開普勒行星運協定律的理解

胡明

德國著名天文學家、物理學家開普勒經過20余年的潛心研究發現了一系列關于行星的運動規律，并將其總結為三條基本規律分別于1609年和1619年發表在《新天文學》和《宇宙和諧論》中，這就是我們現在所熟知的開普勒行星運動定律。

一、開普勒第一定律

1.內容：所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

2.理解：開普勒第一定律指出了行星繞太陽的運行軌跡是橢圓，而不是圓，因而行星與太陽之間的距離時刻在變化，行星運行速度的大小和方向都在不斷改變。不同行星繞太陽運行時的橢圓軌道是不同的，但太陽處在所有這些橢圓的一個焦點上。

例1下列關于開普勒第一定律的說法中正確的是（

）。

A.太陽系中的所有行星都有一個共同的軌道焦點

B.行星的運動方向總是沿著軌道的切線方向

C.行星的運動方向總是與它和太陽的連線垂直

D.火星繞太陽沿橢圓軌道運行時，其線速度大小保持不變

解析 根據開普勒第一定律可知，太陽系中的所有行星都圍繞著太陽沿不同的橢圓軌道運行，太陽位于這些橢圓軌道的一個焦點上，選項A正確。行星的運動方向總是沿著橢圓軌道的切線方向，選項B正確。當行星從近日點向遠日點運動時，行星的運動方向與它和太陽連線的夾角大于90°，當行星從遠日點向近日點運動時，行星的運動方向與它和太陽連線的夾角小于90°，選項C錯誤?；鹦抢@太陽沿橢圓軌道運行時，其線速度大小和方向都在時刻變化，選項D錯誤。

答案：AB

二、開普勒第二定律

1.內容：任意一個行星與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積都相等。

2.理解：開普勒第二定律給出了行星繞太陽公轉時面積與時間的關系，根據開普勒第二定律可以推導出行星在近日點的線速度大于在遠日點的線速度，在近日點的角速度大于在遠日點的角速度，在近日點的加速度大于在遠日點的加速度。

例2 根據天文觀測，土星繞太陽運行的軌跡如圖1所示，當土星沿其橢圓軌道從A點向B點運動時，下列關于土星的線速度v，加速度a，角速度ω的關系式中正確的是（

）。

解析

當土星沿其橢圓軌道從A點向B點運動時，即從近日點向遠日點運動，根據開普勒第二定律可知，其線速度、加速度和角速度均逐漸減小，即vA>vB，aA>aB，ωA>ωB。

答案：A

三、開普勒第三定律

1.內容：所有行星軌道的半長軸的立方與其繞太陽公轉周期的平方的比值都相等。

2.理解：開普勒第三定律給出了行星繞太陽公轉時軌道半長軸與周期的關系，用公式表a3/T2=k，其中k是一個與行星無關，只與太陽有關的常量。

3.拓展：開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽的橢圓運動，也適用于任意天體繞中心天體的橢圓運動，以及近似處理時任意天體繞中心天體的圓周運動。中心天體不同，則比值k也不同，即比值k是一個只與中心天體有關的常量。

例3如圖2所示，“嫦娥五號”返回器在半徑為R的圓形軌道上繞地球穩定運行，其周期為T。當“嫦娥五號”返回器獲得月壤樣品，需要將樣品帶回地球時，可在其運行軌道上某一點A，將速率減小到適當數值，從而沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行（橢圓軌道與地球表面相切于B點）。設地球半徑為r，則“嫦娥五號”返回器從A點返回到地面B點所需的時間為（

）。