板狀結(jié)構(gòu)自發(fā)大變形問題的三維數(shù)值分析1)

張默涵 李錄賢

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

(西安交通大學(xué)飛行器環(huán)境與控制陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

引言

自然界中的物體有著豐富多彩的形貌,其中又以樹葉、花朵、海帶等板狀結(jié)構(gòu)最具代表[1-4].板狀結(jié)構(gòu)是指完全相同的面狀結(jié)構(gòu)在厚度方向堆砌而形成的厚度尺寸比面內(nèi)尺寸相比較小的一類特殊三維結(jié)構(gòu)[5].與一般三維結(jié)構(gòu)相同的是,板狀結(jié)構(gòu)因內(nèi)部生長或外部環(huán)境等因素也存在內(nèi)部應(yīng)力,并通過文獻(xiàn)[6-7]沿葉片主脈方向等間距切割樹葉的實(shí)驗(yàn)得到了證實(shí).但與一般三維結(jié)構(gòu)不同的是,板狀結(jié)構(gòu)更易通過變形模式轉(zhuǎn)變釋放內(nèi)部應(yīng)力而具有復(fù)雜的平衡構(gòu)型[8-9],例如大豆的豆莢在張開后具有螺旋扭曲的形狀[10-11],這正是板狀三維結(jié)構(gòu)的特殊之處.

從能量角度考察,板狀結(jié)構(gòu)的變形遵守系統(tǒng)總能量最小原理;從形貌角度考察,因總是選取剛度較小、易于變形的模式,板狀結(jié)構(gòu)常常形成更復(fù)雜的形狀,這正是大自然中花朵和樹葉具有迷人而復(fù)雜圖案的物理機(jī)制[12].該機(jī)制可為工業(yè)設(shè)計(jì)和制造提供新的靈感:文獻(xiàn)[13-14]通過釋放柔性板狀結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)變分別得到形狀復(fù)雜的器官芯片和各類特定形狀的飛行器;文獻(xiàn)[15-16]通過外界刺激使水凝膠制成的板狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部發(fā)生不均勻變形,進(jìn)而驅(qū)動水凝膠運(yùn)動;文獻(xiàn)[17]通過釋放粘接在一起的雙層板狀結(jié)構(gòu)因變形不同而產(chǎn)生的內(nèi)部應(yīng)力制備了納米管.這種機(jī)制還可解釋生物生命活動中的許多現(xiàn)象,例如團(tuán)藻內(nèi)細(xì)胞片的內(nèi)陷[18]、人類雙眼皮的形成[19]等.

自然界和人工系統(tǒng)中許多物體的變形特征是,在無外界載荷作用或幾何約束時,結(jié)構(gòu)受內(nèi)部存在的不協(xié)調(diào)幾何因素激發(fā)而發(fā)生自發(fā)大變形[5,20],同時產(chǎn)生殘余應(yīng)力.該問題是一個經(jīng)典的非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)問題,為此發(fā)展了三種基本理論[21]:第一種理論是將殘余應(yīng)力處理為一個物理場、并表征其特性;第二種理論是將變形梯度分解為生長或外部環(huán)境引起的不協(xié)調(diào)變形梯度與彈性松弛變形梯度之積;第三種理論是將應(yīng)變分解為生長或外部環(huán)境引起的不協(xié)調(diào)應(yīng)變與彈性應(yīng)變之和.由于大變形問題的非線性和三維問題的復(fù)雜性,借助于有限元方法優(yōu)勢的數(shù)值分析可望成為該類問題求解的一種有效途徑.

實(shí)際上,板狀結(jié)構(gòu)因厚度尺寸比面內(nèi)尺寸明顯較小,一般將其轉(zhuǎn)化為薄板問題加以研究.例如,Efrati 等[20]采用曲線坐標(biāo)系,以目標(biāo)度量張量描述薄板局部無應(yīng)力時的期望距離,度量張量g描述變形后結(jié)構(gòu)的實(shí)際距離,推導(dǎo)了“不協(xié)調(diào)彈性理論”,并經(jīng)退化建立了非歐板理論.但是,由于曲線坐標(biāo)系的引入及內(nèi)部應(yīng)力場分布的復(fù)雜性,運(yùn)用板理論可以求解的板狀結(jié)構(gòu)自發(fā)大變形問題僅限目標(biāo)度量張量為簡單圓錐曲線函數(shù)[5,20]的幾個實(shí)例.

本文借助于有限元分析,對板狀結(jié)構(gòu)的自發(fā)大變形問題進(jìn)行研究.

1 基本理論

1.1 自發(fā)大變形問題描述

對于因生長、外部環(huán)境等因素而具有內(nèi)部應(yīng)力的板狀結(jié)構(gòu) Ω,建立如圖1 所示的笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng),其中o-x-y為板狀結(jié)構(gòu)的中面,z為板狀結(jié)構(gòu)的離面方向.結(jié)構(gòu)的上下面均自由;側(cè)面邊界 Γ 分為給定位移(本質(zhì)) 邊界條件u(x,y,z)=u0(x,y) 的邊界 Γu和零外力(自然) 邊界條件 σij(x,y,z)nj(x,y)=0 的邊界ΓS,其中 σij為柯西應(yīng)力,nj為板狀結(jié)構(gòu)側(cè)面的外法向余弦.另外,板狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部還存在一個沿厚度不變的初始不協(xié)調(diào)應(yīng)變場(x,y),它是結(jié)構(gòu)發(fā)生自發(fā)大變形而產(chǎn)生內(nèi)部應(yīng)力的動因,也是本文所研究自發(fā)大變形問題的特色.對于邊界 ΓS上沿厚度方向作用非零外力 σij(x,y,z)nj(x,y)=ti(x,y) 的情形,可等效為相應(yīng)內(nèi)部應(yīng)力場產(chǎn)生的自發(fā)大變形問題加以研究.

圖1 板狀結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 A plate-like structure and the coordinated system

其中Vi j為左柯西-格林變形張量.

結(jié)合柯西應(yīng)力場 σij(x,y,z),結(jié)構(gòu)變形能E可表示為

本文研究的自發(fā)大變形問題,是一個典型的大撓度、小應(yīng)變問題,根據(jù)文獻(xiàn)[23],材料仍服從胡克定律,本構(gòu)關(guān)系可表示為

其中G=Y/(1+2ν)和λ=νY/[(1+ν)(1-2ν)] 為拉梅常數(shù),Y和ν 為材料的楊氏模量和泊松比.

由于無外力做功,結(jié)構(gòu)的總勢能等同于系統(tǒng)的變形能,于是,結(jié)構(gòu)將在變形能最小原理支配下發(fā)生自發(fā)大變形.對于這樣一個非線性三維大變形問題,本文運(yùn)用有限元方法加以分析.

1.2 板狀結(jié)構(gòu)的特性分析

1.2.1 板狀結(jié)構(gòu)的變形模式分析

為了說明板狀結(jié)構(gòu)可能的變形模式,考察面內(nèi)尺寸為 2L、厚度為h的方形板狀結(jié)構(gòu).假定從中切出邊長為L的方形塊,這樣就形成一個U 型結(jié)構(gòu),如圖2(a).接下來,在方形槽中插入一個材料相同,三邊長為L、第四邊(外邊)長為L0(＞L) 的梯形塊,使邊長為L的三邊與U 型結(jié)構(gòu)的相應(yīng)邊粘在一起.這樣,U 型結(jié)構(gòu)會因L0＞L而張開,同時梯形塊將受到壓縮,如圖2(b)所示;但是,如果板狀結(jié)構(gòu)足夠薄,梯形塊將不再保持面內(nèi)的壓縮變形模式,而是彎曲成如圖2(c)所示的形狀[20].

圖2 板狀結(jié)構(gòu)及其變形模式Fig.2 A plate-like structure and its deformation modes

上述分析表明,存在內(nèi)部應(yīng)力的板狀結(jié)構(gòu),具有兩種可能的變形模式:一種是面內(nèi)的伸縮模式,其特征是沿板厚度方向的每一個平面都相同,在厚度方向保持上下對稱;另一種是離面的彎曲模式,其特征是上下表面之其一發(fā)生伸長、而另一則發(fā)生收縮,在厚度方向不再上下對稱.可以看出,該結(jié)構(gòu)的變形由于梯形塊與正方形空槽間的幾何不協(xié)調(diào)而產(chǎn)生,而變形模式則與結(jié)構(gòu)的厚度密切相關(guān).

1.2.2 板狀結(jié)構(gòu)的變形能分離

當(dāng)厚度h較小時,通過引入Kirchhoff-Love 假設(shè),板狀結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)化為板問題加以研究,例如F?ppl-Von Kármán 板理論[24]、Koiter 板理論[23]等.這些板理論均表明,大變形時板狀結(jié)構(gòu)的變形能E可分離為伸縮變形能Es和彎曲變形能Eb之和,即

薄板彎曲時,伸縮剛度隨厚度h線性變化,伸縮能Es是中面應(yīng)變的二次函數(shù),其表達(dá)式為[25]

式(6)表明,隨著面內(nèi)應(yīng)變的增加,結(jié)構(gòu)的撓度將經(jīng)歷一個從無到有、由小到大并逐漸占主導(dǎo)的過程1理論上已證明[21],只有含壓縮應(yīng)變問題才可誘發(fā)橫向位移.,這是薄板問題之所以發(fā)生失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)制.

薄板彎曲時,彎曲剛度隨厚度h三次變化[5,26],彎曲能Eb是中面彎曲應(yīng)變的二次函數(shù),表達(dá)式為[25]

需要說明的是,由于自發(fā)大變形過程中同時存在的面內(nèi)伸縮變形和離面彎曲變形也與厚度h有關(guān),將伸縮能表述為與厚度h成線性變化和將彎曲能表述為與厚度h成三次變化的說法(例如文獻(xiàn)[5,26])是不恰當(dāng)?shù)?與文獻(xiàn)[20]中圖3 所描述的規(guī)律也不相符.實(shí)際上,當(dāng)目標(biāo)度量張量對應(yīng)的高斯曲率為正時,板狀結(jié)構(gòu)的伸縮能和彎曲能均正比于厚度的2.5 次方;高斯曲率為負(fù)時,伸縮能則正比于厚度的4 次方[27].

圖3 正方形板狀結(jié)構(gòu)的幾何尺寸Fig.3 Dimensions of the square plate-like structure

仿照薄板結(jié)構(gòu)的變形能分離方法,將一般厚度板狀結(jié)構(gòu)的總變形能E分離為

其中Em稱為類伸縮變形能(簡稱類伸縮能),指結(jié)構(gòu)隨中面一起伸縮的變形能,Er則為除去Em的結(jié)構(gòu)剩余變形能(簡稱剩余能).

利用有限元分析時,板狀結(jié)構(gòu)的總變形能E為每個單元的變形能之和,即

根據(jù)定義,類伸縮能Em經(jīng)結(jié)構(gòu)中面的變形能計(jì)算得到,即

根據(jù)式(8)～ 式(10),剩余能為

隨著結(jié)構(gòu)厚度h變小,板狀結(jié)構(gòu)的三維變形因逐漸符合Kirchhoff-Love 假設(shè)而趨近于薄板結(jié)構(gòu)的變形,此時,三維角度的Em和Er相應(yīng)地就與薄板角度的Es和Eb逐漸接近.

2 自發(fā)大變形的三維分析方法

板狀結(jié)構(gòu)的自發(fā)大變形行為雖然只在薄板情形下得以凸顯,但考慮到薄板結(jié)構(gòu)大變形理論求解的復(fù)雜性,以及薄板結(jié)構(gòu)可視為厚度h逐漸變薄的中等厚度三維板狀結(jié)構(gòu)的客觀事實(shí),本文借助于三維大變形有限元分析,提出板狀結(jié)構(gòu)自發(fā)大變形問題的求解方法.

第1 節(jié)的分析已表明,板狀結(jié)構(gòu)的變形能由類伸縮能Em和剩余能Er兩部分組成.本節(jié)將通過受外力作用板狀結(jié)構(gòu)的三維大變形數(shù)值計(jì)算,對板狀結(jié)構(gòu)的變形能構(gòu)成予以定量分析,從能量角度提出屈曲失穩(wěn)條件,進(jìn)而揭示板狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)制.

2.1 板狀結(jié)構(gòu)的三維大變形分析

如圖3 所示,考慮邊長為600 mm 的正方形板狀結(jié)構(gòu),假定前后兩邊自由、左右兩邊簡支,左端沿x方向作用沿厚度均勻分布的壓縮載荷q.選用具有三維大變形分析功能的二次縮減積分單元C3D20R,經(jīng)收斂性驗(yàn)證后確定沿厚度方向均勻劃分11 層,面內(nèi)劃分成20×20 格,共計(jì)4400 個單元.分析時取q=228 N/mm,材料的楊氏模量Y=2.55 GPa、泊松比ν=0,計(jì)算得到不同厚度時板狀結(jié)構(gòu)中心位置o點(diǎn)處(參考圖3)的橫向位移uz,如圖4所示.

由圖4可以看出,當(dāng)厚度h＞ 8.08 mm 時,橫向位移uz很小,結(jié)構(gòu)處于單一的面內(nèi)伸縮變形模式;當(dāng)厚度h略小于8.08 mm 時,橫向位移陡然增大,并因厚度的不同或正或負(fù),出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,表明結(jié)構(gòu)的變形中此時增添了新的離面彎曲模式.

圖4 方板中心位置 o 處橫向位移 uz隨板厚度 h 的變化Fig.4 Variation of uzat opoint with thicknessh

2.2 變形能計(jì)算及屈曲失穩(wěn)的能量條件

根據(jù)2.1 節(jié)的大變形有限元計(jì)算,利用式(9)可得到結(jié)構(gòu)的總變形能E,利用式(10)可得到板狀結(jié)構(gòu)的類伸縮能Em,進(jìn)而利用式(11)得到剩余能Er.這樣,圖3 所示問題中類伸縮能Em和剩余能Er隨厚度的變化如圖5 所示.

圖5 方形板狀結(jié)構(gòu)能量構(gòu)成隨厚度的變化Fig.5 Variation of the strain energy with thickness for a square platelike structure

從圖5可以看出,在8.01 mm 至8.10 mm 較小的厚度變化范圍內(nèi),結(jié)構(gòu)的總變形能大小及構(gòu)成卻發(fā)生了大幅變化.當(dāng)厚度h＞ 8.08 mm 時,板狀結(jié)構(gòu)的剩余能Er為零,類伸縮能Em在總變形能中占主導(dǎo)地位,稱8.08 mm 為該結(jié)構(gòu)的臨界厚度hcr,也就是說,厚度h＞hcr時,板狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部不會存在彎曲變形能.

分析圖5 還發(fā)現(xiàn),板狀結(jié)構(gòu)存在一個類伸縮能Em與剩余能Er相同的交叉點(diǎn),稱所對應(yīng)厚度為變形模式轉(zhuǎn)變厚度htr,在此例中其值為8.076 mm.從三維角度,模式轉(zhuǎn)變厚度htr表征了剩余能Er和類伸縮能Em相等時的厚度,也就是說,在厚度由大變小過程中板狀結(jié)構(gòu)具有類伸縮能與剩余能大小關(guān)系發(fā)生反轉(zhuǎn)的特點(diǎn)[21,28-29],在變形模式上表現(xiàn)為以面內(nèi)伸縮模式為主導(dǎo)變成為以離面彎曲模式為主導(dǎo).

與文獻(xiàn)[20-21]類似,基于模式轉(zhuǎn)變厚度時所表現(xiàn)出的能量關(guān)系,本文提出板狀結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)的能量條件為

對照附錄中圖A1 基于薄板經(jīng)典穩(wěn)定性理論中qcr=228 N/mm 對應(yīng)的厚度h=8.076 mm,本文基于三維大變形數(shù)值分析得到的轉(zhuǎn)變厚度htr與之完全吻合,側(cè)證了本文分析方法及式(12)能量條件的正確性.

本節(jié)工作表明,三維大變形有限元分析是定量確定板狀結(jié)構(gòu)模式轉(zhuǎn)變厚度htr的有效途徑.

3 自發(fā)大變形實(shí)例分析

運(yùn)用溫度場作用下結(jié)構(gòu)的熱脹冷縮效應(yīng),可有效模擬結(jié)構(gòu)由于生長或外部環(huán)境引起的內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形(x,y)[30].本節(jié)運(yùn)用不同種類溫度場變化,通過三維大變形有限元計(jì)算,分析板狀結(jié)構(gòu)的不同自發(fā)大變形行為.

3.1 正方形板狀結(jié)構(gòu)的自發(fā)大變形

如圖6 所示,考察600 mm×600 mm 正方形板狀結(jié)構(gòu).取材料的楊氏模量為2.55 GPa、泊松比為0.從中劃出一個深度300 mm、寬度為 2a的小矩形區(qū)域,設(shè)該區(qū)域作用一沿y方向線性非均勻變化的溫度場 ΔT(參考圖6),并假定材料僅在x方向具有非零的熱脹系數(shù) α=7.5 ×10-4K-1.這樣,正方形板狀結(jié)構(gòu)將在外部邊界自由、內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形作用下產(chǎn)生內(nèi)部應(yīng)力場,并因之誘發(fā)自發(fā)變形.此時,x方向正應(yīng)力σx的典型分布如圖7 所示,可以看出,結(jié)構(gòu)內(nèi)部既有受壓(藍(lán)色)區(qū)域,也有受拉(紅色)區(qū)域.

同樣選取二次縮減積分單元C3D20R,它也具有分析溫度場作用下三維大變形問題能力.結(jié)構(gòu)沿厚度方向均勻劃分11 層;將溫度作用的區(qū)域面劃分為15×15 格,共2475 個單元;其它區(qū)域在中面內(nèi)劃分320 格,共3520 個單元.

首先分析厚度h對該正方形板狀結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)的影響.為此,假定溫度場作用的半寬度a=150 mm,令厚度h在[2.5 mm,10 mm]間每隔0.5 mm 共16 種變化,分別進(jìn)行三維大變形有限元計(jì)算.

運(yùn)用與2.2 節(jié)相同的技術(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形能及其構(gòu)成,它們隨厚度的變化如圖8 所示.

圖8 局部溫度場作用時正方形板狀結(jié)構(gòu)能量隨厚度的變化Fig.8 Variation of the strain energy with thickness due to partial change in temperature

由圖8可以看出,當(dāng)板的厚度h＞ 8.5 mm 時,結(jié)構(gòu)的總能量幾乎都是類伸縮能,剩余能可忽略不計(jì),此時受溫度作用區(qū)域的變形模式為純粹的面內(nèi)伸縮,此時,圖6 所示問題的臨界厚度hcr=8.5 mm.當(dāng)厚度h在8.5 mm 至6.89 mm 之間變化時,總能量中剩余能的占比逐漸增加,板狀結(jié)構(gòu)處于面內(nèi)伸縮模式和離面彎曲模式的混合變形階段,此時,彎曲特征還不十分明顯(參考圖9(a)中的h=7.5 mm 情形).當(dāng)厚度h＜ 6.89 mm 時,剩余能較類伸縮能已占據(jù)主導(dǎo)地位,離面彎曲特征已較為明顯(參考圖9(b)中的h=6 mm 情形),此時,圖6 所示問題的模式轉(zhuǎn)變厚度htr=6.89 mm.

圖9 局部溫度場作用下板狀結(jié)構(gòu)沿厚度的變形與應(yīng)力分布Fig.9 Deformed shape and stress distribution in thickness direction due to change in temperature

由圖8可進(jìn)一步看出,由于與圖5 外部壓力q作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)僅具有均勻單向壓應(yīng)力的情形不同(參考圖7),內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形引起的結(jié)構(gòu)變形能及構(gòu)成變化更為復(fù)雜,臨界厚度hcr與模式轉(zhuǎn)變厚度htr不再接近,兩者相差18.9%,這也是本文采用式(12)作為屈曲失穩(wěn)條件的主要原因.

其次分析溫度場作用的半寬度a對該結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)的影響.為此,假定板的厚度h=7 mm,令半寬度a在[100 mm,200 mm]間每隔10 mm 共11 種變化,分別進(jìn)行三維大變形有限元計(jì)算.

運(yùn)用與2.2 節(jié)相同的技術(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形能及其構(gòu)成,它們隨局部溫度場半寬度a的變化如圖10所示.從圖可以看出,溫度作用范圍a所代表的不協(xié)調(diào)變形因素,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)變形能構(gòu)成的變化,也會引起結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn),與改變結(jié)構(gòu)厚度h的情形類似.

圖10 正方形板狀結(jié)構(gòu)能量構(gòu)成隨局部溫度場半寬度 a 的變化Fig.10 Variation of the strain energy with the half-width of local temperature in a square plate-like structure

3.2 圓形板狀結(jié)構(gòu)的自發(fā)大變形

圖11 所示為半徑50 mm 的圓形板狀結(jié)構(gòu);材料為仿樹葉類PA 水凝膠彈性材料[30-31],楊氏模量為0.35 MPa、泊松比為0.25.圓形板狀結(jié)構(gòu)處于沿徑向r冪律變化的溫度場 ΔT=β(r/R)n中,并假定結(jié)構(gòu)僅具有沿周向的非零熱脹系數(shù) α=1 ×10-3K-1.這樣,溫差幅值β和指數(shù)n兩個參數(shù)的變化在圓形板狀結(jié)構(gòu)內(nèi)將產(chǎn)生不同大小和分布的內(nèi)部應(yīng)力場,升溫和降溫時周向正應(yīng)力 σθ的典型分布如圖12 所示,可以看出,整個結(jié)構(gòu)中既有受壓區(qū)域(藍(lán)色)、也有受拉區(qū)域(紅色).該結(jié)構(gòu)在邊界自由情形下將發(fā)生自發(fā)變形.

圖11 處于非均勻變化溫度場中的圓形板狀結(jié)構(gòu)Fig.11 A circular plate-like structure subjected to a power-law change in temperature

圖12 圓形板狀結(jié)構(gòu)的典型周向正應(yīng)力分布Fig.12 Typical distributions of circumferentially normal stresses in the circular plate-like structure

取結(jié)構(gòu)的1/4 進(jìn)行建模.仍選用二次縮減積分單元C3D20R,整體結(jié)構(gòu)沿厚度方向均勻劃分11 層,面內(nèi)劃分442 格,共4862 個單元.運(yùn)用與2.2 節(jié)相同的技術(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形能及其構(gòu)成,并仿圖8 得到模式轉(zhuǎn)變厚度htr,進(jìn)而研究溫差幅值β和指數(shù)n兩個參數(shù)對htr的影響.

3.2.1 溫差幅值β對htr的影響

給定指數(shù)n=0.5,1,2和5,在[-5°C,5°C]間每隔1°C 共11 組β值進(jìn)行計(jì)算,其中β的正負(fù)分別表示對應(yīng)點(diǎn)處為升溫或降溫.圖13 為給定n時圓形板狀結(jié)構(gòu)模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨β的變化關(guān)系.

由圖13可以看出,模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨β絕對值的增加而增大,但由于升降溫時內(nèi)應(yīng)力分布的差異(參考圖12),其效果并不對等.以指數(shù)n=2 為例,β=5°C 時的htr是β=1°C 時的2.35 倍,而β=-5°C 時的htr只是β=-1°C 時的2.25 倍.總之,溫差幅值β的絕對值對該問題模式轉(zhuǎn)變厚度htr的影響顯著.

圖13 幅值β對模式轉(zhuǎn)變厚度 htr 的影響關(guān)系Fig.13 Influence of amplitude β onhtr

3.2.2 指數(shù)n對htr的影響

給定β=-5°C,-3°C,3°C和5°C,在[0.5,5]間每隔0.5 共取10 組非零n值進(jìn)行計(jì)算,圖14 所示為給定β時 圓形板狀結(jié)構(gòu)的模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨n的變化關(guān)系.

圖14 指數(shù) n 對模式轉(zhuǎn)變厚度 htr 的影響關(guān)系Fig.14 Influence of index number n onhtr

由圖14可以看出,溫差幅值β正負(fù)的不同,模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨n的變化規(guī)律明顯不同.對于同等溫度幅值,升溫時結(jié)構(gòu)更容易發(fā)生屈曲失穩(wěn).溫差幅值β為正時,模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨n先略微增大后又略微減小,n=1 時htr為最大;溫差幅值β為負(fù)時,模式轉(zhuǎn)變厚度htr隨n單調(diào)減小;但總體影響幅度并不十分顯著1進(jìn)一步計(jì)算表明,指數(shù)h 對屈曲波數(shù)具有顯著影響..例如,對于β=3°C 的情形,n=5 時的htr比n=0.5 時減小了23.38%;對于β=-3°C,n=5 時的htr比n=0.5 時減小了35.29%.總之,與幅值β的影響相比,指數(shù)n對模式轉(zhuǎn)變厚度htr的影響相對較小.

本節(jié)所研究問題中轉(zhuǎn)變厚度htr的變化規(guī)律表明,板狀結(jié)構(gòu)因內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形誘發(fā)的屈曲失穩(wěn)是一個復(fù)雜的自發(fā)大變形過程,與產(chǎn)生內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形的各個因素密切相關(guān).

4 結(jié)論

本文在板狀結(jié)構(gòu)中引入沿厚度不變的不協(xié)調(diào)初始應(yīng)變,通過三維大變形有限元分析,將結(jié)構(gòu)的變形能分離為類伸縮能和剩余能,提出板狀結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)的能量條件,建立了板狀結(jié)構(gòu)自發(fā)大變形問題的研究方法,從三維大變形角度,揭示了板狀結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)的物理機(jī)制.根據(jù)本文工作,可得到以下結(jié)論.

(1)在板狀結(jié)構(gòu)大變形過程中,當(dāng)剩余能從零增加到與類伸縮能相等時,板狀結(jié)構(gòu)將發(fā)生由面內(nèi)伸縮模式為主導(dǎo)到離面彎曲模式為主導(dǎo)的屈曲失穩(wěn),經(jīng)典的載荷屈曲條件是本文能量屈曲條件在外力作用下的特殊情形.

(2)對于受外力作用的板狀結(jié)構(gòu),由于結(jié)構(gòu)內(nèi)部壓應(yīng)力場分布和變化相對簡單,大變形時剩余能將從零快速增加至超越類伸縮能,使得結(jié)構(gòu)發(fā)生驟然屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象.

(3)在內(nèi)部不協(xié)調(diào)變形因素作用下,由于板狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部壓應(yīng)力分布的不均勻性、甚至拉應(yīng)力的存在等多種原因,大變形時剩余能經(jīng)歷一個從小到大量變、再到超越類伸縮能質(zhì)變的逐步變化過程,因而,結(jié)構(gòu)一般不會發(fā)生驟然的屈曲失穩(wěn).

(4)不協(xié)調(diào)因素是板狀結(jié)構(gòu)在無外部約束下仍存在復(fù)雜內(nèi)部應(yīng)力分布的主要原因,所誘發(fā)的自發(fā)大變形(包括屈曲失穩(wěn)、后屈曲等)是樹葉、花朵等板狀生物結(jié)構(gòu)形成豐富形貌的物理機(jī)制.

本文借助三維有限元方法,數(shù)值分析了板狀結(jié)構(gòu)在多種因素作用下的大變形過程,重點(diǎn)考察了該類結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)行為,揭示了不協(xié)調(diào)因素對轉(zhuǎn)變厚度的影響規(guī)律.實(shí)際上,基于本文的三維大變形有限元方法,還可進(jìn)一步研究板狀結(jié)構(gòu)在不協(xié)調(diào)因素作用下的后屈曲行為及復(fù)雜結(jié)構(gòu)形貌,這些內(nèi)容的特點(diǎn)是運(yùn)用微分幾何的曲面論知識分析板狀結(jié)構(gòu)中面在經(jīng)歷自發(fā)大變形后的形貌特征,是本文作者正在開展的工作.

附錄

對于前后兩邊自由、左右兩邊簡支、左端沿x方向施加沿厚度均勻分布壓縮載荷q的正方形板狀結(jié)構(gòu),薄板理論給出的屈曲載荷計(jì)算公式為[32]

式中,qcr為屈曲載荷,L為正方形板的邊長.

對于圖3 所示的問題,L=600 mm,Y=2.55 GPa,v=0,屈曲載荷值qcr隨厚度h的變化如圖A1 所示.特別地,經(jīng)式(A1) 計(jì)算,qcr=228 N/mm 對應(yīng)的厚度為h=8.076 mm.