一種CEEMD-TCN的BDS軌道誤差預報算法

崔東東，呂廣涵，張恒璟，陳 醒，施 克，郝安華

一種CEEMD-TCN的BDS軌道誤差預報算法

崔東東1，呂廣涵2，張恒璟3，陳 醒1，施 克1，郝安華1

（1. 中國能源建設集團遼寧電力勘測設計院有限公司，沈陽 110000；2. 中鐵水利水電規劃設計集團有限公司，南昌 330029；3. 遼寧工程技術大學測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000）

針對長短期記憶網絡（LSTM）對利用動力學模型預報的北斗衛星導航系統（BDS）軌道預報誤差值擬合效果不優的問題，設計一種互補集合經驗模態分解與時間卷積網絡結合（CEEMD-TCN）的BDS軌道誤差預報算法。該算法首先采用互補集合經驗模態分解（CEEMD），對BDS軌道預報誤差序列進行降噪處理，接著對降噪后的信號進行重構，最后將重構得到的軌道誤差序列作為數據訓練集進行時間卷積網絡（TCN）訓練。以地球靜止軌道（GEO）、傾斜地球同步軌道（IGSO）、中圓地球軌道（MEO）上的三顆衛星的軌道誤差序列作為研究對象，分別采用CEEMD-TCN、TCN、CEEMD-LSTM、LSTM四種補償模型對衛星軌道預報在、、方向上的誤差進行短、中長期預報。實驗結果表明：CEEMD-TCN相較于其他三種方法對BDS軌道誤差預報效果最好，且CEEMD-TCN與CEEMD-LSTM中長期預報效果分別優于對應的TCN和LSTM，說明對中長期軌道誤差序列進行降噪處理有利于提高預報精度。

北斗衛星導航系統；軌道誤差預報；補償模型；時間卷積網絡；預報精度

0 引言

衛星軌道預報是精密定軌、自主定軌以及航天任務執行的基礎，在衛星軌道優化設計與防災減災中起到重要的作用。高精度長弧長的衛星軌道預報模型，對于星間鏈路的質量保證和衛星的自主導航有重要的意義[1]。應用衛星的大地測量技術目前主要包括海軍導航衛星系統（navy navigation satellite system, NNSS）、衛星測高（satellite altimetry, SA）、甚長基線干涉測量（very long baseline interferometry, VLBI）、衛星激光測距（satellite laser ranging, SLR）、全球定位系統（global positioning system, GPS）以及全球衛星導航系統（global navigation satellite system, GNSS）等[2]。

傳統的軌道預報手段基于動力學模型，隨著國內外學者對衛星軌道誤差規律的分析研究，目前的預報手段主要利用動力學模型和誤差補償模型相結合的方法。在軌道預報誤差的規律分析以及預報方面：文獻[3]針對隨著建模誤差和地面雷達跟蹤誤差的識別，跟蹤和預測一段時間后衛星將在何處的非線性問題，將擴展卡爾曼（Kalman）濾波器應用于數值積分中，驗證了使用補償模型的方法在數值積分軌道預報中的可行性和有效性。2010年，文獻[4]提出了基于神經網絡補償模型的動力學模型，闡述了整個混合模型的原理流程，驗證了神經網絡作為補償模型的可行性，量化了該方法在短、中、長期軌道預報誤差中的貢獻率。2011年，文獻[5]發現基于神經網絡的動力學模型在取不同初值的情況下，對中長期軌道預報具有影響，說明了神經網絡模型基于數據的優良特征學習功能，也強調了在神經網絡的學習中訓練數據的重要性。2016年，文獻[6]在選定神經網絡補償模型不變的基礎上，驗證其對地球同步軌道預報精度的改進效果，引出了基于神經網絡補償模型的動力學模型軌道預報對不同高度軌道的補償效果問題。2020年，文獻[7]提出了總體經驗模態分解（ensemble empirical mode decomposition, EEMD）和長短時記憶單元（long-short term memory, LSTM）模型組合的EEMD-LSTM 預報模型，并量化了其對不同類型的軌道預報的改進效果。對于較長的時間序列或較為復雜的序列 LSTM 的“門限”設計，也無法完全記憶所有的歷史數據中的信息，況且其設計的思路中，會對判斷無用信息進行遺忘[8]。時間卷積網絡（temporal convolutional networks, TCN）由于其卷積網絡層層之間是有因果關系的，這意味著不會有“漏接”的歷史信息或是未來數據的情況發生，且 TCN可以處理任意長度的時間序列。2020年，文獻[9]探索了TCN和LSTM作為補償模型在軌道誤差預報中的作用，實驗結果表明：與LSTM和其他經典機器學習方法相比，使用TCN網絡模型可以得到更好的預測結果。

本文首先選取武漢大學衛星導航定位技術研究中心的多模GNSS實驗跟蹤網（multi-GNSS experiment, MGEX）精密星歷作為實驗標準數據，并將其按照時間順序進行拼接，將動力學模型積分所得的軌道值與標準數據的差作為軌道的預報誤差。接著利用互補集合經驗模態分解（complementary ensemble empirical mode decomposition, CEEMD）對軌道的預報誤差序列進行降噪處理，并利用自相關函數理論判定噪聲與信號模態分量的分界點，重構軌道預報誤差序列。最后對不同的深度學習模型分別進行超參數的優選，構建LSTM、CEEMD-LSTM、TCN、CEEMD-TCN四種不同的補償模型，并驗證不同模型對不同軌道的各種積分弧長的補償效果。

1 軌道動力學模型與補償模型理論

本節首先對軌道動力學模型中常見的數值積分理論進行介紹，接著敘述補償模型中的噪聲與信號模態分量分解點判斷的方法，最后重點闡述CEEMD-TCN混合補償模型的構建方法。

1.1 數值積分理論

地球慣性坐標系中的在軌衛星，即受攝二體的運動方程為

當積分變量為軌道根數（、、、、、）時，其計算公式為

綜上可知，受攝二體的運動方程為一個二階微分方程，由于攝動力函數比較復雜，高精度的衛星軌道通常通過數值積分的方法獲得。數值積分的分類方法有許多種，可分為：單步法和多步法、定步長方法和變步長方法、一般型和求和型、顯式方法和隱式方法、第Ⅰ類方法和第Ⅱ類方法。

1.2 自相關函數絕對值均值變點理論

文獻[10]進行自相關函數絕對值均值變點理論的敘述，具體如下：

本文采用歸一化自相關函數計算噪聲與信號模態分量的自相關函數值，歸一化函數的表達式為

本文以BDS軌道預報誤差時間序列信號經過CEEMD分解得到的固有模態函數（intrinsic mode function, IMF）分量歸一化自相關函數值絕對值均值作為一個獨立序列，利用式（9）計算出該序列的變點值，即為噪聲與信號模態分量的分界點，實現了噪聲與信號模態分量分界點的客觀判定。

1.3 基于CEEMD-TCN補償的混合模型

在TCN模型中，本文采取將時間序列依次逐元素預測的迭代方法，上一神經元的輸出也作為相連接的下一神經元的輸入。因此依次連接的神經元受前一個神經元的影響，這一特點導致模型對序列中的噪聲在預測過程中不斷積累，進而對預測精度產生越來越大的影響。

基于復雜問題分治的思想和深度神經網絡逐漸優化的策略，采用CEEMD將復雜的動力學模型軌道預報誤差時間序列分解為多個相對更簡單、變化更有規律的IMF分量，通過自相關函數絕對值均值變點理論去除以噪聲為主導的IMF分量，然后對信號為主導的IMF分量進行重構，并將重構后的數據輸入TCN模型進行訓練。

利用CEEMD將軌道預報誤差時間序列分解變換得到一系列頻率由高到低依次排列的IMF分量，通過自相關函數絕對值均值變點理論篩選并刪除以噪聲為主導的IMF分量，然后對其余各子時間序列分別建立TCN神經網絡補償模型進行預報，進而重構得到最終預報值。具體步驟如下：

1）BDS軌道預報誤差時間序列CEEMD分解。選取高斯白噪聲幅值的標準差為0.2（文獻[12]認為：當運算次數為100次時，大部分情況下噪聲幅值的標準差為信號標準差的0.2倍），加到動力學模型的軌道預報誤差時間序列中，對復合序列進行100次CEEMD分解得到一系列不同頻率的IMF分量。

2）BDS軌道預報誤差時間序列去噪。基于自相關函數絕對值均值變點理論，尋找噪聲為主導模態和信號為主導模態的分界點，并刪除以噪聲為主導模態的IMF分量。

3）建立BDS軌道預報誤差時間序列的TCN補償模型。對以信號作為主導模態IMF分量進行重構并建立TCN補償模型，對所需預測的數據進行降噪處理并進行預報。

2 技術路線及BDS軌道預報

2.1 技術路線

本文技術路線如圖1所示。

圖1 本文技術路線

2.2 BDS軌道預報

實驗對象選取地球靜止軌道（geostationary orbit，GEO）衛星中位于地球靜止軌道160°E、傾角為0.6°的PC04衛星，傾斜地球同步軌道（inclined geosynchronous orbit，IGSO）衛星中傾角為55.9°的PC07衛星，中圓地球軌道（medium Earth orbit，MEO）衛星中傾角為56.5°的PC12衛星。本文以協調世界時（universal time coordinated，UTC）2018-03-01 T 12:00:00作為軌道預報的初始時刻，對三顆衛星進行弧長30 d的軌道數值積分，并將所得軌道時間序列與精密星歷的軌道數據二者作差對比。三顆衛星的三軸誤差結果分別如圖2至圖4所示，其中縱軸分別代表軸向、軸向、軸向誤差，縱軸單位為m；橫軸都代表積分弧長，其單位為d。

圖2 GEO衛星30 d預報三軸誤差結果

圖3 IGSO衛星30 d預報三軸誤差結果

圖4 MEO衛星30 d預報三軸誤差結果

分析圖2至圖4可得：在地心慣性坐標系下，MEO衛星數值積分的三軸誤差振蕩頻率明顯高于GEO衛星和IGSO衛星的誤差振蕩頻率，MEO的三軸誤差發散總體趨勢大體類似于GEO衛星和IGSO衛星的三軸誤差。三顆衛星的軌道預報在5 d以內是最小的，5 d之后逐漸發散，15 d以后發散情況急劇加深，軌道預報誤差越來也大，說明隨著預報天數的增加，BDS軌道預報的誤差值也越來越大。后續的補償模型主要針對軌道預報誤差的時間序列特性進行研究。

3 四種補償模型對比實驗

3.1 BDS軌道預報誤差序列去噪

3.1.1 EMD與CEEMD分解

本文分別驗證了EMD、CEEMD在BDS軌道預報誤差序列中的去噪效果，并在此基礎上研究能量譜密度與自相關函數絕對值均值理論在噪聲判別上的可行性，最終重構出效果更好的序列數據。

鑒于文章篇幅有限，本文以GEO衛星（PC04）UTC 2018-02-22 T 12:00:00為軌道預報初始時刻的動力學模型，外推30天軸向預測值與標準軌道值作差，所得到的軌道預報誤差序列分別采用EMD和CEEMD方法進行分解實驗，得到各IMF分量和趨勢項如圖5所示。

分析圖5（a）和圖5（b）的分解結果可得：EMD分解BDS軌道預報誤差序列會出現明顯的模態混疊現象[13]，如圖5（a）中IMF2、IMF3、IMF4、IMF10均存在這種現象；CEEMD分解BDS軌道預報誤差序列，解決了EMD分解會產生模態混疊這問題，故本文BDS軌道預報序列采用CEEMD進行分解，并在此基礎上借助能量密度準則和自相關函數絕對值均值變點理論進行噪聲模態分量與信號模態分量分界點的判定。

3.1.2 噪聲識別

根據圖5 CEEMD分解得到的結果，分別采用能量密度準則和自相關函數絕對值均值變點理論解算IMF分量的能量密度值和歸一化自相關函數[14]絕對值均值，其結果分別如圖6（a）和圖6（b）所示。

分析圖6（a）和圖6（b）兩種噪聲與信號模態分量分界點的判斷結果可知：能量密度準則在IMF2和IMF3分量的能量密度值基本一樣，即選擇分界點為2或者3都有一定的理論性，容易造成將有用信號刪除的可能性，說明利用能量密度準則判定信號與噪聲的分界點具有一定的不穩定性。對于圖6（b）利用自相關函數絕對值均值變點理論判斷結果而言，其在IMF3分量上的歸一化自相關函數值絕對值均值達到最大，即可準確判斷出噪聲與信號分量的分界點為3（3之后的均為信號分量，3之前為噪聲分量）。本文其他衛星軌道預報誤差序列經CEEMD分解后，采用自相關函數絕對值均值變點理論進行噪聲與信號的判定，對判斷出的信號分量進行重構，作為CEEMD-LSTM和CEEMD-TCN補償模型的實驗數據。

圖6 噪聲與信號分界點判定

3.2 BDS軌道誤差預報

針對動力學模型軌道預報誤差，分別采用LSTM神經網絡補償模型、CEEMD-LSTM神經網絡補償模型、TCN神經網絡補償模型、CEEMD-TCN神經網絡補償模型對動力學模型進行補償。實驗選用BDS中的GEO衛星（PC04）、IGSO衛星（PC07）和MEO衛星（PC12），分別做短期、中長期的軌道預報。鑒于篇幅的原因，本文僅給出GEO衛星在四種不同補償模型下的實驗結果和對比分析。

3.2.1 精度評價指標

3.2.2 短期預報實驗分析

短期預報將UTC 2018-03-01 T 12:00:00作為軌道預報的初始時刻，取預報前15 d動力學模型的軌道誤差作為訓練數據。將訓練數據70%的數據作為訓練集訓練模型，30%的數據作為驗證集來輔助模型的構建。分別利用LSTM神經網絡補償模型、CEEMD-LSTM神經網絡補償模型、TCN神經網絡補償模型、CEEMD-TCN神經網絡補償模型外推7 d的預測波形作為補償波形。

利用4種補償模型得到預報結果如圖7所示，預報精度指標見表1和表2。

表1 各神經網絡補償模型短期預報精度統計（GEO衛星）

表2 各神經網絡補償模型短期預報精度評價改進率統計（GEO衛星）

分析圖7和表1可得：無論使用何種補償模型補償，其效果都會隨著預測弧長的增加越來越差，但又因為模型的不同造成相同弧長的補償效果不同。由表2可知，在軸方向CEEMD-LSTM比LSTM的改進率提高了2.05%，CEEMD-TCN比CEEMD-LSTM提高了10.13%，TCN比CEEMD-TCN提高了3.15%；在軸方向CEEMD-LSTM比LSTM的改進率提高了2.49%， CEEMD-TCN比CEEMD-LSTM提高了11.34%， TCN比CEEMD-TCN提高了0.02%；在軸方向CEEMD-LSTM比LSTM的改進率提高了3.19%，TCN比CEEMD-LSTM提高了10.58%，CEEMD-TCN比TCN提高了1.59%。

3.2.3 中長期預報實驗分析

中長期預報將UTC 2018-03-01 T 12:00:00作為軌道預報的初始時刻，取預報前15 d動力學模型的軌道誤差作為訓練數據。將訓練數據70%的數據作為訓練集訓練模型，30%的數據作為驗證集來輔助模型的構建，分別利用LSTM神經網絡補償模型、CEEMD-LSTM神經網絡補償模型、TCN神經網絡補償模型、CEEMD-TCN神經網絡補償模型對GEO（PC04）衛星在、和軸方向分別進行8～28 d的中長期預報。

利用四種補償模型得到預報結果如圖8所示，預報精度指標見表3和表4。

分析圖8和表3可得：無論使用何種補償模型補償，其效果都會隨著預測弧長的增加越來越差，但又因為模型的不同造成相同弧長的補償效果不同。與短期預報不同的是對BDS軌道預報誤差序列采用去噪的策略在中長期的預報中明顯地抑制了誤差的快速發散。

圖8 GEO衛星中長期預報的三軸誤差

表3 各神經網絡補償模型中長期預報精度統計（GEO衛星）

表4 各神經網絡補償模型中長期預報精度評價改進率統計（GEO衛星）

在、、三個軸向的中長期預報中，各種混合補償模型都明顯地抑制了單純的動力學模型誤差。由表4可知，在軸方向TCN比LSTM的改進率提高了2.11%，EEMD-LSTM比TCN提高了1.4%，EEMD-TCN比EEMD-LSTM提高了0.28%；在軸方向TCN比LSTM的改進率提高了2.56%，EEMD-LSTM比TCN提高了0.62%，EEMD-TCN比EEMD-LSTM提高了1.32%；在軸方向TCN比LSTM的改進率提高了6.31%，EEMD-LSTM比TCN提高了2.38%，EEMD-TCN比EEMD-LSTM提高了4.99%。

4 結束語

本文對BDS的軌道預報進行了研究，主要涉及動力學模型的數值積分和軌道預報誤差補償模型的建立兩方面內容。本文提出了基于不同深度學習混合補償模型對動力學軌道預報進行補償的預報方法，通過預測值與真值的對比，驗證了該方法的有效性。本文的主要結果如下：

1）驗證了EMD在BDS軌道誤差序列分解中存在模態混疊現象，選擇CEEMD進行BDS軌道誤差數據分解。針對能量譜密度準則判別中信噪主導模態不穩定的現象，利用自相關函數絕對值均值變點理論判定噪聲與信號模態分量的分界點，實現了準確的判定。

2）驗證了短期和中長期的預報中TCN網絡作為補償模型比LSTM具有更好的補償性。實驗結果表明，相較于LSTM神經網絡，TCN能夠更完備地學習到軌道誤差的變化特性，對動力學模型軌道預報誤差能夠很好地擬合。且在中長期預報中，對BDS軌道預報誤差序列進行去噪，再利用TCN和LSTM網絡作為補償模型相較于未去噪的BDS軌道預報誤差序列能夠提高預測精度，抑制了軌道預報誤差的快速發散。

[1] 吉長東, 朱錦帥, 黎虎, 等. BDS衛星鐘差短期預報的LSTM算法[J]. 導航定位學報, 2021, 9(1): 44-52.

[2] 趙昂, 楊元喜, 許揚胤, 等. GNSS單系統及多系統組合完好性分析[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2020, 45(1): 72-80.

[3] VERGEZ P, SAUTER L, DAHLKE S. An improved Kalman filter for satellite orbit predictions[J]. The Journal of the Astronautical Sciences, 2004, 52(3): 359-380.

[4] 董澤政. 基于神經網絡的混合模型軌道預報方法研究[D]. 南京: 南京航空航天大學, 2010.

[5] 周建華, 楊龍, 徐波, 等. 一種導航衛星中長期軌道預報方法[J]. 測繪學報, 2011, 40(增刊1): 39-45.

[6] 黃金, 張正強, 張宇喆, 等. 基于神經網絡模型的地球同步衛星高精度軌道預報[J]. 空間科學學報, 2016, 36(1): 83-91.

[7] 吉長東, 張萌, 王強. 北斗衛星軌道預報方法分析[J]. 測繪科學, 2020, 45(7): 18-25.

[8] 李世璽, 孫憲坤, 尹玲, 等. 一種基于混沌理論和LSTM的GPS高程時間序列預測方法[J]. 導航定位學報, 2020, 8(1): 65-73.

[9] HEWAGE P, BEHERA A, TROVATI M, et al. Temporal convolutional neural (TCN) network for an effective weather forecasting using time-series data from the local weather station[J]. Soft Computing, 2020, 24(7): 16453-16482.

[10] 崔東東, 張恒璟, 程鵬飛. 一種自相關函數絕對值均值變點的去噪方法[J]. 測繪科學, 2019, 44(12): 42-49.

[11] 張瑞紅. 基于局部多項式回歸的時間序列變點檢測[D]. 南京: 南京大學, 2016.

[12] WU Z H, HUANG N E. A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method[EB/OL].[2021-05-28].https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.2003.1221.

[13] 張恒璟, 程鵬飛. 基于經驗模式分解的濾波去噪方法研究進展[J]. 測繪通報, 2014(2): 1-4.

[14] 王婷. EMD算法研究及其在信號去噪中的應用[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學, 2010.

[15] 謝春橋, 匡翠林. 顧及空間相關性的GNSS坐標序列插值比較[J]. 導航定位學報, 2020, 8(4): 85-92.

A BDS orbit error prediction algorithm based on CEEMD-TCN

CUI Dongdong1, LYU Guanghan2, ZHANG Hengjing3, CHENG Xing1, SHI Ke1, HAO Anhua1

（1. China Energy Engineering Group Liaoning Electric Power Survey & Design Institute Co. Ltd., Shenyang 110000, China;2. China Railway Water Conservancy & Hydropower Planning and Design Group Co.Ltd., Nanchang 330029, China；3. School of Geomatics, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning 123000, China）

In order to solve the problem that the fitting effect of Long-term and Short-term Memory Network (LSTM) on the orbit prediction error of BeiDou navigation satellite System (BDS) predicted by dynamic model is not good, a BDS orbit prediction error prediction algorithm based on the combination of Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition and Time Convolution Network (CEEMD-TCN) is designed. Firstly, the BDS orbit prediction error sequence is denoised by using the Complementary Set Empirical Mode Decomposition (CEEMD), then the denoised signal is reconstructed, and finally the reconstructed orbit error sequence is used as the data training set to train the Time Convolution Network (TCN). Taking the orbit error series of GEostationary Orbit (GEO), Inclined GeoSynchronous Orbit (IGSO) and Medium Earth Orbit (MEO) as the research object, the short-, medium-, and long-term prediction of,, anddirections of satellite orbit prediction error is carried out by using CEEMD-TCN, TCN, CEEMD-LSTM, and LSTM compensation models respectively. The experimental results show that CEEMD-TCN is better than the other three methods in BDS orbit error prediction, and CEEMD-TCN and CEEMD-LSTM are better than the corresponding TCN and LSTM in medium and long-term orbit error prediction, which indicates that the noise reduction of medium and long-term orbit error series is beneficial to improve the prediction accuracy.

BeiDou navigation satellite system;orbit error prediction; compensation model; time convolution network;prediction accuracy

P228

A

2095-4999(2022)02-0075-09

崔東東，呂廣涵，張恒璟，等. 一種CEEMD-TCN的BDS軌道誤差預報算法[J]. 導航定位學報, 2022, 10(2): 76-84.(CUI Dongdong, LYU Guanghan, ZHANG Hengjing, et al. A BDS orbit error prediction algorithm based on CEEMD-TCN[J].Journal of Navigation and Positioning, 2022, 10(2): 76-84.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20220210.

2021-07-07

崔東東（1993—），男，甘肅隴南人，碩士，助理工程師，研究方向為空間大地測量數據處理與時空數據分析建模。