點擊余弦定理、正弦定理的應用問題

■歐修祝

余弦定理、正弦定理是三角函數中的兩個重要定理,是解三角形的重要依據。余弦定理、正弦定理揭示了三角形中的邊角關系,它們在解三角形中有著廣泛的應用。

一、余弦定理的應用

已知三角形的三邊關系或比例關系解三角形:根據邊的關系直接代入化簡或利用比例性質,轉化為已知三邊求解。判斷三角形的形狀,應圍繞三角形的邊角關系進行思考,可用余弦定理將已知條件轉化為邊與邊的關系,通過因式分解或配方得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀。

二、正弦定理的應用

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形:先由正弦定理求出另一邊所對角的正弦值,當已知角為大邊所對的角時,由三角形中“大邊對大角,大角對大邊”的法則,能判斷另一邊所對的角是銳角,由正弦定理可求得銳角;當已知角為小邊所對的角時,不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求得兩個角,要分類討論。判斷三角形的形狀,可用正弦定理、余弦定理將已知條件轉化為邊與邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀。

例2 在△ABC中,若sinA=2sinB·cosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀。

(利用角的互補關系)由sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,即A=90°。由A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,可得sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0。由-90°＜B-C＜90°,可得B-C=0,即B=C。故△ABC是等腰直角三角形。

三、余弦定理、正弦定理的綜合應用

對于這類問題,要明確題中所給角與邊的含義,認真分析已知條件與所求問題,也可以畫出示意圖幫助求解。

例3 在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若2asinA= (2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀。