基于Bouc-wen模型的阻尼器建模仿真

周鑫林 楊洪永 張強(qiáng)

珠海格力電器股份有限公司 廣東珠海 519070

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，虛擬樣機(jī)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于分析結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可靠性、合理性。利用CAD軟件設(shè)計(jì)原型樣機(jī)，在計(jì)算機(jī)中模擬機(jī)械結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)并分析其受力情況，然后根據(jù)仿真結(jié)果對(duì)原型樣機(jī)進(jìn)行優(yōu)化以達(dá)到指導(dǎo)設(shè)計(jì)的目的。但是在洗衣機(jī)的設(shè)計(jì)中，阻尼減振器的受力情況比較復(fù)雜，呈現(xiàn)出非線性特征，對(duì)仿真結(jié)果的精度有較大影響，需要技術(shù)人員自行建模處理。Nygards等人對(duì)洗衣機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并建立仿真模型，確定了阻尼力的數(shù)學(xué)模型，給出了阻尼力的測(cè)試方案[1][2]。朱耀輝認(rèn)為阻尼力由干摩擦力和黏滯阻尼兩部分組成，利用Bingham模型對(duì)阻尼力進(jìn)行仿真，結(jié)果表明黏滯阻尼系數(shù)在同一激振力作用下具有較好的一致性[3]。曹然采用Bouc-wen模型對(duì)阻尼器進(jìn)行研究，通過(guò)測(cè)試數(shù)據(jù)辨識(shí)模型參數(shù)，并分析不同工況條件下的參數(shù)的變化規(guī)律[4]。M.T.Braz-César等人分別使用Bingham模型、Bouc-wen模型對(duì)MR阻尼器進(jìn)行建模，并對(duì)比測(cè)試數(shù)據(jù)，結(jié)果表明Bouc-wen模型對(duì)非線性阻尼力-速度的遲滯效應(yīng)描述更加準(zhǔn)確[5]。周幪幪等人對(duì)阻尼器襯套進(jìn)行建模，探究阻尼器襯套對(duì)洗衣機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況的影響[6]。本文基于Bouc-wen模型對(duì)洗衣機(jī)的阻尼器進(jìn)行建模，并測(cè)試洗衣機(jī)阻尼器的特性曲線。采用遺傳算法，對(duì)Bouc-wen模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，以此研究洗衣機(jī)阻尼器在虛擬樣機(jī)中的建模方法。所提模型能夠模擬阻尼力的變化情況，仿真結(jié)果與測(cè)試結(jié)果對(duì)比誤差較小。

1 阻尼器測(cè)試實(shí)驗(yàn)

阻尼器由三個(gè)部分組成，其中外筒固定于洗衣機(jī)滾筒，摩擦片置于外筒內(nèi)壁，內(nèi)筒固定于框架。阻尼器實(shí)物如圖1所示。阻尼器工作時(shí)外筒相對(duì)內(nèi)筒滑動(dòng)但不與內(nèi)筒接觸，通過(guò)摩擦片與內(nèi)筒摩擦產(chǎn)生阻尼力。當(dāng)阻尼器處于靜止階段時(shí)，由于沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，阻尼器不產(chǎn)生阻尼力；當(dāng)阻尼器處于從靜止到滑動(dòng)階段時(shí)，摩擦片產(chǎn)生彈性形變，阻尼器產(chǎn)生彈性力；當(dāng)阻尼器處于滑動(dòng)階段時(shí)，摩擦片同時(shí)存在滑動(dòng)摩擦和彈性形變，阻尼器產(chǎn)生彈性力和摩擦力。阻尼器通過(guò)摩擦力做功耗散振動(dòng)能量。因此將阻尼力簡(jiǎn)化為三個(gè)部分，黏滯阻尼、彈性力以及摩擦產(chǎn)生的遲滯效應(yīng)，如圖2所示。其中M為阻尼器外筒的質(zhì)量，m為阻尼器內(nèi)筒的質(zhì)量，C2為阻尼器襯套的阻尼，F(xiàn)(t)為阻尼器的阻尼力，K為彈性力的剛度，C1為黏滯阻尼的阻尼系數(shù)，遲滯特性為Bouc-wen模型。

圖1 阻尼器實(shí)物

圖2 阻尼器簡(jiǎn)化模型

通過(guò)測(cè)量阻尼器對(duì)輸入的響應(yīng)，識(shí)別Bouc-wen模型中的未知參數(shù)。測(cè)試儀器采用拉伸疲勞試驗(yàn)機(jī)，固定阻尼器的內(nèi)筒，夾持阻尼器的外筒進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)。考慮到阻尼器的工作方式，將輸入定為外筒的位移，測(cè)試阻尼器外筒的速度和阻尼力。輸入位移采用正弦函數(shù)，頻率與幅值如表1所示。

表1 正弦輸入的頻率與幅值

滾筒洗衣機(jī)懸掛結(jié)構(gòu)通常在轉(zhuǎn)速180 rpm～240 rpm區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生共振，其轉(zhuǎn)頻為3 Hz～4 Hz，因此選擇在該頻率段進(jìn)行研究。

測(cè)試結(jié)果如圖3所示，圖3 a）和b）分別為阻尼力-位移曲線，阻尼力-速度曲線。從圖3 a）和b）可以看出，80 N阻尼器的阻尼力-位移曲線形狀近似平行四邊形，阻尼器外筒位移為0處對(duì)應(yīng)阻尼力的最大值，此時(shí)阻尼器內(nèi)、外筒相對(duì)速度約為60 mm/s，當(dāng)阻尼器內(nèi)、外筒相對(duì)速度約為0 mm/s時(shí)，位移約為3 mm。

其次，在阻尼器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，阻尼力的大小、方向雖然會(huì)發(fā)生變化，但這一轉(zhuǎn)變過(guò)程持續(xù)時(shí)間較短。圖3 a）中位移-2 mm到2 mm區(qū)間曲線的斜率趨近于0 N/mm和圖3 b）中速度在-40 mm/s到40 mm/s區(qū)間曲線的斜率趨近于0 N/(mm/s)，可以看出當(dāng)阻尼力接近或達(dá)到最大值60 N時(shí)，位移和速度的變化對(duì)阻尼力值影響比較小。

圖3 阻尼器特性曲線

另外，從阻尼力-速度曲線可得，阻尼力的最大值不會(huì)隨相對(duì)速度的增加而產(chǎn)生明顯變化，說(shuō)明在該頻率下，阻尼力表現(xiàn)出的黏滯性較小，阻尼力以摩擦力為主。

2 Bouc-wen模型辨識(shí)

Bouc-wen模型是1階非線性微分方程，被廣泛應(yīng)用于描述非線性遲滯系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[7]：

其中，F(xiàn)代表阻尼力，c代表阻尼系數(shù)，k代表剛度系數(shù)，z代表遲滯項(xiàng)，α、A、β、γ是與遲滯項(xiàng)z相關(guān)的常系數(shù)，n為滯回曲線光滑程度系數(shù)。但實(shí)際上摩擦片的彈性形變相當(dāng)小，剛度項(xiàng)可忽略不計(jì)，式（1）亦可改寫(xiě)為：

2.1 遺傳算法辨識(shí)

遺傳算法是一種模擬生物遺傳進(jìn)化機(jī)理的自適應(yīng)啟發(fā)式概率性迭代全局搜索算法。遺傳算法會(huì)隨機(jī)選擇初始模型參數(shù)并對(duì)其進(jìn)行編碼，選擇其中計(jì)算結(jié)果最優(yōu)的參數(shù)隨機(jī)組合，再?gòu)闹羞x擇計(jì)算結(jié)果最優(yōu)解。通過(guò)反復(fù)操作，得到全局最優(yōu)的模型參數(shù)。與傳統(tǒng)搜索算法不同，遺傳算法無(wú)需利用目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值作為輔助信息確定搜索方向，只需要將目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為適應(yīng)度函數(shù)值，即可確定下一步搜索方向。

本文采用二進(jìn)制對(duì)表2中六個(gè)參數(shù)進(jìn)行編碼，形成染色體，參數(shù)的初始值取值范圍見(jiàn)表2，參數(shù)的值隨機(jī)選取。初始種群數(shù)量為50，迭代計(jì)算次數(shù)為120。

通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)賦予每條染色體一個(gè)適應(yīng)度值，選擇初始種群中適應(yīng)度值較大的染色體作為父代。通過(guò)兩點(diǎn)交叉法，將兩個(gè)父代染色體的部分基因互換生成兩個(gè)新的子代染色體，設(shè)置變異率為2%。

選擇遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，m是數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，F(xiàn)exp代表實(shí)驗(yàn)得到的阻尼力值，F(xiàn)cal代表數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的阻尼力值。目標(biāo)函數(shù)求取e的最小值，即實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值誤差最小。對(duì)e進(jìn)行歸一化得到適應(yīng)度值。

以頻率3 Hz振幅3 mm為例，Bouc-wen模型的辨識(shí)參數(shù)如表2所示。遺傳算法辨識(shí)結(jié)果如圖4所示。

圖4 遺傳算法辨識(shí)結(jié)果

表2 Bouc-wen模型的辨識(shí)參數(shù)

通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比可得，遺傳算法的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)試值的曲線基本吻合，阻尼力的最大值誤差較小，但在位移和速度最大值處的誤差比較大。

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

Bouc-wen模型需要辨識(shí)的參數(shù)數(shù)量比較多，具有較強(qiáng)的非線性，運(yùn)用遺傳算法求解參數(shù)，仍需要帶入Bouc-wen模型求解一階微分方程，因此求解速度相對(duì)緩慢。針對(duì)以上問(wèn)題，可以基于測(cè)試數(shù)據(jù)，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模。已知阻尼器的阻尼力與其位移和速度呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，將位移和速度作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入，將測(cè)試得到對(duì)應(yīng)的阻尼力值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想跟蹤目標(biāo)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為阻尼力逼近值。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)在于無(wú)需求解微分方程，計(jì)算方法更加簡(jiǎn)單。

本文采用徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它是一種單隱層三層前饋網(wǎng)絡(luò)，可以加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度并避免陷入局部最小問(wèn)題。將阻尼器內(nèi)、外筒的相對(duì)位移和速度定義為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，傳遞給隱含層。隱含層為多個(gè)高斯基函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出為阻尼器阻尼力。RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

隱含層高斯基函數(shù)hj公式如下：

其中，Cj為高斯基函數(shù)的中心值，bj為高斯基函數(shù)的寬度值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層如下，其中Wj為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

選擇目標(biāo)函數(shù)如下：

當(dāng)E的值無(wú)限趨近于0時(shí)，表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值逼近于實(shí)驗(yàn)測(cè)試值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的Cj、bj以及Wj三個(gè)參數(shù)需要通過(guò)算法迭代調(diào)整，公式如下[8]：

其中，η、σ分別為學(xué)習(xí)速率、動(dòng)量因子。

網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)取6，取Cj、bj以及Wj三個(gè)參數(shù)的初始值Cj=[0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5]，寬度值bj=[5, 5, 5, 5, 5, 5]，權(quán)值Wj=[0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5]T，η取0.35，σ取0.45。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近結(jié)果

從仿真結(jié)果可得，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的初期誤差較大，但是能夠迅速逼近測(cè)試值，令計(jì)算值與測(cè)試值基本重合。即使在位移和速度最大值處，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近效果也會(huì)比遺傳算法更好。

3 結(jié)論

本文研究了遺傳算法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在洗衣機(jī)阻尼器建模中的應(yīng)用，結(jié)果表明，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整中心值、寬度值和權(quán)值，更快得到合適的參數(shù)值，且逼近效果比遺傳算法更好。另外，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算方式更加簡(jiǎn)單，與遺傳算法相比，無(wú)需求解微分方程，因此求解速度更快，可以減輕洗衣機(jī)整機(jī)仿真的計(jì)算難度。

阻尼器通過(guò)滑動(dòng)摩擦抑制洗衣機(jī)運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)，但是阻尼器的滑動(dòng)速度與摩擦產(chǎn)生的熱量會(huì)影響阻尼器的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。而本文在對(duì)阻尼器建模計(jì)算的過(guò)程中，主要考慮阻尼器低速滑動(dòng)的工況，并未考慮阻尼器的滑動(dòng)速度以及溫度對(duì)阻尼系數(shù)的影響。后續(xù)可以展開(kāi)相關(guān)的研究。