引入環向壓應力系數的豎井井壁空間被動土壓力新解

關曉迪，曹周陽，朱勇鋒，何盛東，馬迪

(1.西安理工大學土木建筑工程學院，西安 710048; 2.鄭州航空工業管理學院土木建筑學院，鄭州 450046; 3.長安大學地質工程與測繪學院，西安 710048；4.西安交通工程學院土木工程學院，西安 710300)

長期以來豎井結構被簡化為平面問題，大多數采用半經驗的方法進行相關設計[1]，如懸浮體地壓、重液地壓及夾心墻地壓等[2]，也有直接采用朗肯土壓力理論[3]或庫侖土壓力理論[4]進行受力分析。然而豎井結構往往具有空間效應，對豎井圍巖空間土壓力的研究是土力學研究中的一個經典課題[5]，針對豎井圍巖土壓力試驗測試方法主要有現場原位測試試驗和室內模型試驗，現階段針對豎井圍巖空間土壓力試驗測試相關方面的研究較少。陳緒祿等[6]通過對豎井圍巖取試樣進行土工離心模型試驗，研究了井底隆起現象產生的機理及井底加固的效果，明晰了井壁土壓力隨開挖進展的變化規律。冷伍明等[7]通過模型試驗研究了豎井不同基礎埋深對井壁土壓力的影響，探討了豎井的合理基礎埋深，從而為豎井設計提供了科學試驗依據。閆登峰[8]以西安市交通項目工程單孔矩形豎井為研究對象，深入分析了實測土壓力與主動土壓力和靜止土壓力的關系，得到了黃土地區豎井下沉不同深度時井壁土壓力的大小及分布規律。上述研究通過室內模型試驗、現場原位試驗，分析了在各種不同因素影響下的井壁土壓力分布規律，然而現場原位測試試驗雖可信度較大，但測試原件或試驗成本費用較高、施工干擾大、人為影響因素多，所以基于現場測試的有益成果較為緊缺，而室內模型試驗往往需進行大量的假設簡化計算，導致其研究成果的實用性受限。

現階段，針對豎井井壁空間土壓力分布規律方面的研究大多采用數值模擬方法[9-10]。楊卓文[11]采用有限差分軟件FLAC3D對豎井施工進行數值模擬，對比現場監測的豎井相應的位移場和應力場，得到了井壁土壓力隨開挖深度的增加而減小的規律。胡金平等[12]通過建立豎井表土段三維彈塑性模型，動態模擬了豎井井口段的施工過程，得到了在井壁周圍圍巖開挖卸載過程中，井壁底部受土體側向壓力作用產生張拉應力。朱正國等[13]采用FLAC3D有限差分軟件對各種條件下深豎井進行三維數值模擬，分析了深豎井土壓力與變形規律，確定了土壓力系數及土壓力與支護結構變形、深度間的函數關系。以上學者以實際豎井工程案例為研究背景，采用數值分析軟件對豎井井壁受力特性以及土壓力的分布規律進行了深入的分析與研究，這些研究成果均對豎井井壁空間土壓力分布規律進行了有益的豐富和拓展。

豎井圍巖空間土壓力是豎井支護設計時需要定量計算的重要荷載，是支護設計中研究多年而未能很好解決的問題之一[14]，因此，豎井圍巖的空間土壓力計算問題一直是巖土工程研究的熱點問題。李造鼎[15]在極限平衡理論的基礎上，假定井幫周圍土體沿柱狀面垂直下滑，不考慮土體垂直于地面方向上的切應力，推導出井壁土壓力的解析表達式。趙彭年[16]以空間軸對稱圓形豎井為研究對象，基于哈爾-卡門完全塑性準則，推導出軸對稱豎井井壁的主動土壓力解析解。Cheng等[17]引入一個廣義環向壓應力系數對空間軸對稱滑移線問題中的哈爾-卡門完全塑性假定進行修正，采用簡化滑移線法推導出豎井襯砌主動土壓力解析表達式。應宏偉等[18]建立了正交擋墻三維有限元分析模型，研究了不同長高比擋墻平動對墻后主動土壓力及空間滑裂體形狀的影響，提出了方形豎井空間土壓力計算模型，推導出豎井擋墻主動土壓力分布的理論計算公式。

值得注意的是，在針對豎井井壁空間被動土壓力方面的研究較少，遠滯后于工程實際需要[19]，因此，現針對軸對稱豎井圍巖被動極限平衡狀態開展分析，引入一個環向壓應力系數，推導出一般環向壓應力系數下豎井井壁空間被動土壓力計算新解，為豎井井壁被動土壓力的計算提供一種新方法。

1 推導前提與假定

研究軸對稱圓形豎井圍巖的空間被動土壓力問題，通過對豎井圍巖的被動極限平衡狀態展開分析發現：井壁圍巖有背離井筒軸線方向移動的趨勢，此時假定圍巖應力狀態滿足徑向正應力最大、環向正應力次之、軸向正應力最小，且此時豎井井壁圍巖的屈服條件滿足式(1)，在井壁后背豎直光滑、井壁背面填土水平的條件下，采用簡化滑移線法，推導出井豎井井壁空間被動土壓力解析解。

(1)

式(1)中：σ1、σ2、σ3分別為最大主應力、中間主應力和最小主應力；c為豎井圍巖的黏聚力；φ為豎井圍巖的內摩擦角。

2 井壁空間被動土壓力公式推導

基于Mohr-Coulomb強度理論，在對軸對稱豎井圍巖空間被動極限平衡狀態展開分析過程中假定豎井井壁為剛性，井壁背面豎直、光滑且井壁背面填土水平，如圖1所示。

R為豎井半徑；r為井壁圍巖中一點的半徑；σr為徑向正應力；σz為軸向正應力；σθ為環向正應力；τrz為沿z方向作用的剪應力；τzr為沿r方向作用的剪應力

通過將豎井圍巖微元體上各力對其中心徑向軸及z軸建立平衡方程，得到空間軸對稱問題的平衡微分方程為

(2)

式(2)中：γ為豎井圍巖的重度。

為了解決哈爾-卡門(Haar-Von Karman)完全塑性準則求解出的豎井井壁空間被動土壓力偏大的問題，引入環向壓應力系數λ，以便更合理地分析井壁所受空間被動土壓力。針對井壁圍巖空間被動土壓力問題，因為圍巖有遠離井筒軸線方向移動的趨勢，所以環向正應力σθ應為較小主應力，即環向正應力滿足：

σθ=σ2=λσ3

(3)

式(3)中：λ為環向壓應力系數[20]，當λ≥1時，軸對稱豎井井壁圍巖微元體應力滿足σ1(σr)>σ2(σθ)>σ3(σz)，即為所提出的一般環向壓應力系數條件；特別地，當λ=1時，豎井井壁圍巖微元體應力滿足σ1(σr)>σ2(σθ)=σ3(σz)，即為哈爾-卡門(Haar-Von Karman)完全塑性準則[21-22]。

由于豎井井壁圍巖在r-z平面內滿足屈服條件[式(1)]，此時r-z平面存在兩族滑移線，其與σ1軸夾角為±u，令第一族滑移線的角度為正，第二族滑移線的角度為負，如圖2所示。

1為第一滑移線；2為第二滑移線

則在被動極限平衡狀態下井壁圍巖的應力分量表達式為

(4)

σθ=λσ3=λσ(1-sinφ)-λccotφ

(5)

為了建立豎井圍巖問題的極限平衡狀態微分方程，將式(4)、式(5)代入空間軸對稱問題的平衡微分方程式(2)，可得

(6)

(7)

聯立式(6)、式(7)，可得

(8)

(9)

聯立式(8)、式(9)，可得

(10)

(11)

若用s1和s2分別表示r-z平面內的第一族和第二族滑移線的弧長，根據方向導數公式可得

(12)

將式(12)代入式(10)、式(11)，可得被動極限平衡狀態下軸對稱豎井井壁圍巖微分方程為

(13)

(14)

q為表面載荷

基于上述假定，可知r-z平面內的兩族滑移線為兩族平行直線，則第一族滑移線傾角為

(15)

將式(15)代入式(14)，則

(16)

可得

(17)

(18)

(19)

則微分方程式(17)的解為

(20)

將式(20)代入式(4)、式(5)，可得井壁圍巖的應力分量表達式為

(21)

若第一族滑移線與井壁交點的縱坐標為zb，第一族滑移線與水平地表面交點的橫坐標為rb，則有

(22)

利用應力邊界條件σz|r=rb=q可得式(21)中的積分常數為

(23)

則在被動極限平衡狀態下軸對稱豎井井壁圍巖的應力分量表達式為

(24)

令井壁圍巖中一點的半徑r=R，將其代入式(24)的第一式中，可得一般環向壓應力系數下軸對稱豎井井壁空間被動土壓力計算新解為

(25)

將式(22)代入式(25)，得到一般環向壓應力系數的豎井井壁空間被動土壓力pb隨著豎井深度zb的變化規律，可以發現：一般環向壓應力系數下豎井井壁空間被動土壓力值隨著豎井深度的增加呈冪函數曲線增加，當zb→∞時，豎井井壁空間被動土壓力值趨于無窮大[21]，工程實踐證明，在表土層圓形豎井地壓(井深z≤180 m)的計算中井壁空間土壓力比擋土墻公式更接近實際[23]。

當環向壓應力系數λ=1時，式(25)轉化為別列贊采夫被動土壓力公式[式(26)]，可見別列贊采夫被動土壓力公式為推導的井壁空間被動土壓力新解的特例。

(26)

式(26)中：

(27)

由于在相同條件下(相同埋深和等效寬度)豎井井壁外側處于被動極限平衡狀態的圍巖體積遠大于平面應變條件下的情況，使得豎井井壁空間被動土壓力值較大[24]，因此，豎井井壁空間被動土壓力值必須大于或等于平面被動土壓力值，經推導計算得

η+1≥1

(28)

將式(28)代入式(18)，可得

(29)

當λ=1時，井壁圍巖微元體上應力滿足σ1≥σ1(σθ)=σ3，即為哈爾-卡門(Haar-Von Karman)完全塑性準則。

3 算例分析

為了驗證推導出的豎井井壁空間被動土壓力計算新解的正確性與適用性，針對深度為15 m、直徑為6 m的豎井，采用5種環向壓應力系數λ(λ=1.0、1.2、1.4、1.6、1.8)對5種計算工況進行對比分析，各個工況的計算參數如表1所示，取豎井圍巖的重度γ=17 kN/m3，表面荷載q=0 kN/m3。

表1 各個工況的計算參數

圖4為不同環向壓應力系數條件下豎井井壁空間被動土壓力分布曲線。通過分析可知：井壁空間被動土壓力隨豎井深度均呈冪函數曲線分布，且同一工況中不同環向壓應力系數的井壁空間被動土壓力在地表處相等，隨著深度的增大，空間被動土壓力相對差值隨之增大；在工況1中，以環向壓應力系數λ=1.0時深度15 m處井壁空間被動土壓力值作為參照條件下，隨著環向壓應力系數的遞增，井壁空間被動土壓力分別減小11.5%、21.6%、30.3%和37.9%，說明環向壓應力系數越大，井壁空間被動土壓力越小。

圖4 各工況下豎井井壁空間被動土壓力分布曲線

為了研究不同黏聚力對豎井井壁空間被動土壓力的影響，取環向壓應力系數λ=1.2，分析了工況1、2、3的井壁空間被動土壓力，3種工況下井壁空間被動土壓力分布曲線如圖5所示。通過分析可知：以工況1地表面處井壁空間被動土壓力作為參照條件下，工況2、工況3的空間被動土壓力分別增大50.0%和100.0%，以工況1深度15 m處井壁空間被動土壓力作為參照條件下，工況2、3的空間被動土壓力分別增大9.3%，18.6%，說明井壁空間被動土壓力隨著填土黏聚力的增大而增大，且隨著深度的增加，空間被動土壓力增長幅度變小。

圖5 不同黏聚力對豎井井壁空間被動土壓力的影響

圖6為不同填土內摩擦角條件下，工況2、4、5的豎井井壁空間被動土壓力分布曲線。通過分析發現：3種工況地表處井壁空間被動土壓力值相等，且隨著深度的增加，井壁空間被動土壓力差值增大；同時以工況4深度15 m處井壁空間被動土壓力作為參照條件下，工況2、工況5的空間被動土壓力分別增大40.8%和100.0%，說明內摩擦角越大，井壁空間被動土壓力越大，且隨著深度的增加，井壁空間被動土壓力增長幅度增大。

圖6 不同內摩擦角對豎井井壁空間被動土壓力影響

基于參考文獻[17]的研究成果，由于在豎井井壁圍巖主動與被動極限平衡狀態下，其兩者的錐形極限狀態區的母線與水平面的夾角δ1、δ2為互余角，即此時tanδ1=1/tanδ2；同時基于直線型滑移線的特點，建議采用環向壓應力系數為靜止土壓力系數K0的倒數1/K0時所求得的豎井井壁空間被動土壓力值，其中K0= 1-sinφ。

圖7為環向壓應力系數λ分別為1.0、1/K0時豎井井壁空間被動土壓力分布曲線，同時為加強比較，在圖7中繪制了朗肯被動土壓力分布曲線。通過分析可知：環向壓應力系數對豎井井壁空間被動土壓力有較大影響，在填土表面處井壁空間被動土壓力與朗肯被動土壓力相等，且隨著豎井深度的增大，井壁空間被動土壓力與朗肯被動土壓力的差值增大；以環向壓應力系數λ=1.0時深度15 m處井壁空間被動土壓力作為參照條件下，工況2中環向壓應力系數取1/K0時豎井井壁空間被動土壓力減小34.6%，朗肯被動土壓力減小65.4%，工況4中豎井井壁空間被動土壓力減小28.7%，朗肯被動土壓力減小59.7%，工況5中豎井井壁空間被動土壓力減小40.1%，朗肯被動土壓力減小70.3%。

圖7 豎井井壁空間被動和朗肯被動土壓力分布曲線

綜上可見，基于哈爾-卡門假定的別列贊采夫被動土壓力值偏大，在工程應用中偏于保守；且一般環向壓應力系數下井壁空間被動土壓力明顯大于朗肯被動土壓力，這是由于在相同條件下(相同埋深和等效寬度)井壁外側處于被動極限平衡狀態的圍巖體積遠大于平面應變條件下的情況，使得井壁空間被動土壓力值較大，因此，在工程中采用朗肯被動土壓力會偏于危險。

4 結論

(1)依托經典的Mohr-Coulomb強度理論，針對軸對稱圓形豎井圍巖的被動極限平衡狀態開展分析，引入一個環向壓應力系數修正了哈爾-卡門完全塑性準則，并采用簡化滑移線法，推導出一般環向壓應力系數下豎井井壁空間被動土壓力計算新解，完善了豎井井壁空間被動土壓力的計算方法。

(2)豎井井壁空間被動土壓力隨深度呈冪函數曲線分布；不同環向壓應力系數的豎井井壁空間被動土壓力在地表處相等，隨著深度的增大，井壁空間被動土壓力相對差值增大；同時環向壓應力系數越大，井壁空間被動土壓力越小。

(3)豎井井壁空間被動土壓力隨著圍巖黏聚力的增大而增大，且豎井深度越大，被動土壓力增長幅度越小；同時井壁空間被動土壓力隨著圍巖內摩擦角的增大而增大，且豎井深度越大，被動土壓力增長幅度越大。

(4)基于哈爾-卡門假定的別列贊采夫被動土壓力值偏大，在工程應用中偏于保守；且豎井井壁空間被動土壓力值大于朗肯被動土壓力值，因此，在工程中采用朗肯被動土壓力值會偏于危險。

由于環向壓應力系數對豎井井壁空間被動土壓力有較大影響，通過在計算豎井井壁空間被動土壓力時引入環向壓應力系數，可為豎井井壁空間土壓力計算相關工程問題的分析和評價提供一定的理論基礎。