數學黑洞中多位數歸斂的分析

王威　王德貴

在往期的文章中我們了解了數學黑洞——“6174”和“495”，那么大家自然就會想到，其他多位數還有這樣的黑洞嗎？（2022年6期和8期相關文章）

今天我們用Python來從數學黑洞進一步分析和研究多位數歸斂。

“6174”和“495”的數學黑洞問題，在研究時感到很奇妙，當了解了規律后，就想到除了三位數和四位數，其他的多位數也有這樣的黑洞嗎？當用五位數驗證時，發現它有歸斂，但不是一個數！

多位數的分析與前面三位數和四位數分析一樣，也要解決以下三個問題。

一是輸入任意一個多位數（不包含全部相同的數字），驗證最后經過運算是不是能得到一個固定的值，或是得到一個固定的循環值;

二是在一定范圍內，是不是所有數都能得到這個值;

三是要得到這個值最多需要多少步。

思路與四位數驗證一樣，首先要將多位數分解開單個數字，存儲在新列表中，然后排序列表，輸出最大和最小數，做差，然后再存儲在新列表中，循環操作，看看最后是不是得到一個固定的值。

程序涉及的是中國電子學會編程等級考試四級內容。

即是輸入一個數字不完全相同的多位數，進行驗證，看看能得到什么樣的規律，需要幾個步驟。我們先以五位數為例說明。

（1）遞推法

輸入一個5位數，但5個數字不能完全相同，將其轉換為列表，排序、連接、轉換出最大值和最小值，做差，再轉換為列表，如果不夠5位，則添加“0”，進行下一輪循環（圖1）。

驗證“12345”的輸出結果（圖2）。

（2）遞歸法

遞歸與遞推的不同之處，是調用了自身，達到循環的目的。過程和方法與遞推類似（圖3）。

兩種方法驗證的結果是完全一樣的（圖4）。

即是驗證一定范圍內所有數字不完全相同的5位數，看看能不能得到歸斂組。

（1）遞推法

通過遞推法驗證指定范圍內的5位數是否有歸斂組（圖5）。

下面是在10000-10800范圍內的驗證結果。這是歸斂組內沒有排序（28行），大家可以看到，列表中數據相同，但順序不同（圖6）。

如果28行進行排序，則結果就是這個了（圖7）。

（2）遞歸法

遞歸法程序不做詳述，大家自己可以研究一下（圖8）。

驗證10000-10800和遞推是一樣的。因為遞歸深度是1024，所以驗證范圍取800（圖9）。

輸入其他位數的一定范圍內時，都會得到歸斂組嗎？這里我只給程序，也不做詳述。

（1）遞推法（圖10）

（2）遞歸法（圖11）

對于N位數的歸斂問題，大家可以自行驗證，注意遞歸法的深度限制。

本文是我自己的研究過程和心得，有不妥之處，請各位老師和同學斧正！