關聯度 μ 為1,0.5,0.2,0.1,0 的情況.Fig.9.The l1 norm coherence evolution figure of maximum coherent initial tate,Y-axis represents l1 norm coherence.Blue,red,yellow,purple and black lines correspond to μ as 1,0.5,0.2,0.1,0.

可以看出此初態在演化過程中在相同時間點達到最小值,發生最大退相干,時間點Γt2ln9 與前初態相同,但不同的是在該點的相干性并不一定衰減到0,而是衰減到一個與信道關聯度有關的值,即 2μ,只有在完全不關聯的情況下才會發生完全退相干的現象.再分別計算此初態在關聯度μ分別為1,0.5,0 時的基矢無關總相干性、聯合量子相干性與局域量子相干性,如圖10—圖12 所示,其中C為基矢無關總相干性,Cl為局域量子相干性,CC為聯合量子相干性.計算聯合量子相干性與局域量子相干性代數和的目的是驗證此系統下的相干性的不等式關系.

圖10 基矢無關總相干性,聯合量子相干性與局域量子相干性演化圖像(μ=1,局域量子相干性)Fig.10.The basis-independent quantum coherence,collective quantum coherence and localized quantum coherence evolving over time(μ=1,l) .

圖11 基矢無關總相干性,聯合量子相干性與局域量子相干性演化圖像(μ=0.5)Fig.11.The basis-independent quantum coherence,collective quantum coherence and localized quantum coherence evolving over time(μ=0.5).

圖12 基矢無關總相干性,聯合量子相干性與局域量子相干性演化圖像(μ=0).Fig.12.The basis-independent quantum coherence,collective quantum coherence and localized quantum coherence evolving over time (μ=0).

分析圖10—圖12 中完全關聯,部分關聯(關聯度為0.5)和完全不關聯情況下的基矢無關相干性、聯合量子相干性與局域量子相干性計算結果,可以得出的結論是:在完全關聯和部分關聯的情況下,子系統之間的相干性(聯合量子相干性)逐漸增長,且在完全關聯信道下其增長更為顯著,但在完全不關聯的情況下聯合量子相干性始終為0,說明量子信道的關聯性有助于加強子系統之間的相干性.且在不同關聯度下,基矢無關相干性的不等式始終成立.

4.3 各向同性初態

最后選擇各向同性態作為初態:

其中|Ψ+〉為前文提到的貝爾態,為最大混態.計算此初態的l1范數相干性得到:

與4.1 節中的范數相干性比較,發現僅是在式中引入了一個比例參數p,說明此初態相干性的演化規律與4.1 節所得出結果完全一樣,貝爾態的比例參數僅決定相干性的大小.

5 結論

本文中從雙qutrit 量子態中依次選取貝爾態與可分離混態混合的特殊態、最大相干的量子態和各向同性量子態作為初態,研究它們在關聯退極化量子信道下的相干性演化,發現完全關聯的退極化信道總能最大程度地抑制系統的退相干,可以為實際的量子信息應用提供參考.對于本文中初態與關聯信道構成的模型,在一個特殊的時間點Γt2ln9,相干性總會衰減到最小值.對于特殊態與各項同性態,該最小值與關聯度μ無關為0,對于最大相干態最小值為與關聯度μ有關的量2μ.在研究特殊態時,發現在系統完全退相干時間點后還存在著3 種取決于關聯度μ的演化方式.

通過計算第二種初態下的基矢無關相干性,能夠得出結論:信道的關聯能夠增強兩體系統下存在于子系統之間的相干性,且相干性的不等式關系始終成立.

最后對比第一種特殊態與第3 種各向同性態,發現兩者的相干性演化行為是一致的,比例參數p僅影響各向同性態相干性整體大小,而第一種特殊態的相干性演化與兩可分離混態的比例參數α無關.