中速磁懸浮列車的分數階運行控制方法

張文靜，曹博文，李寬欣，高亞蘋，岳 強，徐洪澤

(1.北京交通大學 電子信息工程學院, 北京 100044；2.中車唐山機車車輛有限公司，河北 唐山 064000)

磁懸浮列車是一種利用電磁力實現自身懸浮與驅動的新型軌道交通方式，與傳統輪軌列車相比具有噪聲低、線路適應性強、維護方便以及壽命長等優點[1]。隨著長沙磁懸浮快線以及北京S1線的相繼開通運營，中速磁懸浮交通有望成為21世紀的主要交通方式之一。

運行控制系統 (Operation Control System,OCS) 是保證中速磁懸浮列車正常運行的中樞系統，是磁懸浮列車運行控制的“大腦”和“神經系統”，主要作用是運行指揮和安全防護。運行控制算法是OCS的核心之一，然而，目前的磁懸浮運行控制系統主要借鑒了傳統地鐵運用的基于通信的列車運行控制系統 (Communication Based Train Control System，CBTC)系統，尚無成熟的運行控制方法。因此，研究中速磁懸浮列車運行控制算法，研發完全自主知識產權的中速磁懸浮運行控制系統，保障列車運行安全，提高運行效率，具有重要意義。

國內外學者已對傳統輪軌列車的運行控制算法進行了深入研究。文獻[2]設計出滑模PID組合控制算法，實現列車自動駕駛，提高了列車的運行控制性能。文獻[3]結合專家經驗與梯度下降算法，設計出一種基于在線調整的自動駕駛算法，提高了列車的位置與速度跟蹤精度。文獻[4]將無模型自適應控制算法應用于列車運行控制，提高了列車速度控制性能。文獻[5]將小波包濾波與迭代學習相結合，降低了各種干擾因素對列車運行控制的影響。文獻[6]提出一種加權多模型預測函數，設計出列車運行控制算法，提高了列車動態模型的準確性，實現列車自動駕駛系統的速度與位置跟蹤。然而，與傳統輪軌列車的牽引方式不同，中速磁懸浮列車的牽引控制位于地面，導致現有的輪軌列車運行控制方法并不完全適用于磁懸浮列車。

目前，對中速磁懸浮交通系統的研究主要集中在懸浮列車控制方面[7-9]，尚無有效的列車運行控制算法。中速磁懸浮列車的運行速度較低(≤200 km/h)，在曲線或坡道路段受到的線路附加阻力嚴重影響了列車運行性能，因此對運行控制算法的精度與魯棒性提出了更高要求。

隨著分數階微積分及分數階控制理論的發展，分數階控制算法正在逐漸成為改善控制性能，提高控制精度的重要方法，受到了國內外學者的廣泛關注。與傳統的整數階控制算法相比，分數階控制算法具有控制精度高、系統魯棒性強等優點[10]，得到了廣泛的應用[11-14]。

本文以中速磁懸浮列車為研究對象，提出一種基于分數階PID (Fractional Order PID，FOPID) 的列車運行控制方法。首先，利用粒子群優化-模擬退火算法 (Particle Swarm Optimization-Simulated Annealing，PSO-SA) 辨識列車空氣阻力系數，提高中速磁懸浮列車動力學模型的準確性。然后，針對列車目標速度曲線跟蹤問題，設計FOPID控制器，通過改進型Oustaloup算法擬合分數階微積分，利用PSO-SA算法整定FOPID控制器參數。最后，通過與傳統的整數階PID (Integer Order PID，IOPID) 控制算法進行仿真對比，驗證了所提出的FOPID控制算法的有效性。

1 中速磁懸浮列車動力學模型

根據牛頓運動定律,中速磁懸浮列車的動力學模型可以描述為

( 1 )

基本阻力Fn始終作用于列車，可以表示為

Fn=Fa+Fe

( 2 )

列車所受空氣阻力Fa與車型和線路條件有關[15-16]，是列車基本阻力中最大的不確定性因素，單位質量所受的空氣阻力可以利用戴維斯方程表示為

Fa=a+bv+cv2

( 3 )

式中:a、b和c為列車空氣阻力系數。

Fe為線路兩側的F軌與懸浮電磁鐵間的渦流效應產生的渦流阻力，可以表示為

( 4 )

附加阻力Fd僅在特定線路作用于列車，可以表示為

Fd=Fi+Fr

( 5 )

式中：Fi為坡道附加阻力，其大小由列車質量以及坡道坡度決定，可以描述為

Fi=img·sign(φ)

( 6 )

式中:i為坡道坡度的千分數；g為重力加速度；φ為坡道角度，sign(φ)定義為

( 7 )

其中，φ>0表示列車處于上坡狀態，φ<0表示列車處于下坡狀態。

曲線附加阻力Fr可以表示為

(8)

式中:R為彎道曲線半徑。

由于空氣阻力是中速磁懸浮列車基本阻力中的主要不確定因素，為了降低列車動力學模型中的不確定性，提高模型的準確性，基于PSO-SA優化算法,本文提出了一種空氣阻力系數a、b和c的辨識方法。

2 中速磁懸浮列車空氣阻力系數辨識

在現有的參數辨識與優化算法中，PSO算法因其實現簡單，收斂速度快等優點而得到了廣泛應用，但該算法在優化過程中容易陷入局部收斂，難以得到全局最優解。PSO-SA算法在PSO算法的基礎上引入SA算法，能夠在略微降低收斂速度的情況下，解決局部收斂問題，有效提高參數辨識與優化的精度。

(9)

采集p組數據，則PSO-SA算法的適應度函數可以表示為

(10)

PSO算法中粒子的速度與位置更新規則分別為

vj(t+1)=ωvj(t)+c1r1[pj(t)-xj(t)]+

c2r2[pg(t)-xj(t)]

(11)

xj(t+1)=xj(t)+vj(t+1)

(12)

式中：ω為慣性權重；c1與c2為加速因子；vj(t)為微粒j在第t代的速度；r1與r2為兩個服從[0,1]之間均勻分布且相互獨立的隨機數；pj(t)為微粒j在第t代的個體最優位置；xj(t)為微粒j在第t代的位置；pg(t)為第t代群體最優位置。

利用PSO-SA優化算法，辨識中速磁懸浮列車空氣阻力系數，主要步驟如下：

Step1設置迭代次數k、群體規模n，根據PSO算法參數選取策略[17]設置慣性權重ω、加速因子c1及c2，初始化各微粒的速度與位置，根據適應度函數式(10)計算各微粒適應度，確定初始群體最優位置。

Step2執行PSO算法，利用式(11)與式(12)更新各微粒的速度與位置，計算各微粒的適應度，根據適應度更新個體最優位置與群體最優位置；若PSO算法收斂，則執行Step3，否則重復執行Step2。

Step3引入SA算法，設置SA算法初始位置y為PSO算法當前群體最優位置pg(t)，設置SA算法的初始溫度T、衰減因子h以及Markov鏈長度s。

Step4在y的鄰域內隨機選取一新位置y′，分別計算適應度W(y)與W(y′)。

(1)若W(y′)

(3)執行退火操作，令T(t+1)=hT(t)。

Step5重復Step4，直至完成s次迭代。

Step6若SA算法最終位置的適應度小于PSO算法的當前群體最優位置pg(t)，則將其作為PSO算法新的群體最優位置。

Step7返回并繼續執行Step2，直至PSO算法完成k次迭代。

3 分數階運行控制器設計

FOPID控制器在傳統IOPID控制器的基礎上引入了積分階次與微分階次，控制輸出的取值范圍更加靈活，而且對系統參數變化不敏感，具有更高的控制精度和更強的魯棒性。

分數階積分定義為

(13)

Caputo分數階微分定義為

(14)

利用分數階微積分定義，設計FOPID控制器，其傳遞函數為

(15)

式中:Kp、Ki與Kd分別為比例系數、積分系數和微分系數；λ和μ分別為積分階次與微分階次，且0<λ,μ<1。

FOPID控制器的設計主要包括分數階微積分的擬合以及控制器參數的整定。在現有的擬合算法中，改進型Oustaloup算法[18-19]在擬合頻段內對分數階微積分的幅頻特性與相頻特性擬合精度高，基于該算法設計改進型Oustaloup濾波器，在擬合頻段(ωb,ωh)內的2N+1次濾波器可以表示為

(16)

式中：b,d∈R+；第k個零點、極點和增益分別為

(17)

(18)

K=(ωbωh)α

(19)

由于中速磁懸浮列車運行控制系統具有非線性及不連續性，難以用確定的傳遞函數進行表征，導致傳統頻域法整定的FOPID控制器性能較差。針對此問題，本文以運行控制系統的ITAE性能指標作為適應度函數，利用第2節提出的PSO-SA算法整定FOPID控制器參數。其中，ITAE性能指標可以描述為

(20)

式中：t為控制系統的運行時間；e(t)為t時刻系統的運行誤差。

4 仿真驗證

本節利用中速磁懸浮列車試驗線數據進行仿真研究，線路模型見圖1，線路及列車基本參數分別如表1、表2所示。

圖1 中速磁懸浮列車試驗線線路模型

表1 試驗線基本參數

表2 中速磁懸浮列車基本參數

4.1 磁懸浮列車空氣阻力系數辨識

根據實驗數據，利用PSO-SA算法辨識中速磁懸浮列車空氣阻力系數，PSO-SA算法參數如表3所示，辨識結果得到參數a、b、c數值分別1.46×10-10、1.17×10-10、0.013 2,圖2為適應度變化曲線。

圖2 空氣阻力系數辨識適應度變化曲線

表3 PSO-SA算法參數

4.2 控制器參數整定

FOPID控制器與IOPID控制器的參數整定過程如下：

Step1IOPID控制器參數整定。綜合考慮控制系統的快速性與平穩性，利用MATLABTM工具箱整定IOPID控制器，得到控制器參數Kp、Ki、Kd的數值分別為1.0×103、1.1×103、1.0。

Step2FOPID控制器參數整定。采用理想階躍信號作為中速磁懸浮列車速度控制算法的期望輸入，利用本文第2節提出的PSO-SA優化算法，以速度誤差的ITAE性能指標作為PSO-SA算法的適應度函數，整定控制器參數。PSO-SA算法參數如表4所示，適應度變化曲線見圖3，整定后的FOPID控制器參數如表5所示。

表4 PSO-SA算法參數

圖3 FOPID控制器參數整定適應度變化曲線

表5 整定后的FOPID控制器參數

4.3 仿真分析

設置仿真步長為10-5s，仿真時間為1 500 s。列車單程運行距離為1.58 km，時間為88.5 s，最大加速度為0.9 m/s2，最大速度為97.2 km/h，即27 m/s，單程運行的期望速度-位置曲線見圖4。

圖4 期望速度-位置曲線

圖5給出了期望速度曲線以及FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤軌跡，圖6為FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤誤差，列車在不同線路的最大速度跟蹤誤差如表6所示。由圖5和圖6可以看出，FOPID控制下的列車速度跟蹤曲線更加平滑，列車運行更平穩，舒適性更好。在平直線路，由于列車運行過程中非線性基本阻力較小，導致FOPID控制器的速度跟蹤效果相比IOPID控制器優勢不明顯；在彎道與坡道線路，FOPID控制器更加有效地降低了較大的線路附加阻力對系統的影響，速度跟蹤性能優于IOPID控制器。

圖5 FOPID與IOPID速度跟蹤軌跡

圖6 FOPID與IOPID速度跟蹤誤差

表6 不同線路段的最大速度跟蹤誤差 m/s

FOPID控制器與IOPID控制器的控制輸出曲線見圖7，可以看出，相比IOPID控制器，FOPID控制器具有更小的控制輸出。

圖7 FOPID與IOPID控制輸出曲線

為進一步比較FOPID控制器與IOPID控制器的性能，引入列車牽引/制動能耗

(21)

式中：t為列車運行時間。

列車在第8個運行周期內的牽引/制動能耗變化曲線見圖8。可以看出，IOPID控制下的列車牽引/制動總能耗為5.31×107kJ，FOPID控制下的列車總能耗為5.25×107kJ，相比IOPID降低了1.1%。

圖8 FOPID與IOPID能耗變化曲線

為了驗證所提出的FOPID控制算法的有效性，利用ITAE性能指標比較FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤性能，結果見圖9。可以看出，FOPID控制器的ITAE性能指標遠小于IOPID控制器,具有更高的速度跟蹤精度。

圖9 FOPID與IOPID的ITAE性能指標

為了進一步驗證本文所提出的FOPID運行控制算法的魯棒性，在控制參數、試驗線基本參數以及中速磁懸浮列車基本參數不變的前提下，加入能量譜密度為108的白噪聲。列車在噪聲干擾下的速度跟蹤軌跡以及速度跟蹤誤差分別見圖10、圖11。可以看出，相比無噪聲干擾的情況，IOPID控制器在噪聲干擾下的控制效果明顯下降，而FOPID控制器的速度跟蹤性能則下降較小，驗證了本文所提出的FOPID運行控制算法的魯棒性。

圖10 噪聲干擾下的FOPID與IOPID速度跟蹤軌跡

圖11 噪聲干擾下的FOPID與IOPID速度跟蹤誤差

5 結束語

針對中速磁懸浮列車運行控制問題，本文考慮磁懸浮列車運行控制系統對控制精度與魯棒性的高要求，提出一種基于分數階的運行控制方法。該控制方法主要包含兩部分：利用PSO-SA算法辨識列車空氣阻力系數，提高列車動力學模型的準確性；在此基礎上提出一種滿足列車運行控制精度與魯棒性要求的FOPID控制器，基于改進型Oustaloup算法擬合分數階微積分，利用PSO-SA算法整定控制器參數，提高控制器性能。仿真結果表明：相比傳統的IOPID控制器，本文所提出的FOPID控制器具有更高的控制精度、更強的魯棒性、更小的控制輸出以及更低的能耗，可以在保障中速磁懸浮列車安全運行的同時，降低列車運行能耗。