一題多變，培養學生數學思維

張全軍●

江蘇省泗洪縣洪翔中學(223900)

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一題多變，培養學生數學思維

張全軍●

江蘇省泗洪縣洪翔中學(223900)

數學靠的是思維，只有有了思路，才能往下進行，一環接著一環，環環相扣，少了任何一步都沒辦法得到正確答案，就如車子一樣，少了任何零件都是無法行走的.

高中數學；一題多解；數學思維

一、公式推導，發展過程思維

公式是數學的根基，就如一座房子，沒有根基的話，何談防震，那么僅僅記住公式就可以了嗎？不是的，我們不僅要記住，還要會運用，并理解它的原理，針對性地在題目中應用，而不是亂用，套用，我們在公式推導中運用多種方法的話，學生應該更容易掌握.下面我們具體推導一個等差數列的公式.例如在學習蘇教版《等差數列》的相關內容時，要對等差數列的相關公式進行透徹細致的理解和記憶.等差數列，顧名思義，就是數列中的各項從第二項起，每一項和前一項的差值是相等的，我們把這個固定的差值通常用d表示，那么我們設數列從a1開始，即數列為a1、a1+d、a1+d+d，…第二項我們用a2表示，即a2=a1+d,依次類推a3=a1+d+d=a2+d=a1+2d.我們觀察出了在等差數列中，第n項和a1的差值為n-1個d,所以an=a1+(n-1)d.我們剛才是從首項開始的，現在我們把它倒轉過來，即該等差數列的第一個為an,相鄰兩項的差值為-d,所以數列為an,an-d,an-d-d……即an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d，a(n-2)-a(n-3)=d……a2-a1=d.我們為了便于大家理解，先讓前兩項相加，(an-an-1)+(an-1-an-2)=an-an-2=d+d=2d.依據類推，(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)=an-a1=d+d+…+d=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d,由此可以得出公式不僅可以正推，也可以逆推，即所謂的一題多解，這樣才能使得學生印象深刻，理解也更透徹.

數學公式可以說數不勝數，只有徹底的解析，多種方法交匯，才能達到更好的教學效果，因為學生的思維是活的，展開這種多途徑推導模式有助于發展學生的過程思維.

二、例題講解，滲透發展思維

僅僅把公式掌握了是不夠的，我們還需要把公式運用到題目中，因為考試考的是題目，而不單單是公式，題目是公式運用的場地，且是多種公式聯合應用，因此難度較大，這就需要開啟學生更深層次的思維了，我們舉一實例來說明.

例如在學習蘇教版《等差數列》的相關內容時，已知數列{an}的前n項之和為Sn=2n2-n,求數列{an}的通項公式，很多同學一遇到這種題目就發怵，感覺無從下手，也沒有個具體數值，其實這是紙老虎，它是非常簡單的，遇到這類題目我們就從第一項開始分析，即a1=S1=2×12-1=1,Sn-1=2(n-1)2-(n-1),又因為an=Sn-Sn-1=[2n2-n]-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,所以很簡單.但是這就算結束了嗎？接下來是考你的細心程度，遇到這種題目，是要求學生求通項公式，那么就要求所求的公式適用于該數列的任何一項，但是有一項比較特殊，我們需要檢驗它，即第一項a1，因為它可以根據題目給的Sn的公式直接求出數值，但是和我們根據后面所求的該數列的通項公式所求的a1數值是否一致，需要代入公式計算，如果一致，我們可以說該數列的通項公式為an=4n-3,如果不一致，那么a1的值要按代入S1的值為正確答案，且要在解題過程中說明，另外對于所求的數列an的通項公式要這樣寫，即an=4n-3(n≥2),如果a1也適用于該數列，也要在后面括號標注n≥1，只有這樣，評分老師才覺得這個學生的思路縝密，也才能得到高分.

細節決定成敗，所以不僅要會解題，還要縝密，不漏掉每一個扣分點，錯誤可以犯，但是吸取教訓，善于總結，才能體現教師講解的意義，也才能滲透學生的思維，每一次的講解和總結，最后落到高考試卷上都是數目可觀的分值，不可小視這些過程.

三、習題訓練，升華創新思維

紙上談兵，一直是一個很好的反面教材，學習數學亦如此，理解得很透徹，思路也很清晰，如果不做習題，恐怕是竹籃打水一場空.

(1)例如在學習蘇教版《集合》章節的的相關內容時，設集合A={x|(x-1)(x+2)≤0}，集合B={x|x<0}，則A∪B=( ).

A.(-∞,0) B.[-2,0) C.(-∞,1] D.[1,+∞)

在進行該問題的解答時，學生既可以從集合的基本定義出發，首先求出集合A、B的范圍，進而可進一步求出集合A、集合B的并集，這種方法是解答該題目較為常規的方法.當然，學生在進行該題目解答的時候也可以在掌握常規解題方案的同時，通過反復的習題練習，從題目中升華創新解題的思維，學生在進行該題目解答的時候，可以將數學集合的求解與集合A、B代表的取值范圍的幾何含義相結合起來進行解答，此時應用數形結合的解題理念進行該題目解答時，很多問題就迎刃而解了.

[1]王志英.普高學生數學解題錯誤的成因分析與對策研究[J].新課程，2012(06).

[2]朱歡.提高高中數學學困生解題能力的策略研究[J].才智，2012(11).

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