復數問題常見典型考題賞析

■姜傳偉

復數是高中代數的重要內容,是同學們學習的一個難點,也是高考的一個重要考點。雖然復數在高中數學中所占的比例不是很大,但我們還是要學好高考常考的每一個知識點。下面就復數問題的常見典型考題舉例分析,供同學們學習與提高。

題型一：復數的概念

要確定一個復數的實部和虛部,需要把復數化為a+bi的形式,還要注意這里a,b均為實數。解答復數的概念題,一定要緊扣復數的定義,牢記i的性質。

例1 現有下列四個命題:①若a∈R,則(a+1)i是純虛數;②若a,b∈R,且a＞b,則a+i＞b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數,則實數x=±2;④實數集是復數集的真子集。

其中正確命題的序號是_____。

解：對于復數a+bi(a,b∈R),當a=0且b≠0時,a+bi為純虛數。對于①,若a=-1,則(a+1)i=0,不是純虛數,①錯誤。兩個虛數不能比較大小,②錯誤。對于③,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是純虛數,③錯誤。顯然④正確。答案為④。

跟蹤訓練1：對于復數a+bi(a,b∈R),

下列說法正確的是( )。

A.若a=0,則a+bi為純虛數

B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-2

C.若b=0,則a+bi為實數

D.(-i)2=1

提示：對于A,當a=0時,a+bi也可能為實數。對于B,由a+(b-1)i=3-2i,可得a=3,b=-1。對于D,(-i)2=-1。應選C。

題型二：復數的分類

對于復數z=a+bi(a,b∈R),z為實數?b=0,z為虛數?b≠0,z為純虛數?a=0且b≠0。

例2 若復數a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數,則( )。

A.a=-1 B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

解：若復數a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)為純虛數,則a2-a-2=0 且|a-1|-1≠0,解得a=-1。所以當復數a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數時,a≠-1。應選C。

跟蹤訓練2：已知復數z=lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i。

(1)問當實數m取何值時,z為純虛數。

(2)問當實數m取何值時,z為實數。

題型四：復數與復平面內點的關系

在復平面內,復數的實部就是其對應點的橫坐標,復數的虛部就是其對應點的縱坐標。已知復數在復平面內對應點滿足的條件求參數的值(或取值范圍)時,可根據復數與復平面內點的對應關系,找到復數實部與虛部應滿足的條件,通過解方程或解不等式求得參數的值(或取值范圍)。