集中載荷作用下四邊固接矩形薄板的剛度計算方法

摘要：? 為研究集中載荷作用下四邊固接矩形薄板的剛度，將矩形彈性薄板等效成雙向正交板條，以板條寬與板寬的比和載荷作用位置為參數，研究板的長寬比與板剛度的關系。以實際工程中常見的剪力墻尺寸為例，給出計算板剛度的擬合公式，并進行有限元驗證，證明擬合公式誤差較小。

關鍵詞：? 四邊固接; 薄板; 剛度; 雙向正交板條

中圖分類號：? TU392; TB115.1文獻標志碼：? B

Stiffness calculation method of rectangular thin plate with

four edges fixed under concentrated load

SU Zhe

（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： To study the stiffness of rectangular thin plates with four edges fixed， the rectangular elastic thin plate is equivalent to a two-way orthogonal strips. Taking the strip width to plate width ratio and load action position as parameters， the relationship between length-width ratio and plate stiffness is studied. Taking the common shear wall size in practical engineering as examples， the fitting formula for calculating plate stiffness is given. The fitting formula is verified by finite element， and the error of the fitting formula is small.

Key words： four edges fixed; thin plate; stiffness; twoway orthogonal strips

作者簡介： 蘇哲（1990—），男，山東東營人，碩士研究生，研究方向為鋼結構受力，（E-mail）1959885624@qq.com0引言

高層建筑塔式起重機需要通過附著裝置連接到建筑結構上，當起重機與剪力墻相連時，剪力墻要給起重機附著裝置以支撐約束，而剪力墻剛度將直接決定支撐力大小，因此有必要提供一種計算剛度的簡便算法。

董文堂[1]通過納維葉解法推導均布載荷作用下四邊固支矩形薄板撓度解析表達式，且提出將均布載荷換為集中載荷的方法，但并未展開分析。鐘陽等[2]利用辛幾何法，通過Hamilton正則方程，得出均布載荷作用下四邊固支彈性矩形薄板撓度表達式。肖閃閃等[3]將四邊固接板分解為四邊鉸接、兩對邊分別加彎矩、另兩對邊分別簡支等3種形式，通過疊加3種形式的撓度，推導集中載荷作用下四邊固支正交各向異性矩形板線性彎曲的撓度求解公式。樂金朝等[4]利用廣義簡支邊界條件，應用疊加法給出用于求解任意載荷作用下四直邊上任意點支承矩形板彎曲問題的基本解。黃炎[5]建立彈性薄板彎曲的基本微分方程一般解，由邊界條件直接求解的方式給出矩形彈性薄板彎曲問題的解析解。陳際豐等[6]利用有限元軟件與規范中面板在集中載荷作用下的內力值相比較，對偏置載荷作用下彎矩計算寬度的限制條件進行修改。楊成勇等[7]從納維葉解法出發，以帶補充項傅里葉級數為函數，推導出四邊矩形板不同支承情況下的撓度表達式。米筠[8]運用功的互等法求解四邊固定彈性地基矩形薄板的撓曲方程。

上述文獻要么與研究問題間接相關，要么計算過程繁瑣，對于求集中載荷作用下四邊固接板撓度的簡單實用公式研究暫未發現，因此，本文研究旨在給出集中載荷作用下四邊固接薄板剛度的簡便公式，使塔機附著裝置安裝等實際工程的剛度計算更方便。

1計算模型簡化

選擇Ansys軟件進行有限元模擬，單元選擇不考慮剪切變形的SHELL63殼單元，混凝土標號選擇常用的C40，其彈性模量為3.25×10⁴MPa，泊松比為0.3，集中載荷為10 kN。選擇3 000 mm×3 000 mm×300 mm、2 800 mm×2 000 mm×200 mm、3 600 mm×2 000 mm×200 mm、4 000 mm×2 000 mm×200 mm的板與經典板殼理論文獻[9]中表37的板中心撓度進行對比，最大誤差為0.236%，誤差較小。

將四邊固接矩形彈性薄板簡化為2條兩端固接的雙向正交板條（見圖1），使板一點處撓度的求解簡化為兩條正交板條撓度疊加的求解。令二者撓度值相等，假設等效的2條正交板條寬度均為B，由結構力學知識計算出載荷任意作用位置處等效的板條寬度[10]。

2板條寬度

3參數設置

3.2載荷作用位置

由大量有限元模擬分析結果可知，隨著載荷作用位置的不同，板條寬與板寬比u在板中的分布具有一定規律性，u與載荷作用位置之間的關系可用u與c/l₂表示。根據板的對稱性，可取板的1/4分析，載荷作用位置示意見圖2。

4不同長寬比板的剛度計算公式

4.1u分布規律研究

經過對不同長寬比（l₁/l₂）板u值的大量模擬分析發現，當板為方形板時，u值既關于雙軸對稱，又關于對角線對稱，且在板中部的一定方形區域內，u在某個值附近變動，之后隨著板長寬比的增大，u值穩定的區域變小。當板的長寬比達到一定值時，u值穩定的區域消失，而沿板長方向u值穩定在某個數值的范圍越來越大。此時，u值的分布特點為沿板寬方向，越靠近板邊緣數值越小。在一定范圍內，u值沿板長方向變化不大，因此可將板按長寬比分不同情況進行擬合。對于長寬比為[1.0， 1.3）的板， u值在板中部變化不大，可將板的長寬比作為自變量，將有限元模擬計算的u值作為因變量進行公式擬合;長寬比為[1.3， 3.0]的板，則將c/l2作為自變量，將u值作為因變量進行公式擬合。

根據載荷作用位置等效得到u的分布規律，對長寬比為[1.0～3.0]范圍內的板，分3種情況進行分析。根據樓層中常見剪力墻尺寸，選取3 000 mm×3 000 mm×300 mm、3 000 mm×2 000 mm×200 mm、5 000 mm×2 000 mm×200 mm的板對公式進行對比驗證。由于四邊固接板為雙軸對稱，故可取1/4板的代表性點進行驗證。

4.2分情況擬合及驗證

4.2.11.0≤（l₁/l₂）<1.3的情況

4.2.21.3≤（l₁/l₂）<2.0的情況

度公式計算值與有限元值吻合較好。圖4～5矩形虛線內陰影區域對稱位置的剛度可由板的對稱性求得。考慮到常見剪力墻尺寸及塔機附著錨固構件尺寸，圖3～5板中矩形虛線以外區域相對于整個板尺寸較小，可近似看成剛度無窮大。

5結論

將四邊固接矩形彈性薄板簡化成雙向正交板條是可行的，且擬合的剛度計算公式較為簡便實用。不同長寬比的板可分別按照不同的公式計算剛度。本文擬合的剛度計算公式精度可靠，可用于計算實際問題。參考文獻：

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[4]樂金朝， 劉雄， 谷勝利， 等. 集中載荷作用下四直邊上任意點支承矩形板的彎曲[J]. 鄭州工業大學學報（自然科學版）， 2001， 22（4）： 5-9. DOI： 10.3969/j.issn.1671-6833.2001.04.002.

[5]黃炎. 矩形薄板彈性彎曲問題的一般解析解法[J]. 應用數學和力學， 1987， 8（8）： 689-696.

[6]陳際豐， 章少蘭， 仲維亮. 集中載荷作用下板的彎矩計算[J]. 水運工程， 2021（10）： 184-187. DOI： 10.3969/j.issn.1002-4972.2021.10.033.

[7]楊成勇， 馬文輝， 韓薛果， 等. 局部均布載荷作用下四邊支承矩形板的內力計算[J]. 湖南大學學報（自然科學版）， 2020， 47（11）： 114-119. DOI： 10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2020.11.013.

[8]米筠. 集中載荷作用不同邊界條件下彈性地基板的彎曲[D]. 秦皇島： 燕山大學， 2016.

[9]TIMOSHENKO S， WOINOWSKY-KRIEGER S. 板殼理論[M]. 《板殼理論》翻譯組，譯. 北京： 科學出版社， 1977： 217.

[10]朱慈勉. 結構力學[M]. 北京： 高等教育出版社， 2004.