基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形分析

趙維，梁亞華，江杰，邢軒偉

(1.中國建筑第八工程局有限公司，上海 200112；2.廣西大學土木建筑工程學院，南寧 530004；3.工程防災與結構安全教育部重點實驗室，南寧 530004)

近年來，隨著國內城軌交通建設步伐的加快，鄰近地鐵沿線進行基坑開挖的情況時有發生，嚴重時會導致隧道發生管片開裂、滲水等病害，而地鐵作為人們日常出行的交通工具，其安全運行的重要性不言而喻。因此，如何準確合理預估基坑工程施工工程中對下方既有地鐵隧道的影響成為近年來研究的重點。

目前，眾多學者針對基坑開挖對下方地鐵隧道影響方面的研究取得了一些成果。在數值模擬方面，Huang等[1]使用數值模擬的手段對基坑開挖作用下鄰近隧道的變形情況和穩定性進行了參數化研究；Liu等[2]使用數值模擬的手段預測了粉質黏土地區基坑開挖作用下鄰近隧道的長期變形響應，并提出了有針對性的現場監測方案。在理論分析方面，張治國等[3]使用兩階段法研究了基坑開挖對鄰近隧道的縱向變形影響；Sun等[4]提出了圓形基坑開挖作用下隧道變形的解析方法，與離心模型試驗結果進行對比驗證；Liang等[5]基于兩階段法，通過引入修正系數，考慮了隧道埋深效應和剪切效應，推導出了基坑開挖作用下鄰近隧道變形的解析解；張兵兵等[6]以濟南歷下醫養結合中心項目為背景研究了基坑開挖對臨近既有地鐵隧道影響。

根據《地鐵設計規范》(GB 50157—2013)[7]，地鐵線路縱斷面設計，正線的最大坡度不宜超過30‰，困難地段不宜超過35‰，但目前國內外學者在采用理論分析手段計算基坑開挖引起下臥縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形時，一般采用隧道的平均埋深帶入計算，無法準確地預測隧道的真實隆起變形。

鑒于此，現基于兩階段法，引入隧道縱向夾角，考慮隧道的縱向坡度對于隧道變形的影響，并將隧道視為擱置在Pasternak地基模型上的Timoshenko長梁，提出基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形的理論解，通過與數值模擬算例進行對比分析，并分別與采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和傳統算法的計算結果進行對比。

1 理論推導

1.1 基本假定

基坑開挖將造成地基出現附加應力，從而導致鄰近隧道產生相應的隆起變形。為簡化計算，理論模型做如下假定。

(1)假定地基為均勻各向同性半無限彈性體，且在基坑開挖前隧道變形已經穩定。

(2)不考慮基坑開挖卸荷作用隨時間的變化，以及土體排水固結和蠕變作用。

(3)假定隧道襯砌與土體始終接觸，不考慮隧道襯砌與土體分離的情況。隧道-土體相互作用通過Pasternak地基模型考慮，滿足變形協調條件，即隧道隆起量等于地基變形量。

1.2 基坑卸荷作用在下方縱向斜穿隧道上的附加應力

計算模型如圖1所示，一矩形基坑下方有一縱向斜穿的地鐵隧道。使用Mindlin基本解積分得到基坑卸荷作用在鄰近隧道軸線上的某一點(X,S,H)的豎向附加應力δ(x)為

L為基坑長度；B為寬度；S為基坑中心與隧道軸線水平距離；c為基坑開挖深度；z1、z2為隧道軸線埋深，由z1變化到z2；β為隧道的縱向夾角；D為隧道外徑

(1)

1.3 由附加應力引起的隧道隆起變形

如圖2所示，首先把xoz直角坐標系在xoz平面上繞坐標原點o，逆時針旋轉β角度，得到直角坐標系x′oz′，然后將隧道受到的豎向附加應力δ(x)D在直角坐標系x′oz′中沿相互垂直的兩坐標軸oz′、ox′分解為兩個分力δz′和δx′，其大小分別為δz′=δ(x)Dcosβ，δx′=δ(x)Dsinβ。

圖2 豎向附加應力δ(x)D正交分解圖

如圖3所示，將隧道簡化為放置在Pasternak地基上的Timoshenko梁(簡稱T-P模型)，在隧道上取微元體在直角坐標系x′oz′中做受力分析，可以得到隧道在附加應力δ(x)作用下，關于隧道隆起值w和轉角θ的平衡微分方程，即

圖3 微元體受力分析圖

(2)

(3)

式(2)中：(EI)eq、(λCΩ)eq分別為隧道等效抗彎剛度。由于式(2)是一個4階常微分方程，直接計算解析解難度較大，采用有限差分法將微分方程轉化為差分方程進行求解。離散隧道單元如圖4所示，將隧道沿隧道軸線等分為n個單元，每個單元長度為l，并在隧道一端增設2個虛擬節點-2和-1，隧道另一端增設2個虛擬節點n+1和n+2。

圖4 盾構隧道劃分圖

(4)

式(4)中：δi和wi分別為節點單元i受到的豎向附加應力和隆起值。

由于隧道兩端自由，隧道兩端受到的彎矩，剪力為零，則邊界條件為

(5)

求解式(5)可得隧道兩端4個虛擬節點的位移表達式為

(6)

(7)

(8)

(9)

令i=0，1，…，n，代入式(4)并結合式(6)～式(9)可以得到以隧道隆起值w為未知量的n+1個方程，分別對應第1，2，…，n+1節點單元，將這些方程裝配到矩陣中，可以得到整個隧道的位移計算公式為

{K1+K2+K3}w=Q1+Q2+Q3

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

最后使用MATLAB編程計算式(10)可以得到整個隧道的隆起w，再將w代入式(5)中可以得到整個隧道所受的彎矩M和剪力Q。

2 計算參數的確定

2.1 地基模型計算參數

如圖5所示，Pasternak地基模型通過在土體彈簧上加入一層不能壓縮的剪切層改進了Winkler地基模型無法考慮土體彈簧相互之間剪切作用的缺點，計算公式為

圖5 Pasternak地基模型圖

(18)

式(18)中：p為施加在地基表面上的壓力；k為地基基床系數；G為剪切層的剪切剛度。Tanahashi[8]提出了一種經驗公式計算G，即

(19)

式(19)中：Es為隧道所在土層的彈性模量；hp為剪切層的厚度，取hp=2.5D，D為隧道外徑；μ為地基土層的泊松比。

Vesic[9]提出了擱置于地面的長梁，其基床系數kVesic的計算式，但Attewell等[10]研究發現：對于一定埋深下的地基梁，采用kVesic代入計算將會導致計算結果大于實測值，應采用2倍kVesic來估算一定埋深下的地基梁的基床系數。

(20)

2.2 隧道模型計算參數

在計算隧道的變形和內力時，隧道等效彎曲剛度和等效剪切剛度起到了重要的作用。計算方法中應用最為廣泛的是志波由紀夫等[11]提出的等效軸向剛度模型，該模型計算簡便，但忽略了隧道橫向剛度變化對隧道縱向剛度的影響，相較于實際工程過于理想化。現引用由葉飛等[12]在橫向修正慣用法的基礎上提出的考慮橫向剛度變化的盾構隧道縱向等效剛度模型，其等效抗彎剛度(EI)eq計算公式為

(21)

式(21)中：Ec為管片混凝土的彈性模量；n為縱向接頭螺栓個數；ls為隧道管片環寬；Kb為螺栓的縱向平均線剛度，Kb=EbAb/lb，Eb為螺栓的彈性模量，Ab為螺栓的橫截面積，lb為螺栓的長度；As為隧道橫截面積；λ1和λ2均為與隧道橫截面有關的參數，其表達式見文獻[12]。

Wu等[13]基于Timoshenko梁理論提出了盾構隧道等效剪切剛度(λCΩ)eq的計算式，即

(22)

式(22)中：ξ為考慮影響盾構隧道剪切剛度因素(如管片之間的摩擦，密封墊片等)的修正系數，取1；kb為Timoshenko螺栓剪切系數，取0.9；ks為Timoshenko隧道管片環剪切系數，取0.5；Gb為螺栓剪切模量；Gs為隧道管片剪切模量。

3 算例驗證

假設如下工況，有一基坑開挖深度為4 m，基坑平面尺寸為長×寬(L×B)為150 m×16 m，基坑四周設置了地下連續墻用來抵擋基坑開挖引起的基坑側壁水平卸荷，地下連續墻厚1 m，墻高10 m。一盾構隧道在其正下方穿過，盾構隧道的縱向坡度為30‰，隧道長600 m，隧道兩端埋深不同：分別為12 m和30 m。隧道所在土層參數如表1所示，隧道螺栓管片參數如表2所示。

表1 隧道所在土層參數

表2 隧道螺栓管片參數

使用有限差分軟件FLAC3D進行數值模擬，模型網格劃分如圖6所示，整個模型網格單元個數為133 587個，節點個數為84 121個。隧道與基坑空間相對位置如圖7所示，采用FLAC3D軟件自帶的殼單元(shell)模擬隧道襯砌管片，采用摩爾-庫倫本構模型(Mohr-Coulomb)模擬隧道周圍土體。采用線彈性模型(elastic)模擬地下連續墻，地下連續墻密度為2 500 kg/m3，彈性模量為40 GPa，泊松比為0.2，地下連續墻與周圍土體綁定。

圖6 模型網格劃分

圖7 隧道與基坑空間相對位置

由于基坑開挖對隧道的影響范圍有限，選取沿隧道長度方向距基坑中心水平距離為[-150,150]m的隧道區間進行分析。

圖8為本文方法(T-P模型)、將隧道簡化為放置在Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁(簡稱為EB-P模型)的算法和將隧道簡化為放置在Winkler地基上的Timoshenko梁(簡稱為T-W模型)的算法得到的隧道隆起值曲線與數值模擬計算結果的對比。

由圖8可以看出，隧道隆起值并不是在隧道中心線處達到最大值，隧道最大隆起值位置線在隧道中心線沿坐標橫軸負方向45 m處，且隧道隆起值曲線不關于隧道最大隆起值位置線對稱。究其原因是：隧道縱斷面具有30‰的坡度，隧道埋深沿著坐標橫軸正方向線性增大，當x從-150 m增加到150 m時，隧道埋深增加了9 m。在基坑開挖卸荷的作用下，受基坑開挖影響而產生隆起的隧道范圍為[-125,125]m，約為基坑開挖寬度的1.67倍。使用本文方法計算得到的隧道最大隆起值為2.84 mm，略大于數值模擬結果2.76 mm，隧道受基坑開挖卸荷作用影響范圍也略大于數值模擬結果，分析其原因是數值模擬中土體可能發生塑性變形，而本文方法將土體簡化為Pasternak彈性地基，故本文方法計算結果相比于數值模擬結果略大。使用T-W模型計算得到的隧道最大隆起值最大，為3.47 mm；使用EB-P模型計算得到的隧道最大隆起值最小，為2.48 mm；使用本文方法的計算結果與數值模擬結果最為接近。Timoshenko梁模型能夠考慮隧道管片之間接頭螺栓對隧道整體等效彎曲剛度和等效剪切剛度的削弱作用，因此本文方法計算結果大于使用EB-P模型的計算結果。此外，Pasternak地基模型在Winkler地基模型的基礎上，通過在地基彈簧上加入一不可壓縮的剪切層考慮了地基彈簧之間的相互剪切作用，反映了土介質的連續性，因此本文方法計算結果小于使用T-W模型的計算結果。

圖8 計算結果與數值模擬結果隧道隆起值對比

4 與傳統算法的對比

傳統算法對于隧道具有30‰縱向坡度的情況，會采用隧道的平均埋深21 m代入計算，下面將使用傳統算法和本文算法得到的計算結果進行對比，分析兩種算法的差別。

如圖9所示，將使用本文算法和傳統算法得到的隧道隆起值進行比較，由圖9可以看出：使用本文算法和傳統算法計算得到的隧道受基坑開挖影響產生隆起變形范圍基本一致，但由于傳統算法采用了隧道平均埋深來簡化計算，導致隧道的隆起值曲線關于隧道中心線x=0對稱，這一現象明顯與隧道真實隆起變形情況不符，例如：傳統算法計算結果中x=-50 m和x=50 m處相對應的隧道隆起值相等，但隧道實際情況，當x從-50 m變化到50 m的過程中，隧道的埋深相應地線性增大了3 m，勢必會對隧道受基坑開挖卸荷作用而產生的隆起變形造成影響。本文算法通過在計算中引入隧道縱向夾角β，考慮了隧道的縱向坡度，計算結果中，隧道最大隆起值為2.84 mm，發生位置為x=-45 m處，而傳統算法得到的隧道最大隆起值為2.57 mm，發生位置為x=0 m處，傳統算法得到的隧道最大隆起值有10.5%的誤差，且發生位置相差了45 m。在實際施工中，需要通過理論計算，數值分析等手段預測隧道最大隆起變形發生的位置，提前在此處采用設置抗拔樁，三軸攪拌樁加固土體等方式控制隧道隆起變形，若在傳統算法計算得到的隧道最大隆起變形位置處設置加固措施，將起不到較好的隧道隆起變形控制效果。

圖9 本文算法與傳統算法結果隧道隆起對比

使用本文算法和傳統算法得到的隧道彎矩值的比較如圖10所示。

由圖10可以看出，由于傳統算法采用了隧道平均埋深來簡化計算，導致傳統算法給出的最大正彎矩和最大負彎矩均小于本文算法的計算結果，傳統算法得到的最大正彎矩和最大負彎矩的誤差分別為25.48%和20.88%。

圖10 本文方法與傳統算法結果隧道彎矩對比

兩種算法給出的隧道彎矩值曲線變化趨勢不同，傳統算法給出的隧道彎矩值曲線關于隧道中心線x=0對稱，且隧道受到的最大正(負)彎矩的絕對值相等，均為599.21 kN·m；本文算法給出的彎矩值曲線并不關于隧道中心線x=0對稱，本文算法得到的隧道受到的最大正彎矩為744.44 kN·m，位于x=-63 m處，最大負彎矩為-724.32 kN·m，位于x=-89 m處，兩者絕對值相差20.12 kN·m。距離隧道中心線相同距離，處于中心線左側的隧道受到的彎矩更大，例如，x=-60 m處隧道所受的彎矩為724.74 kN·m，x=60 m處隧道所受的彎矩為485.53 kN·m，相差49.27%。

如圖11所示，將使用本文算法和傳統算法得到的隧道剪力值進行比較。

圖11 本文方法與使用傳統算法結果隧道剪力對比

由圖11可以看出：傳統算法給出的最大正剪力小于本文算法的計算結果，計算誤差為30.14%；傳統算法給出的最大負剪力大于本文算法的計算結果，計算誤差為28.94%。

兩種算法給出的隧道剪力曲線變化趨勢不同，傳統算法給出的隧道剪力曲線關于坐標原點(0，0)對稱，對于本文算法給出的隧道剪力曲線，距離隧道中心線相同距離，處于中心線左側的隧道受到的剪力更大。本文算法給出的隧道最大正剪力，最大負剪力分別為94.52 kN和-56.33 kN，兩者絕對值相差為38.19 kN，約為最大負剪力絕對值的0.68倍。

因此在計算基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形時，相比于傳統算法，采用本文算法得到的隧道隆起變形曲線和內力曲線更加準確。

5 結論

從理論分析方面出發，提出了基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形的理論解，首先在計算基坑卸荷作用在下方縱向斜穿隧道上的附加應力時，引入了隧道縱向夾角β，考慮了隧道的縱向坡度，接著將隧道視為擱置在Pasternak地基模型上的Timoshenko長梁，得到并使用有限差分法求解了隧道隆起變形方程，再通過數值模擬算例驗證了提出的理論解，并分別與采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和傳統算法的計算結果進行了對比，得到以下主要結論：

(1)將本章提出的理論解與使用有限差分軟件FLAC3D進行數值模擬的計算結果進行對比，發現一致性較好，驗證了本文提出的基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形理論解的正確性。

(2)通過將數值模擬的計算結果與本文理論解的計算結果和采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的計算結果進行對比發現：相較于T-P模型的計算結果，采用Euler-Bernoulli梁計算將低估隧道的隆起變形，采用Winkler地基計算將高估隧道的隆起變形，其原因是：Euler-Bernoulli梁模型，無法考慮隧道管片之間接頭螺栓對隧道整體等效彎曲剛度和等效剪切剛度的削弱作用，且Winkler地基模型不能反映土介質的連續性，也無法考慮地基彈簧之間的相互剪切作用。

(3)通過與傳統算法進行比較發現：由于傳統算法采用了隧道平均埋深來簡化計算，導致計算誤差較大，傳統算法給出的隧道最大隆起值有10.5%的誤差；傳統算法給出的最大正彎矩和最大負彎矩的誤差分別為25.48%和20.88%；傳統算法給出的最大正剪力和最大負剪力的誤差分別為30.14%和28.94%。