受約束混凝土的應力應變模型研究綜述★

徐秀鳳，孔子昂，王洪寶

(1.青島黃海學院建筑工程學院，山東 青島 266427； 2.浙江綠城建筑設計有限公司青島分公司，山東 青島 266071)

1 概述

約束混凝土的單軸應力應變關系是預測梁、柱、剪力墻等結構構件承載力、變形能力和耗能能力等力學性能的基礎。隨著纖維模型等主要受材料單軸應力應變關系影響的數值分析模型的發展及性能化抗震設計方法的計算需要，對約束混凝土的本構要求越來越高，尤其是對構件進入軟化階段后的力學行為的預測越來越受到重視。

通過對素混凝土應力應變關系的研究，研究者們積累了豐富的應力應變模型，在這些模型的基礎上結合試驗研究，提出了很多適用于受約束混凝土的應力應變模型。早期的研究者們(1980年前)通過試驗研究了影響應力應變模型的相關參數，隨后建立了許多適用于普通混凝土的應力應變模型，隨著高強混凝土的應用，在1990年以后掀起了對高強混凝土力學性能研究的高潮，提出了很多適用于高強混凝土的應力應變模型，并重點研究了構件在受力過程中箍筋應力的變化，少數研究者也做了將普通混凝土和高強混凝土應力應變模型進行統一的嘗試，與此同時人們也逐漸認識到試驗測量方法存在的缺陷可能導致應力應變模型的失真，提出了CDZ模型(Compressive Damage Zone Model)來描述應力應變曲線的軟化段。2000年以后，依據充分的試驗數據，很多研究者都提出了適用性較廣的箍筋約束下的普通混凝土和高強混凝土單軸受壓應力應變模型，同時這一時期，隨著新的約束技術的發展，研究者把更多精力投入到鋼管混凝土和FRP約束混凝土的研究中，并根據被動約束的特點，建立了橫向應變與軸向應變和側向混凝土應力狀態之間的關系，從而提出適用于任何約束材料約束下的混凝土應力應變模型。

2 約束應力應變模型早期的發展(1980年前)

早在1903年，Considere[1]第一個指出了側向約束作用可以提高混凝土構件軸向抗壓強度。隨后研究者們開展了一系列主動和被動圍壓下的混凝土試驗，并提出了相應的模型，但這些模型大多采用小比例試驗的結果，即采用邊長或直徑小于200 mm的構件的試驗結果。同時，隨著研究的深入，研究者們對約束混凝土破壞機理的加深，模型考慮的控制參數也在逐漸增多，模型也得到了逐步改進。1955年，Chan[2]將體積配箍率作為唯一影響參數，提出了三線性的應力應變關系。1964年，Roy和Sozen[3]通過小比例試驗研究認為矩形箍筋并不能提高峰值承載力，并提出了包括體積配箍率和短邊尺寸與箍筋間距之比的兩參數雙線性應力應變關系。1967年，Soliman和Yu[4]通過小比例偏心軸壓試驗，提出了由上升拋物線段、水平直線段和下降直線段組成的模型，模型中考慮了箍筋截面積、箍筋間距及截面長寬比等三個參數。1971年，Sargin[5]通過對小比例軸心受壓和偏心受壓試驗的結果進行回歸，給出了峰值應力應變的經驗公式，同時采用一個解析式的形式表達了模型的上升段和下降段，模型中考慮了體積配箍率、箍筋間距與截面寬度之比、鋼筋強度及混凝土強度等參數。同年，Kent和Park[6]根據研究并結合前人的試驗結果提出了新的應力應變模型，模型中開始關注約束混凝土的殘余應力(0.2fc)，這一特征為很多研究者所接受，但由于研究基礎的局限性，作者認為矩形箍筋對峰值應力的提高并沒有作用。1977年，Vallenas等[7]在Kent-park的基礎上對模型進行了修正，考慮了箍筋對峰值應力的提高作用，并考慮了眾多參數對模型的影響，模型的參數包括體積配箍率、縱筋配筋率、箍筋和縱筋直徑、箍筋間距與截面寬度之比、鋼筋和混凝土強度等。

可以發現，在箍筋約束的混凝土應力應變模型早期的發展過程中，由于試驗方法設備的限制，以及對約束混凝土破壞機理的認識不足，對影響參數的研究并不充分，提出的模型均存在一些缺陷，但隨著研究的深入，提出的應力應變模型也得到了逐步完善。

3 約束應力應變模型1980年后的發展

1982年，Sheikh等[8]首次在模型中考慮了受約束縱筋的分布對約束效果的影響，并依據試驗提出了一種全新的受矩形箍筋約束的混凝土的應力應變模型。作者通過箍筋在約束中的拱行為定義了有效約束面積，并將強度提高系數定義為有效約束面積、箍筋強度及體積配箍率的函數。通過24組正方形短柱軸心受壓試驗標定了分別控制約束平面內外有效約束面積大小的參數α，θ，以及由箍筋強度和體積配箍率共同決定的未知量β，γ。Sheikh等提出的曲線類型與試驗曲線仍有較大差距，不能代表約束混凝土應力應變曲線的普遍特征，如文中對εs2的預測某些情況下誤差可達40%以上。同時由于試驗設備的測量范圍的限制，所選取的試驗未取得ε0.85(構件承載力下降到0.85倍峰值應力所對應的應變)后的試驗數據，因此未能對約束混凝土全應力應變曲線做出有效估計，但對于有效約束面積的定義方法為許多研究者所采納，對于推動進一步研究具有積極作用。隨后Sheikh分別在1986年和1992年通過偏心加載的研究和不同軸壓水平下的偏心加載的研究對1982年的模型進行了改進，以考慮應變梯度效應及軸壓水平對應力應變模型的影響。

1988年，Mander等[9]提出了一種比之前所有模型適用范圍都廣的約束混凝土應力應變模型，模型中考慮了箍筋形式(螺旋箍、圓形與方形的普通箍筋)、截面形狀(圓形、正方形、矩形面)、加載速率、加載模式(單調、循環加載)、縱筋的分布等影響因素，討論了動力因素對于模型的影響，并通過能量守恒的方法計算了當第一根箍筋斷裂時的混凝土壓應變。在計算有效約束應力時，Mander基本沿用了Sheikh的方法，但Mander的模型基于Popovics提出的曲線，抓住了試驗曲線的主要特征，更符合實際情況；Sheikh在標定峰值應力應變等關鍵參數時，完全采用了數據回歸的方法，表現出明顯的局限性；而Mander在計算峰值應力時采用了William-Warnke五參數破壞面，該準則已被驗證具有很高的精度；在計算下降段控制參數εcu時，采用能量守恒的方法，即箍筋屈服的能量等于約束與未約束混凝土曲線之間的面積與縱筋屈服時能量之和，采用此方法得到的計算結果與試驗結果非常吻合；峰值應變采用1928年Richat提出的經驗公式，該公式也被廣泛應用[10]。然而，Mander模型仍具有一定的局限性，如：動力影響系數基于的試驗數據較少，適用程度仍需進一步驗證；對于矩形截面，約束峰值應力需要查圖，較為煩瑣，對此，Saatcioglu[11]，Cusson[12]和Paultre等[13]在此基礎上均提出了簡化的計算方法；模型只適用于普通箍筋和普通強度混凝土，且假設峰值應力時箍筋已經達到屈服，這已被證明存在高估試驗曲線的風險；同時，在計算εcu時，Mander提出的單位體積鋼筋的屈服耗能對于我國所采用的鋼筋是否適用應做進一步的研究。

1992年，Saatcioglu和Razvi基于Hognestad[14]的模型提出了同時適用于軸心和偏心加載下普通強度混凝土的單軸受壓應力應變模型，通過采用相同應變速率下的素混凝土參數以考慮應變速率的影響，該模型與Sheikh和Mander模型最大的不同在于，作者提出了等效均布側向力的概念，而未采用通過考慮拱行為定義的有效約束系數，通過試驗回歸的方法標定了系數k2對平均側向應力進行折減，從而得到等效均布側向應力。1995年，Saatcioglu[15]通過一組試驗進一步驗證了軸心加載模型對偏心加載試驗的適用性，結果表明通過軸心加載得到的應力應變模型同樣適用于偏心加載試驗，并指出是由于以往的模型不夠精確導致了軸心模型應用于偏心加載試驗時的失效。然而，由于基于試驗的數據較少，對于應變速率的影響Saatcioglu模型可能考慮不足，同時由于基于Hognestad曲線，Saatcioglu模型在初始剛度上也存在一定誤差。

研究者們在計算峰值狀態下的有效側向壓力時，往往假設箍筋已經達到屈服。1992年，Madas和Elnashai[16]指出，箍筋約束屬于被動約束，縱向峰值應變與箍筋屈服未必同時發生。因此，作者基于各向同性的三維模型，并通過泊松比的變化來考慮混凝土變形中的非線性，提出了一種偽三維模型，由于泊松比和軸向應變的相互影響，需要通過增量形式計算受約束的應力應變關系。分析指出，作者提出的應力應變模型具有同3D模型一樣的精度，但計算時間與Mander模型相當，并且比Ahmad[17]模型具有更廣的適用性。

1995年，Cusson和Paultre首次建議采用fle/fco作為有效約束指標，并將其作為模型和關鍵參數標定中的唯一指標，這一參數也為許多后續的研究者所采納。同時，Cusson和Paultre在估計箍筋應力方面做了進一步的簡化，Madas和Elnashai提出的箍筋應力計算方法的缺點在于需要增量計算，因此模型的表達形式是隱式的，不易于應用，因此作者提出只需要計算峰值應力下箍筋的應力，并假設在εcu時箍筋已經屈服，以此得到顯式的應力應變關系。Cusson和Paultre提出的模型可以在素混凝土與約束混凝土之間互相轉換，進一步提高了模型的適用范圍。但該模型除了對峰值應力預測誤差10%以內之外，對其他的參數的預測仍有改進空間，同時，迭代方法被證明當初始值與實際應力相差較遠時將無法收斂[18]。

4 箍筋約束下高強混凝土的應力應變關系

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5 結語

本文介紹了箍筋約束普通混凝土和高強混凝土應力應變本構模型的發展歷程，其中包括Sheikh模型、Mander模型、Hognestad模型、Paultre模型等典型的混凝土本構關系模型的性能特點和適用范圍等，可為工程設計時的選用及相關研究工作提供參考。