基于極值搜索算法的四旋翼姿態PID控制*

許海洋， 郭玉英

(1.西南科技大學 信息工程學院，四川 綿陽 621010； 2.特殊環境機器人技術四川省重點實驗室，四川 綿陽 621010)

0 引 言

四旋翼無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)因其操作簡便、可靠性強、勤務性好等特點，而被廣泛用于航拍、搜救、險情巡視、火星探測等領域。此外，簡單的結構、新穎的外形、低廉的成本、卓越的性能以及獨特的飛行控制方式使其逐步成為國際上新的研究熱點。

由于四旋翼無人機多變量、非線性、欠驅動、強耦合的特性，四旋翼姿態控制是最主要的研究難點。目前四旋翼姿態控制主要比例—積分—微分(proportional integral differential,PID)[1]、反步法[2]、自適應控制[3]、滑?？刂芠4]、自抗擾控制[5]等多種控制算法使用較多。PID 控制方法以原理簡單、適應性強、魯棒性較好而廣泛應用于四旋翼無人機姿態控制。經典PID控制器存在的快速性與超調之間的矛盾受增益參數影響較大，而四旋翼時刻處于多變的環境當中，PID 控制器的參數整定存在一定的難度，通常需要經驗豐富的技術人員在線整定。四旋翼強非線性和強耦合性導致了其精確模型難以獲得，而非線性控制多基于精確的模型。極值搜索(extreme seeking,ES)算法是一種不基于模型，在閉環系統內迭代地修改代價函數的參數使其達到極小值的尋優方法。通過代價函數最小值的搜索確定控制器參數的最優選取。文獻[6]采用擾動ES算法估計路面附著系數。文獻[7]采用ES算法與PID控制方法相結合設計飛艇姿態控制器。文獻[8]提出了基于反演設計的塊控型極值搜索系統一體化控制方法。

為了降低模型不確定性對系統產生的影響以及對PID控制器參數自適應調整，本文將ES算法與PID相結合應用于四旋翼姿態自適應控制，方便飛行過程中對PID參數實時進行自整定，提高系統的動態性能，以期獲得一種結構簡單、易于實現而又具有較好控制效果的四旋翼姿態控制方法。

1 四旋翼無人機飛行原理與模型建立

四旋翼結構簡圖如圖1，四個旋翼分布在十字形支架的四個頂點，依次編號為1,2,3,4。飛行時，一組(1,3)旋翼始終逆時針旋轉，另一組(2,4)旋翼始終順時針旋轉。如此，當四個旋翼轉速相等時，四旋翼將會懸?；蛘咦鲐Q直方向的線運動。增大(減小)一組旋翼轉速的同時等效的減小(增大)另一組旋翼地轉速，四旋翼產生偏航運動。減小一組中一個旋翼的轉速同時等效地增大同組另一個旋翼的轉速，四旋翼產生俯仰或滾轉運動。

圖1 四旋翼結構簡圖

忽略空氣阻力和陀螺效應，四旋翼做小角度運動，歐拉角的角速度[,,]與機體角速度[,,]之間的轉換矩陣R為

(1)

根據牛頓—歐拉運動方程，四旋翼無人機動力學模型描述為

(2)

式中 [φ,θ,ψ]為飛行器三個姿態的歐拉角度，分別代表滾轉角、俯仰角和偏航角；[X,Y,Z]為飛行器質心在慣性坐標系中的位置坐標；l為飛行器半徑長度，表示每個旋翼末端到飛行器重心的距離；m為四旋翼無人機的負載總質量；Ii為圍繞每個軸的轉動慣量。

2 控制系統設計

2.1 總體控制方案

由式(1)和式(2)可以看出四旋翼各通道具有強耦合性，當無人機做小角度飛行如懸停狀態時，X通道和Y通道與姿態角的耦合性比較強。四旋翼的控制是通過調節四個旋翼的轉速實現的。一般通過兩個控制回路對四旋翼實現控制。內環控制四旋翼的姿態，外環控制四旋翼的位置。四旋翼整體控制框圖如圖2。

圖2 四旋翼整體控制框圖

2.2 ES-PID控制器設計

ES算法是由Tsien教授于1954年提出的一種不依賴于被控對象模型的尋優方法。ES算法從誕生至今大致有如下幾個發展方向：單變量ES算法理論、多變量ES算法理論、滑模ES算法理論、斜率搜索算法理論、離散時間ES算法理論、退火回歸神經網絡ES算法理論，以及應用極值算法進行PID參數整定[9]。以位置環高度控制為例，設計ES-PID控制器，ES-PID控制框圖如圖3。

圖3 ES-PID控制框圖

圖3中，r(t)和y(t)分別為參考信號和輸出信號，J(θ(k))為待優化目標函數，θ(k)為待尋優參數。ES算法通過不斷調整PID控制器的參數，使給定的代價函數最小化，從而搜索到最合適的PID參數。該方法使用誤差平方積分準則函數ISE為代價函數J(θ)[10]

(3)

θ=[Kp,Ti,Td]

(4)

式中e(t,θ)=r(t)-y(t,θ)為閉環輸入與輸出的誤差，θ為PID控制器參數。離散ES原理圖如圖4。

圖4 離散ES原理

圖4為基本極值搜索循環,通過探測信號的擾動獲取目標函數的梯度信息，并沿著負梯度方向進行搜索，尋找目標函數的極值,然后根據該梯度信號對控制器參數的最優值不斷進行在線搜索。

2.3 ES算法收斂性證明

假設J(θ)具有如下二次形式

(5)

式中f″>0(在不失一般性的情況下)，若f″<0，則將圖4中k代換為-k。算法的目的是讓θ*-θ盡可能地小，使J(θ)逼近它的極小值f*。由圖4，用表示未知最優輸入θ*的估計值

(6)

表示估計誤差，因此

θ-θ*=asinωt-

(7)

將式(3)代入式(1)有

(8)

展開表達式(8)，并利用基本三角恒等式2sin2ωt=1-cos 2ωt得到

(9)

(10)

然后通過與sinωt相乘來解調該信號，得到

(11)

由于θ*是一個常量，所以·=-·，通過積分環節-k/s可濾除cos 2ωt、sin 3ωt,sinωt等高頻，因此

(12)

(13)

由式(13)，當時kf″>0，系統穩定。通過選擇合適的增益k和振幅a，經過不斷迭代即可得到→0，亦或說收斂到θ*。

3 仿 真

根據前文數學模型，在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，所使用的系統參數設置：四旋翼飛行器質量m為2 kg，軸距l為0.2 m，重力加速度g為9.8 N/kg,繞X軸的轉動慣量I1為1.25 kg·m2,繞Y軸的轉動慣量I2為1.25 kg·m2,繞Z軸的轉動慣量I3為2.5 kg·m2。

3.1 基于ES算法的參數整定

以高度控制器為例，用ES算法整定PID控制器的三個參數(Kp，Ti，Td)。ES算法代價函數和PID控制器參數整定仿真結果如圖5。

圖5 代數函數J(θ)和PID參數整數仿真結果

從圖5可以看出代價函數J(θ)隨著參數整定過程逐漸收斂到0;PID控制器參數在4 s左右逐漸穩定到9.8,0.05,0.2。

3.2 不同控制方法的控制效果比較

本文將經典PID、ES-PID、初始化參數ES-PID三種控制方法對四旋翼無人機姿態的控制效果進行對比來驗證ES算法參數優化與參數整定能力。基于四旋翼數學模型、ES原理以及3.1節(四旋翼無人機系統參數)進行仿真實驗。由于無人機欠驅動的特點，不能同時對6個自由度進行控制，因此，本文通過對[x，y，z]和偏航角ψ進行跟蹤，同時保證另外兩個角度θ和φ為0°。設定無人機起始位置狀態[x，y，z]=[0，0，0]，起始角度狀態ψ=0，期望目標位置[x，y，z]=[1，1，2]，期望目標姿態[ψ,θ,φ]=[0,0,0]，仿真結果如圖6所示。

圖6 四旋翼無人機定點懸停位置與姿態仿真

從圖6(a)仿真結果來看，圖7(a1)～(a3)顯示的位置狀態的超調量σ(經驗調參PID)>5 %>ES-PID的σ大于初始化參數ES-PID的σ，響應時間均在4 s左右達到期望目標。從圖6(b)仿真結果看出：圖(b1)顯示的俯仰角波動范圍在0.55°～-0.25°之間；圖(b2)顯示的滾轉角波動范圍在-0.55°～0.25°。之間;圖(b3)顯示的偏航角變化較小，幾乎為0。

圖6(a)和圖6(b)穩定時間都在4s左右，穩態誤差為0，三個姿態響應速度較快，滿足四旋翼無人機飛行時需要穩定、快速的要求。在控制性能上ES-PID比傳統經驗調參PID有一定提高，經過參數初始化的ES-PID在快速性上比經驗調參PID和ES-PID有了提高。

3.3 ES算法參數變化的影響

探測信號的選取以及濾波器設計是ES算法中最重要的部分，而探測信號幅值α與濾波器增益k對代價函數優化有重要的影響，因此本文對這兩個參數進行了研究。α和k越大，對于算法初值選取的范圍就越大，ES算法的收斂域隨著α和k的增大而減小，選取探測信號幅值和濾波器增益時首先要保證系統的穩定性。

選擇三組參數分別為[α,k],[α/2,k],[α,k/5]，其中α=0.1，k=1 000。得到如圖7所示代價函數仿真曲線。

圖7 不同參數的代價函數曲線

由圖7可以看出，隨著探測信號幅值α和濾波器增益k的減小，代價函數收斂速度變慢，ES算法收斂變慢，但不同參數下的代價函數最終都收斂于一個趨于0的值。由此可見，雖然ES算法收斂速度受探測信號幅值和濾波器增益影響，但收斂結果不受其影響，因此,參數選擇對系統模型的依賴性不大，方便了控制器的設計。

4 結 論

本文針對四旋翼無人機姿態控制中PID控制器參數整定較困難，采用ES算法對PID控制器參數進行整定。為了驗證ES算法的有效性，通過MATLAB/Simulink仿真驗證證明，ES算法能夠很好地進行參數整定與尋優。相比于傳統PID控制，ES-PID控制算法對四旋翼無人機姿態控制效果更好。同時研究了ES算法中探測信號和濾波器參數對系統影響。