壓縮感知理論在蝗災監測中的應用*

熊曉婷, 許學杰, 李素文

(淮北師范大學 物理與電子信息學院,安徽 淮北 235000)

0 引 言

2020年1月份,非洲爆發了數十年來最大的蝗蟲災害,本次蝗災具有蟲群規模大、入侵面積廣、蔓延速度快和破壞力強等特點,給當地的農業生產活動帶來了巨大的損害,因此設計一套遠程抗災診斷系統,用于實時監測受災現場、了解蝗蟲遷徙和變異情況很有必要。為了及時掌握最新災情,需要大量的蝗蟲圖像數據充實蝗蟲圖片庫,這給系統的采集、存儲和傳輸工作帶了很大的壓力,如何高倍率的壓縮數據和高精度的重構圖像對于遠程監控農業病害領域具有重要意義。

壓縮感知理論[1,2]是一種突破奈奎斯特采樣定理的新理論,該理論以稀疏表示為前提條件,以測量矩陣為中間橋梁,以重構算法為關鍵技術,通過數量遠小于傳統理論所需的采樣值即可實現信號的重建[3,4]。近些年,將壓縮感知理論應用于監測農業病害的研究一直是熱點。文獻[5]提出了基于切換字典策略的壓縮算法,在監測林區小氣候時比單一字典算法的重構誤差更??；文獻[6]將基于K-SVD字典的壓縮感知方法應用在林區微環境監測,比DFT字典具有更優的重構性能；文獻[7]結合擬牛頓法和最速下降法的優點對光滑L0范數算法進行了改進,提高了SAR重構圖像的分辨率；文獻[8]根據余弦距離判別將相近的字典原子聚類,利用塊結構字典重構信號,降低了重構誤差。盡管這些研究針對某些局部問題進行了改進,但總體重構精度較低。基于此,本文首先構造新型觀測矩陣,通過改善觀測性能為后續重構打下良好的基礎,接著針對CoSaMP算法選擇原子和刪除原子標準的局限性,提出一種基于參數u的改進算法,最后通過仿真對比實驗驗證了該算法的優越性。

1 算法描述

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知理論指出,如果信號是稀疏的或者在某個變換域是稀疏的,則該信號可以通過與稀疏基不相關的觀測矩陣從高維空間投影到低維空間,達到壓縮的目的,若觀測性能良好,低維信號應該包含原始信號足夠的關鍵信息,此時可以通過求解一個最優化問題高概率恢復原始信號。由此可見,稀疏性、觀測矩陣和重構算法是壓縮感知的三個重要步驟。

(1)

式中 若α僅有K個原子不為零或者絕對值明顯大于其他原子,且K遠小于N,則稱x在該變換域上是稀疏的,即K為稀疏,ψ為稀疏基。

現實中要處理的大部分信號都不具備稀疏性,因此選擇合適的稀疏基顯得尤為重要。常用的稀疏基有離散傅里葉變換基、離散余弦變換基、離散小波變換基等,本文采用小波變換基作為稀疏基,因為小波基具有較好的能量聚集特性,能使信號的能量集中在少數小波系數上,從而達到稀疏的效果[9]。

2)觀測矩陣。假設一個長度為N的K-稀疏離散信號x,該信號在觀測基Φ上得到的觀測結果為

y=Φx

(2)

式中Φ為觀測矩陣,大小為M×N,y為觀測值,大小為M×1,該值不破壞原始信號的關鍵信息,才能為后續的精確重構打下基礎。觀測矩陣分為隨機型矩陣和確定型矩陣,隨機型矩陣觀測性能好但硬件實現難,確定型矩陣易于實現但觀測性能較差,典型的觀測矩陣有隨機高斯矩陣、部分傅里葉矩陣、伯努利矩陣等[10,11]。

3)重構算法。得到M個觀測值后,根據觀測矩陣和重構算法實現信號的精確重構是壓縮感知的最后一步,本質上是通過求解一系列優化問題實現對原始信號的精確重構。

重構算法主要分為兩大類,1)凸優化算法,2)貪婪算法。凸優化算法計算復雜度大,重構時間長,貪婪算法則復雜度低,重構速度快,且精度較高,應用也最為廣泛。常用的貪婪算法有：正交匹配追蹤算法(OMP),正則化正交匹配追蹤算法(ROMP),壓縮采樣匹配追蹤算法(CoSaMP)等[12]。

1.2 改進的觀測矩陣

在眾多觀測矩陣中,高斯隨機觀測矩陣因其極大的隨機性,使得它和大多數信號的相關性都很低,所需的觀測數偏小,但隨機性強帶來計算復雜、性能不穩定和硬件實現難等問題；部分哈達瑪觀測矩陣觀測性能較好,但需要對行列進行取舍,應用范圍有限；伯努利觀測矩陣隨機性較強,且較容易實現,但觀測性能一般。本文結合多種觀測矩陣的構造思想,在伯努利矩陣的基礎上設計了一種新觀測矩陣,取長補短,在保持原觀測矩陣優點的同時進一步提高觀測性能,設觀測矩陣的尺寸為M×N,整個設計分為構造階段和篩選階段兩部分,在篩選階段,以相關性作為迭代的標準,根據前后兩次觀測矩陣相關性之差自適應更改步長,重新調整觀測矩陣結構,若相關性小于一定閾值,則停止迭代。

相關性是衡量矩陣性能的一個重要準則[13],數學描述如下

(3)

構造階段：初始值i=1,μ0=0。

1)得到一個不大于觀測矩陣行數的一半且是2的整數次冪的值k0,令過渡值k=k0-w0,其中w0為步長,初始值為0;

2)分別構造隨機矩陣H0和伯努利矩陣H1,尺寸分別是(M-k)×k和M×(N-k);

3)構造元素僅有+1和-1的正交矩陣H2,尺寸為k×k;

4)將H0和H2組合成矩陣H3,尺寸為M×k;

5)將H3和H2組合成矩陣H,尺寸為M×N,即為暫時的新觀測矩陣；

6)計算新觀測矩陣的相關性μi。

篩選階段：若μi小于閾值,停止迭代。若μi大于上一次迭代的μi-1,則正向調整步長w0,否則反向調整步長w0,返回步驟(1),自適應改變過渡值k,多次迭代得到相關性最低的觀測矩陣即為最終的新觀測矩陣。

1.3 改進的重構算法

在各種經典算法中,OMP算法是一種常用的貪婪算法,該算法收斂速度快且易實現,但魯棒性差,在有噪聲干擾時不能保證精確重構；ROMP算法采用正則化的思想對OMP算法進行了改進,重構效率高,但其每次迭代選擇的原子會一直保留在候選集,可能導致錯誤累計,重構效果不穩定,而CoSaMP算法采用回溯的原則,前一次迭代選擇的錯誤原子可能在下一次迭代中被剔除,從而提高了性能的穩定度,該算法的基本思想是：先選擇2K(K為信號稀疏度)個原子,確保候選集中有至多3K個原子,再剔除至多2K個原子,留下的K個原子即為此次迭代得到的支撐集。該算法采用了回溯的思想保證每次迭代時選擇原子的準確性,但在每次迭代中,選擇與剔除原子所依據的標準不一樣且具有一定局限性,即觀測矩陣各列和殘差的內積值并不能完全反映出二者之間的關系,完全依賴于它導致重構精確度受到偏壞的影響,基于此,本文提出了一種改進的算法：uCoSaMP算法,在原子選擇階段,引進修正因子u,它反比于觀測矩陣各列與殘差的差值的二范數,利用它自適應地修正殘差與觀測矩陣各列的相關性,提高初選原子候選集的正確率；在原子剔除階段,分為兩步：先采用最小二乘法將候選集尺寸縮小到2K,再利用信號和殘差的加權值獲得最終的支撐集,使得選擇和剔除原子的標準趨同,具體的算法流程如下：

輸入：傳感矩陣A,觀測向量y,稀疏度K,參數u。

初始化：r0=y,Δ0=?,A0=?,t=1。

1)計算v=uATrt-1,u為相關于觀測矩陣原子和殘差的參數,選擇v中2K項最大的元素,這些元素對應的列序號q構成集合Q0,即q∈Q0；

2)合并Δt=Δt∪Q0,At=At∪aq；

6)更新rt=y-Atktk；

7)計算前后兩次迭代殘差差值的二范數‖rt-rt-1‖2,若超過一定閾值,則修正參數u,并返回步驟(1),否則At中對應的列記為Atk=Atk′,對應A的列序號記為Δtk=Δtk′,At=Δtk,并返回步驟(1);

8)若‖rt‖2小于一定閾值,則終止迭代,否則繼續迭代。

2 試驗分析與比較

2.1 評估標準

對于兩幅質量差別較大的圖像,人眼能夠直觀地辨別出圖像質量的好壞,若人眼較難辨別時,可以采用峰值信噪比PSNR作為評估指標,它是基于圖像重建前后原子均方誤差的度量標準,表示為

(4)

式中max為圖像數據的峰值,MSE為均方誤差,定義為

(5)

式中M×N為圖像的尺寸,A(i,j)和B(i,j)為圖像重構前后的數據。

2.2 實驗結果

2.2.1 基于不同觀測矩陣的實驗結果

本實驗中,測試圖像分別選用紋理和細節豐富的近景蝗蟲和遠景蝗蟲圖像,稀疏基采用小波稀疏基,重構算法采用CoSaMP算法,觀測矩陣分別采用高斯(Gaussian)隨機觀測矩陣、伯努利(Bernoulli)觀測矩陣和新(New)觀測矩陣,比較三種觀測矩陣在各采樣率(M/N)下的實驗結果如表1所示。

表1 基于不同觀測矩陣的重構性能比較 dB

從表1可以看出,新觀測矩陣的觀測性能具有較大的優勢,即重構后的輸出信噪比高于高斯隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣,當壓縮比下降時,優勢則進一步增大,當壓縮比達到0.5時,高斯隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣的觀測性能開始惡化,而新觀測矩陣依然保持較好的觀測性能,當壓縮比達到0.2時,三者的觀測性能都急劇下降,因為此時的觀測值中已經丟失了較多原始信號的關鍵信息。圖1和圖2分別給出了蝗蟲近景原圖和蝗蟲遠景原圖及其在采樣率為0.5時不同觀測矩陣下的重構結果,從圖中可以很直觀地看出,新觀測矩陣的重構圖像質量較高,重構圖的紋理清晰平滑,線條連續,而另外兩種矩陣的重構圖像質量較低,顆粒較多。綜合表1、圖1和圖2,要達到相同的重構效果,新觀測矩陣的壓縮比可以相對減小,所需存儲的數據更少,抗噪聲性能更強。

圖1 蝗蟲近景圖和基于不同觀測矩陣的重構圖像(M/N=0.5)

圖2 蝗蟲遠景圖和基于不同觀測矩陣的重構圖像(M/N=0.5)

2.2.2 基于不同重構算法的實驗結果

本文實驗先采用小波稀疏基作稀疏處理,再采用新觀測矩陣進行觀測降維,最后采用原始CoSaMP算法和本文提出的uCoSaMP算法分別對近景蝗蟲和遠景蝗蟲圖像進行重構,比較兩種算法在各采樣率(M/N)下的實驗結果如表2所示。

表2 基于不同重構算法的重構性能比較 dB

從表2可以看出,兩種算法都能成功重構原始圖像,但uCoSaMP重建圖像的PSNR值明顯高于原始算法,當壓縮比為0.6以上時,這種優勢并不突出,但隨著壓縮比的減小,PSNR值越來越小,重構性能差距反而有增大的趨勢,當采樣率達到0.2時,近景圖峰值信噪比提高了10 %。圖3、圖4和圖5、圖6分別給出了蝗蟲近景和遠景原圖在采樣率為0.5和0.3時,基于不同重構算法的重構圖像,從圖中可以直觀對比出兩種算法的優劣：當采樣率較高時,兩種算法重構的圖像質量均較優,蝗蟲和周邊環境的重要特征均得到良好的保持,細節區域沒有出現明顯模糊的現象；當采樣率較低時,兩種重構圖像均出現了不同程度的惡化,但uCoSaMP重建圖像的顆粒狀現象和模糊程度要弱一些,整體的圖像質量高于CoSaMP算法,這也說明了改進算法的魯棒性更強。

圖3 蝗蟲近景原圖和基于不同重構算法的重構圖像(M/N=0.5)

圖4 蝗蟲遠景原圖和基于不同重構算法的重構圖像(M/N=0.5)

圖5 蝗蟲近景原圖和基于不同重構算法的重構圖像(M/N=0.3)

圖6 蝗蟲遠景原圖和基于不同重構算法的重構圖像(M/N=0.3)

3 結 論

本文將壓縮感知理論應用到蝗蟲災害監測中,首先根據隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣的特點構造新觀測矩陣,通過新觀測矩陣降維得到的觀測值具備更優的重構潛能,然后引進修正因子,自適應修正殘差和備選原子間的相關性,通過改良初選原子標準提高原子候選集的準確度,在剔除原子階段分兩步逐一淘汰錯誤原子,使得最終的支撐集得到進一步的優化。實驗結果表明：改進算法重構蝗蟲圖像的質量更高,在低采樣率下,近景蝗蟲圖像相比于原始算法提高了10 %,且改進算法的魯棒性更強,在監控農業病害領域具有良好的應用價值。自然圖像一般不具備稀疏特質,而稀疏性對重構性能的影響較大,因此如何進一步有效地稀疏化圖像是接下來研究的重點。